NCERT Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म
Ex 3.1
प्रश्न 1.
आफ़ताब अपनी बेटी से कहता है, "सात साल पहले, मैं तुम्हारी उम्र का सात गुना था। और, अब से तीन साल बाद, मैं तुम्हारी उम्र का तीन गुना हो जाऊँगा।" (क्या यह दिलचस्प नहीं है)? इस स्थिति को बीजगणितीय और आलेखीय रूप से निरूपित कीजिए।
हल:
मान लीजिए आफ़ताब की वर्तमान आयु x है और उसकी बेटी की वर्तमान आयु y है।
∴ सात वर्ष पहले,
आफताब की आयु x – 7 थी
और उसकी पुत्री की आयु y – 7 थी।
प्रश्न के अनुसार
(x – 7) = 7 (y – 7)
या, x – 7 = 7y – 49
या, x – 7y + 42 = 0 … (i)
स्थिति II में
तीन वर्ष बाद
आफताब की आयु = x + 3 होगी
और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 होगी।
पुनः, प्रश्न के अनुसार,
(x + 3) = 3(y + 3)
या, x + 3 = 3y + 9
या, x – 3y – 6 = 0 … (ii)
समीकरण (i) से
x – 7y + 42 = 0
x = 7y – 42
अब समीकरण (ii) से
x – 3y – 6 = 0
x = 3y + 6
x – 7y + 42=0
x – 3y – 6 = 0
घटाने पर दोनों समीकरण
4y = 48
y = 12
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर
x – 3(12) – 6 = 0
x – 36 – 6 = 0
x = 2
अतः आफताब की आयु 42 वर्ष है और उसकी पुत्री की आयु 12 वर्ष है।
प्रश्न 2.
एक क्रिकेट टीम का कोच ₹3900 में 3 बल्ले और 6 गेंदें खरीदता है। बाद में, वह ₹1300 में एक और बल्ला और उसी प्रकार की 3 और गेंदें खरीदता है। इस स्थिति को बीजगणितीय और ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्रत्येक बल्ले की कीमत = x
और प्रत्येक गेंद की कीमत = y है।
तब बीजगणितीय निरूपण निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है।
प्रश्न 3.
एक दिन 2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹160 था। एक महीने बाद, 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य ₹300 है। इस स्थिति को बीजगणितीय और ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए।
हल:
मान लीजिए एक किग्रा सेब का मूल्य = ₹x
और एक किग्रा अंगूर का मूल्य = ₹y है।
तब बीजगणितीय निरूपण निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिया गया है:
Ex 3.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म से उनके हल आलेखीय रूप से ज्ञात कीजिए।
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने गणित प्रश्नोत्तरी में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है, तो प्रश्नोत्तरी में भाग लेने वाले लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल और 7 पेन का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल और 5 पेन का कुल मूल्य ₹ 45 है। एक पेंसिल और एक पेन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए गणित प्रश्नोत्तरी में भाग लेने वाले लड़कों की संख्या x है और गणित प्रश्नोत्तरी में भाग लेने वाली लड़कियों की संख्या y है।
अतः इस स्थिति में समीकरण इस प्रकार हैं:
(ii) माना 1 पेंसिल का मूल्य ₹ x है
और 1 पेन का मूल्य ₹ y है
इसलिए दी गई स्थितियों पर रैखिक समीकरण
5x + 7y = 50 … (i)
और 7x + 5y = 46 … (ii)
फिर समीकरण (ii) से
7x + 5y = 46
∴ x =
समीकरण को गुणा करें। (1) 7 से और (ii) 5 से 35x + 49y = 350 प्राप्त करें
… (i)
35x + 25y = 230 … (ii)
समीकरण (i) से समीकरण (ii) को घटाने पर हमें
24y = 120 प्राप्त होता है
y = 5
समीकरण (j) में y का मान रखने पर
हमें
5x + 35 = 50
5x = 15
x = 5
एक पेंसिल की कीमत = ₹ 3
एक पेन की कीमत = ₹ 5
प्रश्न 2.
