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 Bihar Board 12th Maths Important Questions Long Answer Type Part 5 in Hindi

Bihar Board 12th Maths Important Questions Long Answer Type Part 5 in Hindi

Application of Intregral:

प्रश्न 1.
प्रथम चरण में वृत्त x2 + y2 = 32, रेखा y = x बा :-अक्ष से घिरे भाय क्षे० ज्ञात करें।
उत्तर:
दिये गये समी०
y = x ……………… (i)
और x2 + y2 = 32………………………. (ii)
समी० (i) और (ii) से, वृत्त एवं रेखा का कटान बिन्दु B (4,4) विन्दु B से BM⊥x.
अक्ष पर डाला।
∴ सम्पूर्ण क्षेत्रफल = क्षेत्र OBMO का क्षे० + क्षेत्र BMAB का क्षेत्रफल
अब क्षेत्र OBMO का क्षेत्रफल ∫40ydx=∫40xdx ……………..(iii)

पुनः क्षेत्र BMAB का क्षेत्रफल

= 8π – (8 + 4π)
= 4π – 8
समी० (i) और (iv) जोड़ने पर,
कुल क्षे० = 8 + 4π – 8 = 4π

प्रश्न 2.
दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1 , x = 0 तथा x = ae से घिरे.भाग का क्षे० ज्ञात करें।
जहाँ b2 = a2 (1 – e2), e<1.
उत्तर:
दीर्घवृत्त x2a2+y2b2=1 रेखा x = 0 तथा x = ae के द्वारा घिरा भाग BOBRFSB है तो
अब क्षेत्र BOB’RFSB का क्षे०

प्रश्न 3.
समाकलन के प्रयोग से त्रिभुज ABC का क्षे० ज्ञात करें जिसके शीर्ष क्रमशः A (1,0), B(2,2) तथा C(3, 1) है।
उत्तर:
माना कि ΔABC की शीर्ष A(1,0), B(2,2),C(3, 1) है।
ΔABC का क्षेत्रफल
= ΔABD का क्षे० + समलम्ब चतुर्भुज BDEC का क्षे० – ΔAEC का क्षे०
अब दिये गये AB, BC और CA का समी० क्रमशः
y = 2(x – 1), y = 4 – x,
y = 12 (x – 1)
ΔABC का क्षे० = ∫212(x−1)dx+∫32(4−x)dx−∫31x−12dx

प्रश्न 4.
परवलय y2 = 4ax एवं नाभिलंब से घिरे भाग का क्षे० ज्ञात करें।
उत्तर:
दिये गये परवलय के समी० y2 = 4ax
शीर्ष = (0,0)
नाभिलंब LSL’ का समीकरण x=a
∴ क्षेत्र OLL’O का अभिष्ट क्षे० = 2 (क्षेत्र OLSO का क्षे०)

प्रश्न 5.
यदि किसी वक्र का समी० y = a sin (x +b) हो जहाँ a,b constant है तो सका अवकल समी० ज्ञात करें।
उत्तर:
दिया हुआ है,
y = a sin (x + b) ……………(i)
dydx = acos(x + b) ……………(ii)
d2ydx2 = -asin(x + b) ……………….(iii)
समी० (i), (ii) एवं (iii) से a तथा b का मान विलुप्त करने पर,
d2ydx2+ y = 0 ………………….(iv)
जो कि constant a तथा b से स्वतंत्र है। अतः समी० (4) अभीष्ट अवकल समी० हुए।

प्रश्न 6.
निम्न अवकल सपी० dydx=x+12−y ( y ≠ 2) का सामान्य जाति करें।
उत्तर:
दिया हुआ है,
dydx=x+12−y ………………. (i)
समी० (i) में चर को अलग करने पर हम पाते हैं
∫(2 – y) dy = ∫(x + 1) dx
समी० (2) को दोनों तरफ समाकलन करने पर हम पाते हैं
∫(2 -y) dy = ∫(x + 1) dx
या, 2y – y22=x22 + x + c1
या, x2 + y + 2x – 4y + 2c1 = 0
x2 + y2 + 2x – 4y + c = 0 जहाँ c = 2c
जो समी० (1) का सामान्य हल है।

