NCERT Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद
Ex 2.1
कुछ बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) के ग्राफ नीचे दी गई आकृतियों में दिए गए हैं। प्रत्येक स्थिति में p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) p(x) के शून्यकों की संख्या शून्य है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष बिंदु को नहीं काटता है।
(ii) p(x) के शून्यकों की संख्या 1 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर काटता है।
(iii) p(x) के शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर काटता है।
(iv) p(x) के शून्यकों की संख्या है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।
(v) p(x) के शून्यकों की संख्या 4 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को चार बिंदुओं पर काटता है।
(vi) p(x) के शून्यकों की संख्या 3 है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर काटता है।
Ex 2.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित कीजिए।
(i) x 2 – 2x – 8
(ii) 4s 2 – 4s + 1
(iii) 6x 2 – 3 – 7x
(iv) 4u 2 + 8u
(v) t 2 -15
हल:
(i) x² – 2x – 8
⇒ x² – 4x + 2x – 8
⇒ x(x – 4) + 2(x – 4)
⇒ (x – 4) (x + 2)
⇒ x – 4 = 0 या x + 2 = 0
⇒ x = 4 या x= -2
सत्यापन:
(ii) 4s 2 – 4s + 1
⇒ 4s² – 2s – 2s + 1
⇒ 2s(2s – 1) – 1(2s – 1)
⇒ (2s – 1) (2s – 1)
2s – 1 = 0 या 2s – 1 = 0
⇒ s =
सत्यापन:
(iii) 6x 2 – 3 – 7x
⇒ 6x² – 7x + 2x – 3
⇒ 3x(2x – 3) + 1(2x – 3)
⇒ (2x – 3) (3x + 1)
2x – 3 = 0 या 3x + 1 = 0
⇒ x =
सत्यापन:
(iv) 4u 2 + 8u
⇒ 4u(u + 2)
⇒ u – 4 = 0 या u + 2 = 0
⇒ u = 4 या u= – 2
सत्यापन:
(v) t 2 -15
⇒ t² = 15
⇒ t = ±
t =
सत्यापन:
Ex 2.3
प्रश्न 1.
बहुपद p(x) को बहुपद g(x) से भाग दें और निम्नलिखित में से प्रत्येक में भागफल और शेषफल ज्ञात करें:
(i) p(x) = x 3 – 3x 2 + 5x -3, g(x) = x 2 -2
(ii) p(x) =x 4 – 3x 2 + 4x + 5, g(x) = x 2 + 1 -x
(iii) p(x) = x 4 – 5x + 6, g(x) = 2 -x 2
हल:
(i)
इसलिए,
भागफल = x – 3 और शेष = 7x – 9
(ii) सबसे पहले हम भाज्य और भाजक के पदों को उनकी घातों के घटते क्रम में व्यवस्थित करते हैं।
∴ p(x) = x 4 – 3x 2 + 4x + 5 और g(x) = x 2 – x + 1
इसलिए,
भागफल = x2 + x-3 और शेष = 8
(iii) सबसे पहले हम भाज्य और भाजक के पदों को उनकी घातों के घटते क्रम में व्यवस्थित करते हैं।
∴ p(x) = x 2 + x – 3 और g(x) = – x 2 + 2
इसलिए,
भागफल = – x² – 2 और शेष = – 5x + 10
प्रश्न 2.
