NCERT Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ
Ex 1.1
प्रश्न 1.
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का HCF ज्ञात करने के लिए:
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 225
हल:
(i) 135 और 225
चूंकि 225 > 135, हम 225 और 135 पर विभाजन लेम्मा लागू करते हैं, जिससे प्राप्त होता है
225 = 135 x 1 + 90
चूंकि शेष 90 ≠ 0, हम 135 और 90 पर विभाजन लेम्मा लागू कर सकते हैं, जिससे प्राप्त होता है 135 = 90 x 1 + 45
हम नए भाजक 90 और नए शेष 45 पर विचार करते हैं, और विभाजन लेम्मा लागू करके प्राप्त करते हैं 90 = 45 x 2 + 0
शेष अब शून्य हो गया है, इसलिए 135 और 225 का HCF 45 है।
(ii) 196 और 38220
चूँकि 38220 > 196 है, हम 38220 और 196 पर विभाजन लीमा लागू करते हैं, जिससे प्राप्त होता है
38220 = 196 x 195 + 0
शेषफल अब शून्य हो गया है, इसलिए 38220 और 196 का HCF 196 है
(iii) 867 और 255
चूंकि 867 > 255, हम 867 और 225 पर विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं, जिससे प्राप्त होता है
867 = 255 x 3 + 102
चूंकि शेष 102 = 0, हम 255 और 102 पर विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं, जिससे प्राप्त होता है 255 = 102 x 2 + 51
हम नया भाजक 102 और नया शेष 51 लेते हैं, और विभाजन प्रमेयिका लागू करते हैं जिससे प्राप्त होता है 102 = 51 x 2 + 0
शेष अब शून्य हो गया है, इसलिए 867 और 255 का HCF 51 है।
प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई भी विषम धनात्मक पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल:
मान लीजिए a कोई भी विषम धनात्मक पूर्णांक है। हम a और b = 6 के साथ विभाजन एल्गोरिथ्म लागू करते हैं।
चूँकि 0 < r < 6, धनात्मक शेषफल 0,1, 2, 3, 4, 5 हैं।
अब r = 0,1, 5 के मान रखने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ a = bq + r
⇒ a = 6q + 0 ⇒ a = 6q [r = 0]
⇒ a = 6q + 1 ⇒ a = 6q +1 [r = 1]
इसी प्रकार 6q, 6q + 1,6q + 2, 6q + 3, 6q + 4, 6q + 5 के रूप के पूर्णांक।
प्रश्न 3.
616 सदस्यों वाली एक सैन्य टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक सैन्य बैंड के पीछे एक परेड में मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या में स्तंभों में मार्च करना है। वे अधिकतम कितने स्तंभों में मार्च कर सकते हैं?
हल:
स्तंभों की अधिकतम संख्या (616,32) का HCF है।
अब, आइए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके उनका HCF ज्ञात करें।
616 = 32 x 16 + 8
चूँकि शेषफल 8 ≠ 0 है, इसलिए हम विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करते हैं, जिससे हमें
32 = 8 x 4 + 0 प्राप्त होता है
। अतः, 616 और 32 का HCF 8 है।
इसलिए, स्तंभों की अधिकतम संख्या 8 है।
प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m +1 के रूप का होता है, जहाँ कोई पूर्णांक m होता है।
हल:
[संकेत: मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तो यह 3q, 3q +1 या 3q + 2 के रूप का होगा। अब इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन्हें 3m या 3m+ 1 के रूप में लिखा जा सकता है]
Ex 1.2
प्रश्न 1.