प्रश्न 7.
समीo dydx = – 4xy2 दिया हुआ है y = I; जहाँ x = 0 का Particular हल ज्ञात करें।
उत्तर:
यदि y ≠ 0, तो दिये गये अवकल समी० निम्न
dyy2 = -4x dx
∫dyy2 = -4∫xdx या, −1y = -2x2 + c
या, y = 12x2−c
4x dr.
जबःy = 1 तथा x = 0 हो तो समी० (ii) से, c = -1
समी० (2) में c का मान रखने पर,
y = 12x2+1

प्रश्न 8.
एक बैंक में मूलधन एक सतत दर 5% प्रतिवर्ष की दर से बढ़ रहा है तो कितने वर्षों में 1000 रु० अपने आप का दुगुना हो जायेगा।
उत्तर:
माना कि किसी समय t पर मूलधन p है, तो

p= 1000 . जब t = 0
Pऔर t का मान समी० (3) पर रखने पर
हम पाते हैं c = 1000
∴ समीकरण (iii) से पाते हैं
p = 1000t/20
माना कि t समय में मूलधन दुगुना हो जाता है
2000 = 100t/20
t = 20loge2

प्रश्न 9.
सिद्ध करें कि समी० x – y dydx = x + 2y समघातीय अवकल समी० है
उत्तर:
dydx=x+2yx−2y
माना F(x,y) = x+2yx−y
अब . F(λx,λy)
= λ(x+2y)λ(x−y) λ0 = f(x,y)
∴ F (x, y), शून्य घात का समघातीय संमी० है।

प्रश्न 10.
सिद्ध करें कि समी० xcos(ydx)dydx=ycos(yx) + x समघातीय समी० है। एवं इसे हल करें।
उत्तर:

f(x, y) समघातीय अवकल समी० है।
y = vx रखने पर
समी० (i) को अवकलित करने पर,

या, sin v= log |x| + loge
या, sin v = log |ex|
v = yx रखने पर
sin (y/x) = log|ex|

प्रश्न 11.
समी० xdydx + 2y = x2 (x ≠ 0) का General Soln ज्ञात करें \
उत्तर:
दिया गया अवकल समी०
xdydx + 2y = x2 ………………….. (i)
दोनों ओर x से भाग देने पर
dydx+2xy=x ……………………(ii)
जो कि dydx + py = Q , के रूप का linear dift. समी० है।

जो कि दिये गये आकलन समी० का सामान्य समी० है।

प्रश्न 12
अवकल समी० (x +2y2)dy = ydx का general soln. ज्ञात करें।.
उत्तर:
दिया गया समी० (x+2y2) dy = ydx
dxdy−xy=2y ………………. (i)
जो कि dxdy + p1x = Q1 के रूप का linear dift. समी० है।
जहाँ P1 = −1y
और Q1 = 2y
∴ I.F = e∫−1ydy=e−logy=elog(y)−1=1y
समी० (i) में दोनों ओर I.F. से गुणा करने पर
1y⋅dxdy−xy2 = 2
x. 1y = ∫2dy 1ydy + c
या, xy = ∫2dy + c
या, xy = 2y + c
या, x = 2y2 + cy
जो कि अभीष्ट General समी० हुए।

प्रश्न 13.
अवकल समी० (tan-1y – x) dy = (1 + y2) dx को हल करें।
उत्तर:
दिये गये अवकल समी०
dxdy+x1+y2=tan−1y1+y2 ………………… (i)
समी० (i) dxdy + P1x = Q1 के रूप का Linear Diff. cqn. है।

tan-1 = t रखने पर
∴ 11+y2 dy = dt
I = ∫ tetdt
= tet – ∫ 1. et dt
= tet – e1
= et (t – 1)
I = etan-1y (tan-1 y – 1)
समी० (ii) से
x.etan-1y = etan-1y (tan-1y – 1) + c
या, x= (tan-1y – 1) + c.e tan-1y
जो कि अभीष्ट General soln. है।