दूसरे बहुपद को पहले बहुपद से विभाजित करके जाँच करें कि पहला बहुपद दूसरे बहुपद का एक गुणनखंड है या नहीं:
(i) t 2 – 3, 2t 4 + t 3 – 2t 2 – 9t – 12
(ii) x 2 + 3x + 1, 3x 4 + 5x 3 -7x 2 + 2x + 2
(iii) x 3 – 3x + 1, x 5 – 4x 3 + x 2 + 3x + l
हल:
हमारे पास है,
P(t) = 2t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 9t – 12
q(x) = t 2 – 3
वास्तविक विभाजन से, हमारे पास है
यहाँ, शेष शून्य है।
इसलिए, q(x) = t 2 – 3, p(x) = 2t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 9t – 12 का गुणनखंड है ।
(ii)
p(x) = 3x 4 + 5x 3 – 7x 2 + 2x + 2
और q(x) = x² + 3x + 1
वास्तविक विभाजन से,
शेषफल शून्य नहीं है। अतः q(x) = x² – 3x + 1, p(x) = 3x 4 + 5x 3 – 7x 2 + 2x + 2
का गुणनखंड नहीं है ।
(iii)
p(x) = x 5 – x 3 + x 2 + 3x + 1
और q(x) = x³ – 3x + 1
वास्तविक विभाजन से,
शेषफल शून्य नहीं है। अतः q(x) = x² – 3x + 1, p(x) = x 5 – x 3 + x 2
+ 3x + 1 का गुणनखंड नहीं है ।
प्रश्न 3.
x 3 – 3x 2 + x + 2 को बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं। g(x) ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि
भाज्य = भाजक x भागफल + शेषफल
∴ x² – 3x² + x + 2 = g(x) x (x – 2) + (- 2x + 4)
या x 3 – 3x 2 + x + 2 = g(x) (x – 2) + (-2x + 4)
या x 3 – 3x 2 + x + 2 + 2 x- 4 = g(x) x (x-2)
या x 3 – 3x 2 + 3x – 2 = g(x) x (x – 2)
प्रश्न 4.
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के उदाहरण दीजिए, जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हैं और
(i) deg p(x) = deg q(x)
(ii) deg q(x) = deg r(x)
(iii) deg r(x) = 0
हल:
(i) deg p(x) = deg q(x)
बहुपद p(x) = 2x 2 – 2x + 14; g(x) = 2
q(x) = x 2 – x + 7 r(x) = 0
यहाँ, deg p(x) = deg q(x)
(ii) deg q(x) = deg r(x)
बहुपद p(x) = x 3 + x 2 + x + 1; g(x) = x 2 – 1,
q(x) = x + 1, r(x) = 2x + 2
(iii) deg r(x) 0 है।
बहुपद p(x) = x 2 + 2x 2 – x + 2; g(x) = x 2 – 1, q(x) = x + 1, r(x) = 4
Ex 2.4
प्रश्न 1.
सत्यापित करें कि नीचे दिए गए त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएं उनके शून्यक हैं। साथ ही, प्रत्येक मामले में शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को सत्यापित करें:
(i) 2x 3 + x 2 – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 }\), 1, – 2 (ii) x 3 – 4x 2 + 5x – 2; 2, 1, 1 हल: (i) दिए गए बहुपद की तुलना ax 3 + bx 2 + cx + d से करने पर, हम पाते हैं: a = 2, b – 1, c = -5 और d = 2. अब, हमें शून्यक मिलते हैं इसलिए, \(\frac { 1 }{ 2 }\), 1, – 2, 2x³ + x² – 5x + 2 के शून्यक हैं। इसलिए हम लेते हैं α, ß, γ त्रिघात बहुपद के गुणांक हैं। शून्यों का योग
(ii) x 3 – 4x 2 + 5x – 2; 2, 1, 1
दिए गए बहुपद की तुलना ax 3 + bx 2 + cx + d से करने पर, हम पाते हैं:
a = 1, b = -4, c = 5 और d = – 2.
∴ p (x) = x 3 – 4x 2 + 5x – 2
⇒ p(2) = (2) 3 – 4(2) 2 + 5 x 2 – 2
= 8 – 16+ 10 – 2 = 0
p(1) = (1) 3 – 4(1) 2 + 5 x 1- 2
= 1 – 4 + 1 – 2
= 6 – 6 = 0 इसलिए, 2, 1 और 1 x 3 – 4x 2 + 5x – 2
के शून्य हैं। इसलिए , α, ß, γ लें जो त्रिघात बहुपद के गुणांक हैं। x² – 4x² + 5x – 2 = 0 शून्यों का योग की तुलना करें
प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग, एक समय में दो लिए गए शून्यकों के गुणनफल का योग, तथा शून्यकों का गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हो।
समाधान:
हम जानते हैं कि एक घन समीकरण ax³ + bx² + cx + d = 0 है
लेकिन दिया गया है, α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = -7 और αβγ = – 14
इसके अलावा, हम जानते हैं कि a + b + g = \(\frac { -b }{ a }\) = 2, इसलिए, b = – 2 αβ + βγ + γα = \(\frac { c }{ a }\) = – 7, इसलिए c = – 7 a αβγ = \(\frac { -d }{ a }\) = – 14, इसलिए d = – 14, और a = 1 अब, समीकरण (1) में a, b, c, d का मान रखें, हमें x³ – 2x² – 7x + 14 = 0 मिलता है
प्रश्न 3.
