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 Bihar Board 12th Maths Important Questions Short Answer Type Part 1 in Hindi

Bihar Board 12th Maths Important Questions Short Answer Type Part 1

संबंध एवं फलन

प्रश्न 1.
साबित करें कि फलन f :R→R जहाँ f(x) = 2x एकैक तथा अच्छादक है।
उत्तर:
एकैक के लिए
f(x1) = f(x2) लिया
⇒ 2x1 = 2x2
⇒ x1 = x2.
∴ f एकैक है।
आच्छादक के लिए
प्रभाव क्षेत्र = R
परास = y = 2x = 2 x R = R
∴ प्रभाव क्षेत्र = परास
∴ f आच्छादक है।
अत f एकैक आच्छादक है।

प्रश्न 2.
f : N→N इस प्रकार हों कि f(1) = f(2) = 1 एवं f(x) = x-1 ∀ x>2 तो सिद्ध करें कि फलन | अच्छादक है परन्तु एकैक नहीं है।
उत्तर:
∵ f(1) = f(2) = 1
∴ f एकैक नहीं है।
∵ f(x) = x – 1
∵ प्रभाव क्षेत्र = N
∀ x>2 परास = N
∵ प्रभाव क्षेत्र = परास
∴ f(x) अच्छादक है।

प्रश्न 3.
यदि किसी समतल में खींचे गये सभी सरल रेखाओं का समुच्चय L हो तथ R समुच्चय L में कोई संबंध इस प्रकार हो कि R=<(LpL2) < L1, तथा L2 परस्य लम्ब है। तो सिद्ध करें कि संबंध R सम्मित है परन्तु न तो स्वतुल्य और न ही सकर्मक है।
उत्तर:
∵ एक रेखा L1 स्वयं पर लम्ब नहीं हो सकता है।
∴ R स्वतुल्य नहीं है।
सम्मित के लिए-
यदि L1RL2
L2RL1
L2RL1 पर लम्ब है।
= L1 L2 पर लम्ब है।
(L2, L1) ∈ R
सकर्मक के लिए, यदि L1RL2, L2RL3
L1 RL3 दिया है, . 41,
L1 , L2 पर लम्ब है और L2, L3 पर लम्ब है। =
L1 //L3 दिया है,
∴ R संकर्मक नहीं है।

Matrices (आव्यूह)

प्रश्न 1.
यदि A= [3121] तो a और b का मान ज्ञात करें जब A2 + aA + bI = 0
उत्तर:

⇒ 4 + a = 0 ⇒ a = -4 तथा 3 + a + b + 0
⇒ 3 – 4 + b = 0 ⇒ b = 1 अतः a = -4, b = 1.

प्रश्न 2.
यदि A = [3−112] सिंद्व करें कि A2 – 5A + 7I = 0
उत्तर:

प्रश्न 3.
यदि Aα = [cosα−sinαsinαcosα] सिंद्व करें कि AαAβ = AβAα = Aα+β
उत्तर:


∴ AαAβ = AβAα = Aα+β

प्रश्न 4.
यदि A = [2343], B = [1−235], C = [−2354] तो (i) A – B (ii) 3A – C का मान यात करें
उत्तर:

Determinants

प्रश्न 1.
यदि A = ⎡⎣⎢100010124⎤⎦⎥ तो सिद्ध करें कि |3A| = 27|A|
उत्तर:
3A = 3⎡⎣⎢100010124⎤⎦⎥ = ⎡⎣⎢3000303612⎤⎦⎥
= 3. ∣∣∣30612∣∣∣
= 3 x (36 – 0) = 3 x 36
= 108

RHS = 27|A|
= 27∣∣∣∣100010124∣∣∣∣
= 27 x 4∣∣∣1001∣∣∣
= 27 x 4 = 108
Hence L.H.S = R.H.S

प्रश्न 2.
यदि त्रिभुज का क्षे० 4 वर्ग मात्रक हो तथा शीर्षों के नियामक निम्न हो तो k मानों को ज्ञात करें । (k, 0), (4,0), (0, 2).
उत्तर:
Δ = ∣∣∣∣1k0140102∣∣∣∣ या, 4 = ∣∣∣∣1k0140102∣∣∣∣
या, 4 = 2 ∣∣∣1k14∣∣∣ या, 4 = 2 (4 – k)
⇒ 4 – 2 = k या, 4 – k = 2
∴ k = 2