अनुपातों
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y-9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) हमारे पास है,
5x – 4y + 8 = 0
और 7x + 6y – 9 = 0
यहाँ, a 1 = 5, b 1 = – 4, c 1 = 8
और a 2 = 7, b 2 = 6 और c 2 = – 9
इसलिए, \(\frac{5}{7} \neq \frac{-4}{6}\)
तो, \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
इसलिए रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित जोड़ी एक दूसरे को बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) हमारे पास है,
9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
यहाँ, a 1 = 9, b 1 = 3, c 1 = 12
और a 2 = 18, b 2 = 6 और c 2 = 24
इसलिए, \(\frac{9}{18}=\frac{3}{6}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)
तो, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म को निरूपित करने वाली रेखाएँ संपाती हैं।
(iii) हमने दिया है,
6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
यहाँ, a 1 = 6, b 1 = – 3, c 1 = 10
और a 2 = 2, b 2 = – 1 और c 2 = 9
इसलिए,
\(\frac{6}{2}=\frac{-3}{-1} \neq \frac{10}{9}\)
तो, \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म को निरूपित करने वाली रेखाएँ संपाती हैं।
प्रश्न 3.
एक आयताकार बगीचे की आधी परिधि, जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, 36 मीटर है। बगीचे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार बगीचे की लंबाई y
और चौड़ाई y है।
प्रश्न के अनुसार
x = y + 4
x – y = 4 … (i)
आयताकार बगीचे की परिधि = 72
2(x + y)= 72
2x + 2y = 72 … (ii)
समीकरण (i) और (ii) को गुणा करने और दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, हम पाते हैं
2x = 40
x = 20 मीटर
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं
20 – y = 4
y = 16 मीटर
इसलिए बगीचे की लंबाई 20 मीटर और बगीचे की चौड़ाई 16 मीटर है।
प्रश्न 4.
दिया गया रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 है। दो चरों वाला एक और रैखिक समीकरण लिखिए जिससे बने युग्म का ज्यामितीय निरूपण (i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ (ii) समांतर रेखाएँ, (iii) संपाती रेखाएँ हैं।
हल:
दिया गया समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 है, अर्थात् a = 2 , b = 3 , c = 8 है।
(i)
ऐसा एक समीकरण 5x + 4y + 1 = 0 हो सकता है। (अन्य समीकरण बनाने का प्रयास करें। ऐसे कितने समीकरण हो सकते हैं?)
ऐसा एक समीकरण 2x + 3y + 5 = 0 हो सकता है (अन्य समीकरण बनाने का प्रयास करें। ऐसे कितने समीकरण हो सकते हैं?)
(iii) स्वयं प्रयास करें।
प्रश्न 5.
इन रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्षों के समीकरण x- y +1 = का ग्राफ खींचिए।
हल:
त्रिभुज के शीर्ष (-1, 0) (4, 0) और (2, 3) हैं।
Ex 3.3
प्रश्न 1.
प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म को हल करें,
हल:
(i) गठित रैखिक समीकरण युग्म
x + y = 14 हैं … (i)
x – y = 14 … (ii)
हम x को समीकरण (ii) से y के पद में व्यक्त करते हैं जिससे
x = y + 4 प्राप्त होता है
अब हम समीकरण (i) में x का यह मान प्रतिस्थापित करते हैं हमें
(y + 4) + y = 14
2y = 14 – 4
y = 5
समीकरण (ii) का यह मान रखने पर
x – 5 = 4
x = 9
∴ x = 9, y = 5
(ii) हमारे पास है
s – t = 3 … (i)
हम समीकरण (i) से s को t के पदों में व्यक्त करते हैं
s = 3 + t
2t + 6 + 3t = 36
5t = 30
t = 6
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर
s – 6 = 3
s = 9
∴ t = 6 और s = 9
(iii) हमारे पास है
3x – y = 3 … (i)
9x – 3y = 9 … (ii)
समीकरण (i) से
y = 3x – 3
इस मान को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
9x – 3(3x – 3) = 9
9x – 9x + 9 = 0
9 = 9
कथन y के सभी मानों के लिए सत्य है
इसलिए y = 3x – 3
जहां x कोई भी मान ले सकता है, अनंत कई समाधान।
(iv) हमारे पास है
0.2x + 0.3y = 1.3 …(i)
0.4x + 0.5y = 2.3 …(ii)
समीकरण (i) से हमें मिलता है
x = \(\frac{1.3-0.3 y}{0.2}\) इस मान को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर 0.4\(\frac{(1.3-0.3 y)}{0.2}\) + 0.5y = 2.3 2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3 – 0.1y = – 0.3 y = 3 इस मान को समीकरण (i) में रखने पर हमें मिलता है ∴ 0.2x + 0.3 x 3 = 1.3 0.2x = 1.3-0.9 0.2x = 0.4 x= 2 ∴ x = 2 और y = 3
प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = – 24 को हल करें और इससे 'm' का मान ज्ञात करें जिसके लिए y = mx + 3 है।
समाधान:
हमारे पास दो समीकरण
2x + 3y = 11 हैं … (i)
2x – 4y = – 24 … (ii)
समीकरण (ii) से
2x = 4y – 24
x = 2y – 12
इस मान को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करना
2(2y – 12) + 3y = 11
4y – 24 + 3y = 11
7y = 35
y = 5
इस मान को समीकरण (i)
2x + 15 – 11 x = – 2 में रखना
इन मानों को
y = mx + 3 में रखना
हमें मिलता है
5 = – 2m + 3
2 = – 2m
m = – 1
इसलिए m = – 1 और x का मान = – 2, y = 5
प्रश्न 3.