प्रश्न 14.
वृत्त x2 + y2 = a2 का क्षे० ज्ञात करें।
उत्तर:
पूर्ण वृत्त का क्षेत्र –
4 . (area of region AOBA
= 4∫d0ydx
= 4∫a0a2−x2−−−−−−√dx
∵ क्षेत्र AOBA, प्रथम चरण में स्थिर है। .
∴ y = +ve

अवकल समीकरण

प्रश्न 1.
हल करें : x cos (y/x) (ydx + xdy) = y sin(y/x) (xdy – ydx).
उत्तर:
माना कि y = vx ⇒ dy = vdx + xdv. अतः दत्त समीकरण से,
xcos v(vxdx + vxdx + x2 dv) = vxsin (vxdx + x2dv – vxdx)
cosv(2vxdx + x2 dv) = vsin v x x2 dv
xcos v(2vdx+xdv) = x2 vsin v dv
2vdx + xdv = vx tan v dv.
2dxx+dvv = tan v dv.
Integrate करने पर,
2logx + logy = log sec v + logk
vx2 cosv = k ⇒ xy cos(y/x) = k

प्रश्न 2.
हल करें : (1 + y2)dx = (tan-1y – x).dy
उत्तर:

प्रश्न 3.
हल करें (x + y2)dydx = a2
उत्तर:
a2 dxdy = (x + y)2
माना कि x + y = z ⇒ dxdy+1=dzdy
⇒ dxdy=dzdy – 1 अतः (1) से

प्रश्न 4.
सिद्ध करें कि समपातीय अवकलन के समीकरण x.dy – y. dx = x2+y2−−−−−−√ होंगे तथा हल करें।
उत्तर:
दिये गये समीकरण

∴ f(x) समघातीय अवकलन के समीकरण है सिद्ध हुआ।
yx = v रखने पर
y = vx
∴ dydx=v+x⋅dvdx
समीकरण (i) से,

प्रश्न 5.
हल करें : xdydx = y(logy – logx – 1)
उत्तर:
दिया गया समीकरण
xdydx = y(logy – logx – 1)
dydx=yx (logy – logx – 1) …..(i)
v = yx रखने पर
y = vx
∴ dydx=v+x⋅dvdx
समीकरण (i) से,
v + x.dvdx = v(logv – 1)

बायाँ पक्ष के लिए,
logv – 2 = t रखने पर
: 1/v dv = dt
समीकरण (ii) से,
∫dtt=∫dxx
log|t| = log |x| + log |c|
= log|t| = log|x| . c
|t| = |x| .c
∣∣log(yx)−2∣∣=|x|c
|logy-logx- 2| = c|x|

प्रश्न 6.
हल करें:
dydx + 2y = sin x
उत्तर:
दिया गया समीकरणं
dydx + 2y = sin x
माना I.F. = e∫2dx = e2x
समीकरण (i) से,

प्रश्न 7.
हल करें: (x2 – 1) dydx + 2xy = 2x2−1
उत्तर:
दिया गया समीकरणं

माना कि I.F = e∫2xx2−1dx
माना कि x2 – 1 = t
∴ 2x. dx = dt

प्रश्न 8.
हल करें : dydx – 3ycotx = sinx
दिया हुआ है :y= 2, जब x = π2
उत्तर:
दिया हुआ समीकरण
dydx – (3cotx).y = sin2x
-∫(3cotx).dx-3logsinx
माना I.F = e-∫(3cot x)dx = e-3log sin x

⇒ y⋅1sin3x=∫2cosxsin2x⋅dx
माना कि sinx = t
∴ Cosx.dx = dt

y = -2 sin2x + c sin3x
x = π2, y = 2 पर
2 = -2sin2π2 + csin3π2
2 = -2 + c
c = 4.
समीकरण (ii) से
y = -2sin2x + 4sin3x