प्रश्न 3.
Show that ∣∣∣∣aa+2xxbb+2yycc+2zz∣∣∣∣ = 0
उत्तर:
∣∣∣∣aa+2xxbb+2yycc+2zz∣∣∣∣ = 0
= ∣∣∣∣aaxbbyccz∣∣∣∣+∣∣∣∣a2xxb2yyc2zz∣∣∣∣ = 0 + 0 = 0 = RHS

प्रश्न 4.
सिद्ध करें कि ∣∣∣∣a+b+2cccab+c+2aabbc+a+2b∣∣∣∣ =2 (a + b + c)3
उत्तर:
c1 + c2 + c3 की क्रिया करने पर,

प्रश्न 5.
(-2,–3), (3, 2), (-1, -8) शीर्ष वाले A का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
उत्तर:
(x, y), (x2, y2), (x3,y3) शीर्ष वाले Δ𝜏 का क्षेत्रफल
= 12 ∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣
∴ अभीष्ट Δ का क्षेत्रफल = 12∣∣∣∣−23−1−32−8−1−14∣∣∣∣
= 12∣∣∣∣−54−1−510−8001∣∣∣∣ (R1 – R2, R2 – R3) = 12∣∣∣−54−510∣∣∣
= 12 (-50+20) = -15 = 15 वर्ग इकाई

Trigonometry

प्रश्न 1.
निम्न का प्रधान मान ज्ञात करें :
(i) sin-1 (12√)
(ii) cot -1(13√)
(iii) sin -1(3√2)
(iv) sin -1(−12√)
(v) sin -1(−12)
उत्तर:
(i) Let sin -1 (12√) = y
Then sin y = 12√ = +ve

∵ Least value of Angle π4
∵ PV of sin-1 ((12√)=π4)

(ii) Let y = cot-1−13√
या, cot y = −13√
We know that the range of principal value of cos-1 is (0,π)
∴ cot y = cot π3 = cot (π – π3 = cot 2π3 )
Hence P.V. 2π3

(iii) Ley y = sin3√2
Then sin y = 3√2
∵ Range of Principal value of sin-1 is [ −π2,π2 ]
∴  sin y = 3√2 = sin π3
∴  P.V = π3

(iv) let y = sin-1( −12√ )
या, sin y = 12√
∵ Range of P.V of sin-1 is [ −π2,, π2]
∴ sin y = sin π4
∴ P.V = π4

(v) let y = sin-1( 12)
∵ Range of P.V of sin-1 is [ −π2,π2 ]
sin y = −12 = sin( −π6)
∴ P.V = −π6

प्रश्न 2.
Prove the following :
(i) 3 sin-1 x = sin-1 (3x – 4x3), x ∈ [-12, 12 ]
(ii) 3 cos-1 x = cos-1 (44 – 3x), x ∈ [1/2, 1]
(iii) tan-1 211 + tan-1 724 = tan-1 12
(iv) 2 tan-1 12 + tan-117 = tan-13117
उत्तर:
Solution to(i)
Let sin-1x = θ sinθ = x
sin 3θ = 3 sinθ – 4sin3θ = 3x – 4x3.
3θ = sin-1 (3x – 4x3)
or, 3sin-1 sin-1(3x – 4x3), x ∈ [ −12,12]

(ii) Let cos-1x = θ ∴ cos θ = x
Now cos3θ = 4cos3θ – 3cosθ = 4x3 – 3x
or, 3θ = cos-1(4x3 – 3x)
or, 3cos-1 = cos-1(4x3 – 3x), x ∈ [ −12,1]

 प्रश्न 3.

सिद्ध करें कि sin-145 + sin-1513 + sin-11665 = π2
उत्तर:

प्रश्न 4.
व्यजक sin-1 (sin 3π5) का मान ज्ञाता करें |
उत्तर:
We know that

प्रश्न 5.
सिद्ध करें 2tan-1 13 + tan-1 17 = π4
उत्तर:

प्रश्न 6.
सिद्ध करें कि tan−113+tan−115+tan−117+tan−118π4
उत्तर:

Calculus

प्रश्न 1.
किसी बिन्दु पर फलन के सतता की परिभाषा दें
उत्तर:
Continuity at a print → A function f(x) is said to be continuous at print x = a if.
L.H.L. at x = a = R.H.L. at r= a =f(a)

प्रश्न 2.
फलान f(x) का पूलबिंदु पर सताता जाँचें |
f(x)={|x|x1,x≠0x≠0
उत्तर:

प्रश्न 3.
फलान f(x) की सताता जाँचें |
f(x){2x−1,2x+1,x<0x≥0
उत्तर:
When x < 0; f(x) = 2x – 1 = Polynomial function When x > 0 f(x) = 2x + 1= Polynomial function
∴ Polynomial function is continuous every where.
∴ f(x) will be continuous for x > 0, x < 0 at x = 0


∵ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ f(x) is discountinuous at x = 0

प्रश्न 4.
यदि फलन f(x)={x−4x−4x≠1x≠4 हो तो सिंद्वकरें कि f(x) ; x = 4 को छोडकर प्रत्येक स्थान पर सतत होगा
उत्तर:

when x<4 then f (x)=-1 = constant function. When x > 4 then f(x) = 1 = constant function.
∵Constant function is continuous every where.
∴ f(x) will be continuous for x < 4, x > 4 at x = 4.

∵ LHS = Ltx→4f(x)
Ltx→4 (-1) = 1
f(4) = 0
∵ LHS ≠ f(4)
∴ f(x) is not continous at x = 4
Hence f(x) is every where continuous except at x = 4.

प्रश्न 5.
सिद्ध करें कि फलन f (x) = 2x – |x|, x = 0 पर सतत है
उत्तर:
Given f(x) = 2 x – |x|

∵ LHS Ltx→0f(x) = Ltx→03(x) = 3.0 = 0
RHS Ltx→0f(x) = Ltx→0 (x) = 0
f(0) = 0
∵ L.H.S. = R.H.S. = f(0)
∴ f(x) is continuous at x = 0

प्रश्न 6.
यदि फलन f(x)⎧⎩⎨⎪⎪3ax+b11,5ax−2b,x<1x>1x=1,x=1 पर सतत हो तो a एवं b का मान ज्ञत करें
उत्तर:

∵ f(x) is continuous at x = 1
∴ L.H.S. = R.H.S. = f(1)
∴ 5a – 2b = 3a + b = 11
∴ 5a – 2b = 11 …………………(i)
& 3a + b = 11 …………………(ii)
समी० (i) समी० (ii) x 2
5a-2b + 6a +2b = 11 + 22
या 11a = 33 ⇒ a = 3
समी० (i) से
b = 2

Differentiation

प्रश्न 1.
निग्न फलन का x के सापेक्ष अवकल करें :
(i) logtan(π4+x2)
(ii) log (x+a2+x2−−−−−−√)
(iii) log 1−cosx
(iv) tan-1 1+x2√−1x
(v) y = log(logx)
(vi) cos-1 2x1+x2
(vii) (log x)log x
(viii) sin (log x)
(ix) sin−−−√x−−√
(x) (sin x)cos-1x
(xi) (logx)x + xlogx
(xii) sinx−−√
(xiii) xcos-1x
(xiv) esin x + (tan x)x
(xv) (sinx)cos-1x
(xvi) cos (a cos x + b sin x)
उत्तर:
माना कि y = log tan (π4+x2)
Diff w.r.t x

(ii) Let y = log( x + a2+x2−−−−−−√)
Diff w.r.t x

(iii) let y = log1−cosx1+cosx−−−−−√=log2−sin2x/22cos2x/2−−−−−−−√

(vi) Let g = tan-11+x2√−1x Put x = tan θ ⇒ 1 + x2 = sec2 θ

(v) माना कि y = log(logx)
मान लिया कि log x = v
y = log V
∴ dydx=1V⋅dvdx
= 1logx⋅d(logx)dx=1logx
= xlogx

(vi) माना कि
y = sin-1 5x + cos-1√x [sin-1θ + cos-1θ = π/2]
= π/2
∴ dydx=ddv (π/2) = 0

(vii) माना कि y = (logx)log x
∴ log y = log x . log(log x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

(viii) माना कि y = sin(log.x)
dydx = cos (log x). ddx (log x)
= cos(logx)

(ix) Ley y = xx = elogex
Diff w.r.to x

(x) Let y = (sin x)cos-1xe = cos-1 x. log sin ex
Diff w.r.to x

(xi) Let y = (log)x + xlog x

(xii) माना कि y = y = sinx−−√

(xiii) Let y = xcos-1x
cos-1xloge<sup.x या y = e
Diff w.r.to x

(xiv) Let y = esin x + (tan x)x = esin x + exlogetanx
Diff w.r.to x

(xv) Let y = (sin)cos-1x = e cos-1 x. logesin x
Diff w.r.to x

(xvi) Let y = cos (a cos x + b sin x)
⇒ dydx = -sin (a cos x + b sin x)ddx (a cos x + b sin x)
= -sin(a cos x + b sin x) (-a sin x + b cos x)