निम्नलिखित समस्याओं के लिए रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और प्रतिस्थापन विधि द्वारा उनके हल ज्ञात कीजिए।
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम का कोच ₹ 3800 में 7 बल्ले और 6 गेंदें खरीदता है। बाद में, वह ₹ 1750 में 3 बल्ले और 5 गेंदें खरीदता है। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) किसी शहर में टैक्सी के किराये में एक निश्चित किराये के साथ तय की गई दूरी का किराया भी शामिल होता है। 10 किमी की दूरी के लिए, चुकाया जाने वाला किराया ₹105 है और 15 किमी की यात्रा के लिए, चुकाया जाने वाला किराया ₹155 है। निश्चित किराये और प्रति किमी किराया क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी की दूरी तय करने के लिए कितना किराया देना होगा?
(v) एक भिन्न 9/11 हो जाती है, यदि अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो यह 5/6 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद, जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पहले, जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
(i) माना पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है।
माना x > y
पहली शर्त:
x – y = 26
दूसरी शर्त:
x = 3y
समीकरण में x = 3y रखने पर (i)
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
(ii) से
x = 3 x 13 = 39
∴ एक संख्या 13 है और दूसरी संख्या 39 है।
ii) माना एक कोण x है और उसका पूरक कोण = y
माना x > y
पहली शर्त:
x + y = 180°
दूसरी शर्त:
x – y = 18° ⇒ X = 18° + y
समीकरण (ii) से, समीकरण (i) में x का मान रखने पर,
18° + y + y = 180° ⇒ 18° + 2y = 180°
2y = 162° ⇒ y = 81°
(ii) से x = 18° + 81° = 99° ⇒ x = 99°
∴ एक कोण 81° है और दूसरा कोण 99° है।
(iii) माना प्रत्येक बल्ले का मूल्य x
तथा प्रत्येक गेंद का मूल्य y है।
प्रश्न के अनुसार
7x + 6y = 3800 … (i)
3x + 5y = 1750 … (ii)
समीकरण (i) से
3\(\frac{(3800-6 y)}{7}\) + 5y = 1750 3(3800 – 6y) + 35y = 7 x 1750 17y = 12250 – 11400 y = 50 इस मान को समीकरण (i) में रखने पर 7x + 300 = 3800 7x = 3500 x = 500 अतः प्रत्येक गेंद का मूल्य ₹ 500 है तथा प्रत्येक गेंद का मूल्य ₹ 50 है।
(iv) माना स्थिर प्रभार x है
तथा प्रति किमी प्रभार y है।
तो प्रश्न के अनुसार
x + 10y = 105 … (i)
x + 15 y = 155 … (ii)
समीकरण (i) से
x = 105 – 10y
इस मान को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
105 – 10y + 15y = 155
5y = 50
y = ₹ 10 प्रति किमी।
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर
x + 100 = 105
x = ₹ 5
एक व्यक्ति 25 किमी की यात्रा करता है, प्रभार होंगे।
= x + 25y
= 5 + 25 x 10
= ₹ 255
(v) मान लीजिए भिन्न का अंश x
तथा हर y है।
अतः प्रश्नानुसार
(vi) मान लें कि जैकब की वर्तमान आयु x है
और उसके पुत्र की वर्तमान आयु y है।
प्रश्न के अनुसार
(x + 5) = 3(y + 5)
फिर से पाँच वर्ष पहले के प्रश्न के अनुसार
(x – 5) = 7(y – 5)
x – 7y = – 30
समीकरण (i) से हम पाते हैं
x= 3y + 10
इस मान को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
3y + 10 – 7y = – 30
– 4y = – 40
y = 10
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर
x – 30 = 10
x = 40
अतः जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है।
Ex 3.4
प्रश्न 1.