प्रश्न 9.
हल करें :
dydx+1x=eyx
उत्तर:
दिया गया समीकरण

माना किं 1 – e-y = t
∴ e-y dy = dt
या ∫dtt=∫dxx
log|t| = log |x| + logc
= log|1-e-y|= log(|x|.c)
1 – e-y = c|x|

प्रश्न 10.
इल करें :
d2ydx2 = sec2 x + x.ex
उत्तर:
x के सन्दर्भ में दोनों तरफ समाकलन करने पर

पुनः x के सन्दर्भ में समाकलन करने पर।
y = ∫tan x.dx + ∫x.ex.dx – ∫ex dx + c ∫ dx
या y = log |secx| + (xex – ex) – ex + c1 x + c2
y = log |secx| + xex + c1 x + c2

प्रश्न 11.
हल करें :
xdy + ydx = xexdx
उत्तर:
दिया गया समीकरण
xdy + y dx = xex dx
या x dy = (xex – y)dx
या x.dydx = xex – y
या x.dydxx + y = xex
या dydx+yx = ex
माना I.F = e∫1xdx=elogxe = x
समीकरण (i) से,
x⋅dydx = y = x .ex
या d(x⋅y)dx = x .ex
या y.x = ∫ ex. x. x . dx
या y.x = ∫ex dx – ∫ (dxdx⋅∫ex⋅dx)dx
या y.x = x.ex – ex + c

प्रश्न 12.
हल करें :
(x +2y3) dydx = y.
उत्तर:
दिया गया समीकरण
(x + 2y3 dydx = y
था, x + 2y3 = y. dxdy
था, ydxdy – x = 2y3

या xy = ∫2ydy
या xy = 2y22 + c
या xy = y2 + c
या x = y3 + cy

प्रश्न 13.
dydx + y cot x = 2y2 cos x
उत्तर:
1y2dydx+1ycotx=2cosx …………….(1)
Put 1/y = z ⇒ 1y2dydx=−dzdx
∴ (1) −dzdx + zcotx = 2cos x
dzdx – zcotx = -2cos x ………….(2)

∴ I:F. = e-∫cotxdx = e-logsin x = cosecx
Multiplying (2) by IF and integrating, we have
zx cosec x = -∫cosx.cosec xdx = – 2∫cotx
z cosec x = -2 log sin x + k
cosecxy = -2logsin x+k

प्रश्न 14.
dydx + y secx = tan x
Anss.
I.F. = e∫sec x dx = e∫log(sec + tanx) = sec x + tan x.
Multiplying the given eqn. with 1.F.and integrating we get
∴ y x (sec x + tan x) = ∫tan x(secx + tan x) dx
= ∫tanx secx dx + (sec2 x – 1)dx .
= y(secx + tan x) = sec x + tan x – x + k

प्रश्न 15.
मान निकालें ∫ sec3 x dx
उत्तर:
I = [sec3 x dx = sec2 x.sec xdx
I = sec x∫ sec2 x dx – ∫ [ddx(sec x) ∫sec2 xdx]dx
= sec x tanx – ∫ secx . tan x tan x dx
= sec x tan x – ∫ secx(sec2 x – 1)dx
= secx tan x – ∫ sec3 xdx + ∫ secxdx
= sec x tan x – I + log(secx + tanx) +k
2I = sec x . tan x + log (secx + tan x) +k
I = 12 secx tan x + 12log(secx + tanx) + c

प्रश्न 16.
मान निकालें ∫ cos x−−√ dx
उत्तर:
Let x−−√ = z
x = z2 ⇒ dx = 2zdz
∴ I = ∫ cos z. 2zdz = 2 ∫ z cos z dz
= 2z∫ cos z dz – 2 ∫[ddz(z) ∫ cos zdz]dz
= 2z sinz – 2∫sin zdz
= 2 z sinz + 2 cos z + c
I = 2x−−√sinx−−√+2cosx−−√+c