प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें:
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429
हल:
(i) 140
140 = 2 x 2 x 7 x 5
140 = 22 x 7 x 5
(ii) 156 = 2 x 2 x 3 x 13 = 22 x 3 x 13
(iii) 3825 = 5 x 5 x 3 x 3 x 17
= 32 x 52 x 17
(iv) 5005 = 5 x 7 x 11 x 13
(v) 7429 = 17 x 19 x 23
12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 36 है।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित पूर्णांक युग्मों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि LCM x HCF = दो संख्याओं का गुणनफल है।
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हल:
26 और 91 का अभाज्य गुणनखंडन
26 = 2 x 13
91 = 7 x 13 है
इसलिए, LCM 2 x 7 x 13 = 182 है।
साथ ही HCF 13 है।
सूत्र का उपयोग करके LCM x HCF = दो संख्याओं का गुणनफल
182 x 13 = 26 x 91
2366 = 2366
∴ LMC x HCF = दो संख्याओं का गुणनफल। [सत्यापित]
(ii) 510 और 92
510 और 92 का अभाज्य गुणनखंडन
510 = 2 x 3 x 5 x 17 92 = 2 x 2 x 23
इसलिए, LCM 2 x 2 x 3 x 5 x 17 x 23 = 23,460 है और HCF 2 है।
अब, LCM x HCF = दो संख्याओं का गुणनफल
LHS = LCM x HCF = 23640 x 2 = 46920
RHS = दो संख्याओं का गुणनफल
= 510 x 92 = 46920
LHS = RHS [सत्यापित]
(iii) 336 और 54
336 और 54 का अभाज्य गुणनखंडन है
336 = 2 4 x 3 x 7 54
= 2 x 3³
इसलिए, LCM 2 4 x 3³ x 7 = 3024
और HCF 2 x 3 = 6 है
अब, LCM x HCF = दो संख्याओं का गुणनफल
LHS = LCM x HCF = 3024 x 6 = 18144
RHS = दो संख्याओं का गुणनफल = 336 x 54 = 18144
अब, LHS= RHS [सत्यापित]
प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखंडन विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए।
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25
हल:
(i) 12, 15 और 21
12 = 2 x 2 x 3
15 = 3 x 5
21 = 3 x 7
इसलिए LCM 2² x 3 x 7 = 420 है
और HCF 3! = 3 है
(ii) 17, 23 और 29
17 = 1 x 17
23 = 1 x 23
29 = 1 x 29
इसलिए LCM 1 x 17 x 23 x 29 = 11339 है
और HCF = 1
(iii) 8,9 और 25
8 = 2 x 2 x 2 x 1
9= 3 x 3 x 1
25 = 5 x 5 x 1
इसलिए LCM 1 x 2³ x 3² x 5² = 1800
और HCF = 1 है
प्रश्न 4.
दिया गया है कि HCF (306,657) = 9 है, LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल:
HCF (306, 657) = 9 हम जानते हैं कि
HCF x LCM = दो संख्याओं का गुणनफल
9 x LCM = 306 x 657
LCM = \(\frac { 201042 }{ 9 }\) LCM = 22338
प्रश्न 5.
जाँच करें कि क्या किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकता है।
समाधान:
यदि किसी भी n के लिए संख्या 6n , अंक शून्य पर समाप्त होती है, तो यह 5 से विभाज्य होगी। यही है, 6n के अभाज्य गुणनखंड में अभाज्य 5 होगा। यह संभव नहीं है क्योंकि 6n = (2 x 3) n = 2n . 3n , इसलिए 6n के गुणनखंड में एकमात्र अभाज्य संख्या 2 है। इसलिए अंकगणित के मूलभूत प्रमेय की विशिष्टता यह गारंटी देती है कि, 6n के गुणनखंड में कोई अन्य अभाज्य संख्या नहीं है ।
प्रश्न 6.
समझाइए कि 7 x 11 x 13 +13 और 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हल:
हम अंकगणित के मूलभूत प्रमेय से जानते हैं कि, "प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है"। इसलिए हम समझा सकते हैं कि 7 x 11 x 13 + 13 और 7 x 3 x 2 x 5 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 + 5 भाज्य संख्याएँ हैं, या 7 x 11 x 13 + 13 और 7 x 3 x 2 x 2 + 5 भाज्य संख्याएँ हैं।
प्रश्न 7.
एक खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। सोनिया मैदान का एक चक्कर लगाने में 18 मिनट लगाती है, जबकि रवि को ऐसा करने में 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए कि वे दोनों एक ही बिंदु से, एक ही समय पर, एक ही दिशा में चलना शुरू करते हैं। कितने मिनट बाद वे पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे?
हल:
LCM (12,18)
12 = 2 x 2 x 3
18 = 2 x 3 x 3
अतः 12 और 18 का LCM 2 x 3 x 2 x 3 = 36 है। 36 मिनट बाद वे प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे।
Ex 1.3
सिद्ध कीजिए कि
समाधान:
इसके विपरीत, मान लीजिए कि
अतः b
दोनों ओर वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें 5b² = a³ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, a² के लिए 5 से विभाज्य है, इसका अर्थ है कि a भी 5 से विभाज्य है।
इसलिए, हम किसी पूर्णांक c के लिए 5c लिख सकते हैं।
a के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हमें
5b² = 25c²
b² = 5c² प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि b2, 5 से विभाज्य है और इसलिए b भी 5 से विभाज्य है।
इसलिए, a और b का सामान्य गुणनखंड कम से कम 5 है।
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2A\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। हल: इसके विपरीत, मान लीजिए कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) परिमेय है। अर्थात्, हम सहअभाज्य संख्या a और b (b ≠ 0) इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) = \(\frac { a }{ b }\) इसलिए 3 – \(\frac { a }{ b }\) = – 2\(\sqrt{5}\) इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है 2\(\sqrt{5}\) = \(\frac { a }{ b }\) – 3 = \(\frac { a – 3b }{ b }\) चूँकि a और b पूर्णांक हैं, \(\frac { a }{ b }\) – 3 हमें प्राप्त होता है जो परिमेय है और इसलिए 2\(\sqrt{5}\) परिमेय है और इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय है। लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) परिमेय है। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित अपरिमेय संख्याएँ हैं:
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (ii) 7\(\sqrt{5}\) (iii) 6 + \(\sqrt{2}\) हल: आइए इसके विपरीत मान लें कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय है, अर्थात, हम सहअभाज्य a और b(b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं जिससे = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac { a }{ b }\) चूँकि a और b पूर्णांक हैं इसलिए \(\frac { a }{ b }\) परिमेय है और इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय है। लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) अपरिमेय है
(ii) 7\(\sqrt{5}\) आइए इसके विपरीत मान लें कि 7\(\sqrt{5}\) परिमेय है, अर्थात, हम सहअभाज्य a और b (≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं जिससे 7\(\sqrt{5}\) = \(\frac { a }{ b }\) पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम पाते हैं \(\sqrt{5}\) = \(\frac { a }{ b }\) क्योंकि 7, a और b पूर्णांक हैं, \(\frac { a }{ 7b }\) परिमेय है और इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय है लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 7\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
(iii) 6 + \(\sqrt{2}\) इसके विपरीत, मान लेते हैं कि 6 + \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। अर्थात्, हम सह अभाज्य a और b (* 0) इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं कि 6 + \(\sqrt{2}\) = 7 b पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम पाते हैं \(\sqrt{2}\) = \(\frac { a-6b }{ b }\) चूँकि a, b और 6 पूर्णांक हैं, इसलिए \(\frac { a-6b }{ b }\) परिमेय है और इसलिए परिमेय भी है। लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 + \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
Ex 1.4
प्रश्न 1.
वास्तव में दीर्घ विभाजन किए बिना, बताइए कि क्या निम्नलिखित परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत होगा या असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होगा:
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 }\) (ii) \(\frac { 17 }{ 8 }\) (iii) \(\frac { 64 }{ 455 }\) (iv) \(\frac{15}{1600}\) (v) \(\frac { 29 }{ 343 }\) (vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) (vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\) (viii) \(\frac { 6 }{ 15 }\) (ix) \(\frac { 35 }{ 50 }\) (x) \(\frac { 77 }{ 210 }\) हल: (i) \(\frac { 13 }{ 3125 }\) = \(\frac{17}{2 \times 2 \times 2}\) = \(\frac{17}{2^{3}}\) क्योंकि हर 2 n 5 n के रूप में हो सकता है , इसलिए इसका दशमलव विस्तार सांत होगा।
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 }\) = \(\frac { 17 }{ 8 }\) इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 }\) = \(\frac{64}{5 \times 7 \times 13}\) अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार।
(iv) \(\frac{15}{1600}\) = \(\frac{15}{2^{2} \times 5^{2}}\) इसका सांत दशमलव विस्तार होगा।
(v) \(\frac { 29 }{ 343 }\) = \(\frac{29}{7^{3}}\) अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार।
(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।
(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\) अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार।
(viii) \(\frac { 6 }{ 15 }\) = \(\frac{6}{3 \times 5}\) इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।
(ix) \(\frac { 35 }{ 50 }\) = \(\frac{35}{2 \times 5^{2}}\) इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।
(x) \(\frac { 77 }{ 210 }\) = \(\frac{17}{2 \times 3 \times 5 \times 7}\) अनवसानी आवर्ती दशमलव विस्तार।
प्रश्न 2.
ऊपर प्रश्न 1 में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार लिखिए जिनके सांत दशमलव प्रसार हैं।
हल:
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 }\) = 0.00146 (ii) \(\frac { 17 }{ 8 }\) = 2.125 (iii) \(\frac { 15 }{ 1600 }\) = 0.009375 (iv) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) = \(\frac { 23 }{ 200 }\) = 0.115 (v) \(\frac { 6 }{ 15 }\) = 0.4 (vi) \(\frac { 35 }{ 50 }\) = 0.7
प्रश्न 3.
निम्नलिखित वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दिए गए हैं। प्रत्येक स्थिति में निर्णय कीजिए कि वे परिमेय हैं या नहीं। यदि वे परिमेय हैं और \(\frac { p }{ q }\) के रूप के हैं, तो आप q के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में क्या कह सकते हैं? (i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000 (iii) \(43 . \overline{123456789}\) हल: (i) 43.123456789 \(=\frac{43123456789}{1000000000}=\frac{43123456789}{2^{9} 5^{9}}\) यह एक परिमेय संख्या है। q के अभाज्य गुणनखंड 2 9 5 9 हैं।
(ii) 0.120120012000120000 …….
\(\begin{aligned} यह एक परिमेय संख्या है q के अभाज्य गुणनखंड हैं (2 1 x 2² x 2³ ….) x (5 1 x 5² x 5³ ….)