उन्मूलन विधि और प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित जोड़ी को हल करें
(i) x + y = 5 और 2x - 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2
(iii) 3x - 5y - 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) x / 2 + 2y / 3 = -1 और x - y / 3 = 3
समाधान:
(i) उन्मूलन विधि द्वारा:
समीकरण x + y = 5
और 2x - 3y = 4 हैं
समीकरण (i) को 2 से गुणा करें और इसमें से समीकरण (ii) घटाएं
(ii) विलोपन विधि द्वारा:
समीकरण 3x + 4y = 10
और 2x – 2y = 2
हैं समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके समीकरण (i) में जोड़ने पर, हम
(iii) उन्मूलन विधि द्वारा:
(iv) उन्मूलन विधि द्वारा:
समीकरण (i) को (iii) से घटाने पर हमें मिलता है
5y = – 15
⇒ y = –
3 (ii) में y = – 3 का मान घटाने पर हमें मिलता है
3x – (- 3) = 9
3x + 3 = 9
3x = 6 x = 2
∴ x = 2 और y = 3
प्रतिस्थापन विधि
समीकरण (ii) से हमें मिलता है
3x – y = 9
⇒ 3x = 9 + y
⇒ x = \(\frac { 9 + y }{ 3 }\)
समीकरण (i) में x = का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें
3(\(\frac { 9 + y }{ 3 }\)) + 4y = – 6 प्राप्त होता है
⇒ 9 + y + 4y = – 6
⇒ 5y = – 15
⇒ y = – 3
पुनः, समीकरण (i) में y = -3 का मान प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
3x – (-3) = 9
⇒ 3x + 3 = 9
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2
∴ x = 2 और y = – 3
प्रश्न 2.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और विलोपन विधि द्वारा उनके हल (यदि वे मौजूद हों) ज्ञात कीजिए:
(i) पाँच वर्ष पहले, नूरी की आयु सोनू से तीन गुनी थी। दस वर्ष बाद, नूरी की आयु सोनू से दोगुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(ii) दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योग 9 है। साथ ही, इस संख्या का नौ गुना अंकों के क्रम को उलटने पर प्राप्त संख्या का दोगुना है। संख्या ज्ञात कीजिए।
(iii) मीना ₹2000 निकालने बैंक गई। उसने कैशियर से केवल ₹50 और ₹100 के नोट मांगे। मीना को कुल 25 नोट मिले। ज्ञात कीजिए कि उसे ₹50 और ₹100 के कितने नोट मिले।
(iv) एक उधार पुस्तकालय में पहले तीन दिनों के लिए एक निश्चित शुल्क और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए एक अतिरिक्त शुल्क है। सरिता ने सात दिनों तक रखी गई एक पुस्तक के लिए ₹27 का भुगतान किया, जबकि सूसी ने पाँच दिनों तक रखी गई पुस्तक के लिए ₹21 का भुगतान किया। निश्चित शुल्क और प्रत्येक अतिरिक्त दिन के लिए शुल्क ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए नूरी की वर्तमान आयु x है
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार
(x – 5) = 3 (y – 5)
x – 3y = – 10 … (i)
समीकरण के अनुसार प्रश्न की दूसरी शर्त
(x + 10) = 2 (y + 10)
x – 2y = 10 … (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर
x के लिए हम हटा देते हैं।
y = 20
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर
x – 60 = – 10
x = 50
नूरी की वर्तमान आयु 50 वर्ष है और सोनू 20 वर्ष का है।
और संख्या का इकाई का अंक y है।
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार
x + y = 9 … (i)
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार
9(10 x + y) = 2(10y + x)
90x + 9y – 20y + 2x
88x = 11y
8x – y = 0 (11 से भाग देने पर)
8x – y = 0 … (ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर हम y को हटाते हैं, हमें प्राप्त होता है
9x = 9
x = 1
समीकरण (i) में मान रखने पर
1 + y = 9
y = 8
अतः इकाई का अंक 8 है और दहाई का अंक 1 है। तब संख्या 18 है।
(iii) मान लीजिए ₹ 50 के नोट x हैं
और ₹ 100 के नोट y हैं।
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार
50x + 100y = 2000
x + 2 y = 40 … (i)
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार
x + y = 25
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर हम x के लिए हटा देते हैं।
- y = - 15
y = 15
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर
x + 30 = 40
x = 40
अतः ₹ 50 के नोट 10 हैं और ₹ 100 के नोट 15 हैं।
(iv) मान लीजिए कि स्थिर प्रभार ₹ x है और प्रति दिन अतिरिक्त प्रभार ₹ y है।