यदि बहुपद x 3 – 3x 2 + x + 1 के शून्यक ab, a, a + b हैं, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
बहुपद के शून्यक ab, a, a + b हैं।
शून्यकों का योग = ab + a + a + b = 3a
⇒ a³ – b²a = 1
a = 1 रखें, a² – b²a = – 1 में
(1)³ – b² = – 1 ⇒ b² = 2
b= ± \(\sqrt{2}\)
a और b के मान 1, ± \(\sqrt{2}\) हैं
प्रश्न 4.
यदि बहुपद x 4 – 6x 3 – 26x 2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt{3}\) हैं, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए दो शून्य 2 + \(\sqrt{3}\) और 2 – \(\sqrt{3}\) हैं,
(x² – 4x +1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है।
अब, हम दिए गए बहुपद को से विभाजित करते हैं
तो, x 4 – 6x 3 – 26x 2 + 138x – 35 = (x 2 – 4x + 1) (x 2 – 2x – 35)
अब, – 2x को विभाजित करके, हम गुणनखंड करते हैं x² – 2x – 35
= x 3 – 7x + 5x – 35
= x(x – 7) (x + 5)
= (x – 7) (x + 5) px = 7, x = – 5
तो, दिए गए बहुपदों के शून्यक
2 + \(\sqrt{3}\), 2 – \(\sqrt{3}\), 7 और – 5 हैं।
प्रश्न 5.
यदि बहुपद x 4 – 6x 3 + 16x 2 – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x 2 – 2x + k से भाग दिया जाए, तो शेषफल x + a आता है। k और a ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि p(x) और g(x), x² – 2x और x² + bx + c के रूप के कोई दो बहुपद हैं। हम सूत्र से जानते हैं।
लाभांश = भाजक x भागफल + शेषफल
x 4 – 6x² + 16x 3 – 25x + 10 = (x² – 2x + k) (x² + bx + c) + (x + a)
x 4 – 6x 3 + 16x² – 25x + 10 = x 4 + bx 3 + x²c – 2x 3 – 2bx² – 2cx + kx² + kbx + kc + x + a
x 4 – 6x 3 + 16x² – 25x + 10 = x 4 + (b – 2)x 3 + (c – 2b + k) x² + (- 2x + kb + 1)x + kc + a
अब दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करते हुए b – 2 = – 6 … (1) [x 3
के गुणांक की तुलना ] c – 2b + k = 16 … (2) [x² के गुणांक की तुलना] – 2c + kb + 1 = – 25 … (3) [x के गुणांक की तुलना] kc + a = 10 … (4) [स्थिर पद की तुलना] (1) से, b = – 4 अब, समीकरण (2) और (3) में b का मान रखने पर, हम पाते हैं, ⇒ c – 2(- 4) + k = 16 या c + k = 8 … (5) और -2c – 4k + 1 = – 25 या – 2c – 4k = – 26 या – c – 2k = – 13 … (6) समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर, हम पाते हैं, c + k = 8 – c – 2k = – 13 – k = – 5 तो, k = 5, (5) से, c = 8 – 5 ⇒ c = 3, अब समीकरण (4) में k और c का मान रखने पर, हम पाते हैं, kc + a = 10 5(3) + a = 10 a = – 5 ∴ k और a का मान क्रमशः 5 और – 5 है।