प्रश्नों के अनुसार पहली शर्त
x + 4y = 27 … (i)
प्रश्नों के अनुसार दूसरी शर्त
x + 2y = 21 … (ii)
समीकरण (i) और (ii) के लिए x को हटाने पर
हम समीकरण (ii) को समीकरण (1) से घटाते हैं
2y = 6
y = 3
इस मान को समीकरण (ii) में रखते हुए
x + 6 = 21
x = 21 – 6
x = 15
इसलिए स्थिर प्रभार ₹ 15 है और प्रति दिन अतिरिक्त प्रभार ₹ 3 है।
Ex 3.5
प्रश्न 1.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, कोई हल नहीं है, या अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। यदि कोई एक अद्वितीय हल है, तो उसे वज्र गुणन विधि का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – Sy = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल:
(iii) समीकरण 3x – 5y = 20 और 6x – 10y = 40 हैं,
इसलिए रैखिक समीकरण के अनंत रूप से कई हल हैं।
(iv) हमारे पास है
प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म के अनंत हल हैं?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) K के किस मान के लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल:
(i) हमारे पास है
2x + 3y – 7 = 0 … (i)
(a – b) x + (a + b) y – (3a + b – 2) = 0 … (ii)
यहाँ, a 1 = 2, b 1 = 3, c 1 = 7
a 2 = (a – b), b 2 = a + b, c 3 = – (3a + b – 2)
समीकरण (iv) को समीकरण (iii) से घटाने पर हम घटाते हैं a
– 4b = – 4
b = 1
इस मान को समीकरण (iv) में रखने पर
a – 5 = 0
d = 5
इसलिए a = 5 और h = 1 वे मान हैं जब समीकरण अनंत कई समाधान देता है।
(ii) हमारे पास है
3x + y – 1 = 0 … (i)
(2k – 1)s + (k – 1)y – 2k + 1 = 0 … (ii)
a 1 = 3, b 2 = 1
a 2 = (2k – 1) b 2 = (k – 1)
कोई हल नहीं होने पर
k = 2 वह मान है जब समीकरण का कोई हल नहीं होता है।
प्रश्न 3.
प्रतिस्थापन और क्रॉस-गुणा विधियों द्वारा रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म को हल करें:
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
हल:
समीकरण हैं
क्रॉस गुणन विधि द्वारा:
समीकरण हैं
प्रश्न 4.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और किसी भी बीजीय विधि से उनके हल (यदि हों) ज्ञात कीजिए:
(i) छात्रावास के मासिक शुल्क का एक भाग निश्चित है और शेष राशि भोजनालय में भोजन करने के दिनों की संख्या पर निर्भर करती है। जब एक छात्रा A, 20 दिनों के लिए भोजन करती है, तो उसे छात्रावास शुल्क के रूप में ₹1000 देने पड़ते हैं, जबकि एक छात्रा B, जो 26 दिनों के लिए भोजन करती है, छात्रावास शुल्क के रूप में ₹1180 देती है। निश्चित शुल्क और प्रतिदिन भोजन की लागत ज्ञात कीजिए।
(ii) यश ने एक परीक्षा में 40 अंक प्राप्त किए, जिसमें प्रत्येक सही उत्तर के लिए उसे 3 अंक मिले और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 1 अंक काटा गया। यदि प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक दिए जाते और प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 2 अंक काटे जाते, तो यश के 50 अंक होते। परीक्षा में कितने प्रश्न थे?
(iii) एक राजमार्ग पर स्थान A और B 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार A से और दूसरी B से एक ही समय पर चलना शुरू करती है। यदि दोनों कारें एक ही दिशा में अलग-अलग गति से चलती हैं, तो वे 5 घंटे में मिलती हैं। यदि वे एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो वे 1 घंटे में मिलती हैं। दोनों कारों की गति क्या है? ₹
(iv) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि इसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाए और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाए। यदि हम लंबाई 3 इकाई और चौड़ाई 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए x भोजन का स्थिर मूल्य है और y प्रतिदिन भोजन का मूल्य है।
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार
x + 20y = 1000 … (i)
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार
x + 26y = 1180 … (ii)
उन्मूलन विधि द्वारा
समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाएँ
हमें मिलता है
6y = 180
y = 30
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर हमें मिलता है
x + 20 x 30 = 1000
x = 400
(ii) माना सही उत्तरों की संख्या x और गलत उत्तरों की संख्या y है।
प्रश्न के अनुसार
3x – y = 40 … (i)
4x – 2y = 50
2x – y = 25 … (ii)
उन्मूलन विधि द्वारा
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाया
x = 15
इस मान को समीकरण (i) में रखने पर
45 – y = 40
y = 5
अतः सही प्रश्न 15 और गलत प्रश्न 5 हैं। कुल प्रश्न 20 हैं।
(iii) मान लीजिए एक कार की गति u किमी/घंटा है
और दूसरी कार की गति v किमी/घंटा है।
प्रश्न के अनुसार
u – v = \(\frac { 100 }{ 5 }\)
u - v = 20
और u + v = 100
उन्मूलन विधि से
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर
2u = 120
u = 60 किमी/घंटा
इस मान को समीकरण में रखने पर (i)
v = 40 किमी/घंटा
इसलिए एक कार की गति 60 किमी/घंटा और दूसरी की गति 40 किमी/घंटा है।
(iv) माना आयत की लम्बाई x इकाई
तथा चौड़ाई y इकाई है।
प्रश्नानुसार,
पहली स्थिति में
आयत का क्षेत्रफल = x × y
(x – 5) (y + 3) = xy – 9
या 3x – 5y – 6 = 0
दूसरी स्थिति में
(x + 3) (y – 2) = xy + 67
या 2x + 3y – 61 = 0
क्रॉस गुणन विधि से।
Ex 3.6
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरण युग्मों को रैखिक समीकरण युग्म में परिवर्तित करके हल कीजिए:
हल:
क्रॉस गुणन विधि द्वारा
क्रॉस गुणन विधि
द्वारा क्रॉस गुणन विधि
द्वारा क्रॉस गुणन विधि द्वारा
u और v के लिए हल करना: क्रॉस गुणन विधि
द्वारा:
क्रॉस गुणन विधि द्वारा:
(viii) हमारे पास
(i) और (iii) है, हम पाते हैं
P + q = –
विलोपन विधि द्वारा समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर हम पाते हैं
q =
लेकिन P =
और q =
और
3x + y = 4 … (v)
3x – y = 2 … (vi)
विलोपन विधि द्वारा विधि
समीकरण (v) और (vi) को जोड़ने पर हमें
6x = 6
x = 1 प्राप्त होता है
प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों को समीकरण युग्म के रूप में बनाइए और उनके हल ज्ञात कीजिए:
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 किमी और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 किमी नाव चला सकती है। स्थिर जल में उसकी नाव चलाने की गति और धारा की गति ज्ञात कीजिए।
(ii) रूही 300 किमी अपने घर आंशिक रूप से ट्रेन और आंशिक रूप से बस से यात्रा करती है। यदि वह 60 किमी ट्रेन से और शेष बस से यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 किमी ट्रेन से और शेष बस से यात्रा करती है, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। ट्रेन और बस की गति अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि शांत पानी में रितु की गति = x किमी/घंटा
धारा की गति = y किमी/घंटा
धारा के अनुकूल, गति = (x + y)
किमी/घंटा धारा के प्रतिकूल, गति = (x – y) किमी/घंटा
पहली स्थिति में,
घंटे में लिया गया समय f है, तो
उन्मूलन विधि द्वारा
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं
2x = 12
x = 6
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर, हम पाते हैं
हमें मिलता है
– y = 2 – 6 y
= 4
(ii) माना ट्रेन की गति u किमी/घंटा है
और बस की गति v किमी/घंटा है
पहली स्थिति में
दूसरी स्थिति में
समीकरण (i) और (ii) में
हमें
60p + 240q = 4 … (iii)
100p + 200p =
या 60p + 240p – 4 = 0 … (v)
600p + 120q – 25 = 0 … (vi)
विलोपन विधि का उपयोग करके समीकरण (ii) को 10 से गुणा करने पर हमें
600p + 2400 – 40 = 0 मिलता है … (vii)
समीकरण (v) से समीकरण (iv) को घटाएँ
1200q = 15
1200q = 15
q =
q =
इस मान को समीकरण (iv) में रखने पर
P =
लेकिन p =
u = 60 और v = 80
Ex 3.7
प्रश्न 1.
दो दोस्तों अनी और बीजू की उम्र में 3 साल का अंतर है। अनी के पिता धरम की उम्र अनी से दोगुनी है और बीजू की उम्र उसकी बहन कैथी से दोगुनी है। कैथी और धरम की उम्र में 30 साल का अंतर है। अनी और बीजू की उम्र ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए अनी की उम्र x है तो बीजू की उम्र x - 3 है और यदि अनी के पिता धरम की उम्र y है।
कैथी की उम्र = \(\frac { 1 }{ 2 }\) बीजू की उम्र है तो कैथी की उम्र \(\frac { x-3 }{ 2 }\) है।
प्रश्न के अनुसार
अनी की आयु 19 वर्ष है और बीजू की आयु = x – 3
बीजू की आयु = 19 – 3 = 16
इसलिए अनी की आयु 19 वर्ष है और बीजू की आयु 16 वर्ष है ।
प्रश्न 2.
एक कहता है, "दोस्त, मुझे सौ दे दो! मैं तुमसे दोगुना अमीर हो जाऊँगा।" दूसरा जवाब देता है, "अगर तुम मुझे दस दोगे, तो मैं तुमसे छह गुना अमीर हो जाऊँगा।" बताओ, उनकी (क्रमशः) पूँजी कितनी है?
हल:
मान लीजिए दोनों दोस्तों के पास ₹ x और ₹ y हैं।
पहली शर्त के अनुसार:
एक मित्र के पास राशि है = ₹(x + 100)
दूसरे के पास राशि है = ₹ (y – 100)
∴ (x + 100) =2 (y – 100)
⇒ x + 100 = 2y – 200
⇒ x – 2y = – 300 …(i)
दूसरी शर्त के अनुसार:
एक मित्र के पास राशि है = ₹(x – 10)
दूसरे मित्र के पास राशि है = ₹ (y + 10)
∴ 6(x – 10) = y + 10
⇒ 6x – 60 = y + 10
⇒ 6x-y = 70 …(ii)
(ii) समीकरण को 2 से गुणा करने और परिणाम को समीकरण (i) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं:
x – 12x = – 300 – 140
⇒ -11x = -440
⇒ x = 40
समीकरण (ii) में x = 40 प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं
6 x 40 – y = 70
⇒ -y = 70- 24
⇒ y = 170
इस प्रकार, दोनों मित्रों के पास ₹ 40 और ₹ 170 हैं।
प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी एक निश्चित दूरी एकसमान गति से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घंटा तेज़ होती, तो उसे निर्धारित समय से 2 घंटे कम लगते। और, यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घंटा धीमी होती, तो उसे निर्धारित समय से 3 घंटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की मूल गति x किमी/घंटा है
और यात्रा पूरी करने में लगा समय y घंटे है।
तो तय की गई दूरी = xy किमी
केस I: जब गति = (x + 10) किमी/घंटा और लिया गया समय = (y – 2) h
दूरी = (x + 10) (y – 2) किमी
⇒ xy = (x + 10) (y – 2)
⇒ 10y – 2x = 20
⇒ 5y – x = 10
⇒ -x + 5y = 10 …(i)
केस II: जब गति = (x – 10) किमी/घंटा और लिया गया समय = (y + 3) घंटे
दूरी = (x – 10) (y + 3) किमी
⇒ xy = (x – 10) (y + 3)
⇒ 3x- 10y = 30 …(ii)
समीकरण (i) को 3 से गुणा करने और परिणाम को समीकरण (ii) में जोड़ने पर, हमें मिलता है
15y – 10y = 30
⇒ 5y = 60
⇒ y = 12
समीकरण (ii) में y = 12 रखने पर, हमें मिलता है
3x- 10 x 12= 30
⇒ 3x = 150
⇒ x = 50
∴ x = 50 और y = 12
इस प्रकार, ट्रेन की मूल गति 50 किमी/घंटा है और इसके द्वारा लिया गया समय 12 घंटे है।
ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी = गति x समय
= 50 x 12 = 600 किमी.
प्रश्न 4.
एक कक्षा के छात्रों को पंक्तियों में खड़ा किया जाता है। यदि एक पंक्ति में 3 छात्र अतिरिक्त होते हैं, तो 1 पंक्ति कम होगी। यदि एक पंक्ति में 3 छात्र कम होते हैं, तो 2 पंक्तियाँ अधिक होंगी। कक्षा में छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पंक्तियों की संख्या x है और प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या y है।
तो छात्रों की कुल संख्या = xy
स्थिति I: जब प्रत्येक पंक्ति में 3 अधिक छात्र होते हैं
तो एक पंक्ति में छात्रों की संख्या = (y + 3)
और पंक्तियों की संख्या = (x - 1)
छात्रों की कुल संख्या = (x - 1) (y + 3)
∴ (x - 1) (y + 3) = xy
⇒ 3x - y = 3 … (i)
केस II: जब प्रत्येक पंक्ति से 3 छात्रों को हटा दिया जाता है
तो प्रत्येक पंक्ति में छात्रों की संख्या = (y-3)
और पंक्तियों की संख्या = (x + 2)
छात्रों की कुल संख्या = (x + 2) (y – 3)
∴ (x + 2) (y – 3) = xy
⇒ – 3x + 2y = 6 … (ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं
– y + 2y = 3 + 6
⇒ y = 9
समीकरण (ii) में y = 9 रखने पर, हम पाते हैं
– 3x + 18 = 6
– 3x + 18 = 6
⇒ x = 4
∴ x = 4 और y = 9
इसलिए, कक्षा में छात्रों की कुल संख्या 9 x 4 = 36 है।
प्रश्न 5.
एक ∆ABC में, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B) है। तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए ∠A = x° और ∠B = y° है।
तो ∠C = 3∠B = (3y)° है।
अब ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + y + 3y = 180°
⇒ x + 4y = 180° …(i)
साथ ही, ∠C = 2(∠A + ∠B)
⇒ 3y – 2(x + y)
⇒ 2x – y = 0° …(ii)
(ii) को 4 से गुणा करने और परिणाम को समीकरण (i) में जोड़ने पर, हम पाते हैं:
9x = 180°
⇒ x = 20°
समीकरण (i) में x = 20 रखने पर, हम पाते हैं:
20 + 4y = 180°
⇒ 4y = 160°
⇒ y =
∴ ∠A = 20°, ∠B = 40° और ∠C = 3 x 40° = 120°.
प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के आलेख खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष द्वारा बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
अतः
त्रिभुज के शीर्ष (1,0), (0, – 3), (0, – 5) हैं।
प्रश्न 7.
रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्मों को हल करें:
हल:
(i) दिए गए समीकरण हैं
px + qy = p – q …(1)
qx – py = p + q …(2)
समीकरण (1) को p से और समीकरण (2) को q से गुणा करने पर और फिर परिणामों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:
x(p 2 + q 2 )
x = 1
इस मान को समीकरण (1) में रखने पर,
हम प्राप्त करते हैं p + qy = p – q
qy = – q
y = – 1
(ii) हमारे पास है
ax + by =c …(i)
bx + ay = 1 + c …(ii)
समीकरण (i) को b से और समीकरण (ii) को a से गुणा करने पर, हमें मिलता है
abx + b²y = bc … (iii)
abc + a²y = a + bc … (iv)
समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाएँ हमें मिलता है
(b² – a²)y = bc – a – ac
(b² – a²)y = c(b – a) – a
(iii) हमारे पास है
ax + by = a² + b²
समीकरण (i) को ab से गुणा करने पर हमें
bx – ay = 0 मिलता है … (iii)
समीकरण (iii) को b से और समीकरण (ii) को (a) से गुणा करने पर हमें
b²x – aby = 0 मिलता है … (iv)
a²x + aby = a² + ab² … (v)
समीकरण (iv) और (v) को जोड़ने पर हमें
(a² + b²)x = a³ + ab²
(a² + b²)x = a(a² + b²)
x = a
इस मान को समीकरण (v) में रखने पर हमें y = b मिलता है
(iv) हमारे पास है
(a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b)(x + y) = a² + b²
समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है
(a – b) x + (a + b) y – (a² – 2ab – b)² = 0
ax + ay + bx + by – (a² + b²) = 0
(a – b) x + (a + b) y – (a² – 2ab – b²) = 0
(a + b)x + (a + b)y – (a² + b²) = 0
क्रॉस गुणन विधि को लागू करने पर, हम पाते हैं
(v) दिए गए समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
76x – 189y = – 37 … (1)
– 189x + 76y = – 302 … (2)
समीकरण (1) को 76 से और समीकरण (2) को 189 से गुणा करने पर, हम पाते हैं:
5776x – 14364y = – 2812 … (3)
– 35721x + 14364y = -57078 … (4)
समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर, हम पाते हैं:
5776x – 35721x = – 2812 – 57078
⇒ – 29945x = – 59890
⇒ x = 2
समीकरण (1) में x = 2 रखने पर, हम पाते हैं:
76 x 2 – 189y = – 37
⇒ 152 – 189y = – 37
⇒ – 189y = – 189
⇒ y = 1
इस प्रकार, x = 2 और y = 1 आवश्यक हल है।
प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (चित्र देखें)। चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
समाधान:
एक चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोण का योग 180° होता है,
इसलिए, ∠A + ∠C = 180°
4y + 20 – 4x = 180°
4y – 4x = 160° … (i)
∠B + ∠D= 180°
3y – 5 + 5 – 7x = 180° … (ii)
3y – 7x = 180°
समीकरण (i) को 3 से और समीकरण (ii) को 4 से गुणा करें फिर समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाएं, हमें मिलता है,
16x = – 240
x = – 15
इस मान को रखने पर अर्थात समीकरण हमें मिलता है
y = 25
∠A = 4y + 20
∠A = 120
∠B = 3y – 5
∠B = 70°
∠C = - 4x = 60°
∠D = 110°
