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 NCERT Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण

Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच करें कि क्या निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं:
(i) (x + 1) 2 = 2(x – 3)
(ii) x – 2x = (- 2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x 2 + 3x + 1 = (x – 2) 2
(vii) (x + 2) 3 = 2x(x 2 – 1)
(viii) x 3 -4x 2 – x + 1 = (x – 2) 3
हल:
(i) (x + 1) 2 = 2(x – 3)
⇒ x 2 + 2x +1 = 2x – 6
⇒ x 2 + 2x – 2x+1 + 6 = 0
⇒ x 2 + 7 = 0
अब, यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है, जहाँ b = 0
है। इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) x 2 – 2x = (- 2) (3 – x)
⇒ x 2 – 2x = – 6 + 2x
⇒ x 2 – 4x + 6 = 0 जो कि ax 2 + bx + c = 0
के रूप का है अब, यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है। इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iii) हमारे पास है,
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x 2 + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3
⇒ x 2 + x – 2x – 2 = x 2 – 3x + x + 3 = 0
⇒ – 3x + 1 = 0
यह ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है।
इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iv) हमारे पास है
(x-3) (2x+ 1) = x (x + 5)
⇒ 2x 2 + x – 6x – 3 = x 2 + 5x
⇒ 2x 2 + x – 6x – 3 – x² – 5x = 0
⇒ x 2 – 10x – 3 = 0
अब, यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है।
इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(v) हमारे पास है
(2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
⇒ 2x 2 – 6x-x + 3 = x 2 -x + 5x – 5
2x 2 – 6x-x + 3 = x 2 + x – 5x + 5 = 0
⇒ x 2 – 11x + 8 = 0
अब, यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है।
इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(vi) हमारे पास है
x 2 + 3x + 1 = (x – 2) 2
⇒ x 2 + 3x + 1 = x 2 + 4 – 4x
⇒ x 2 + 3x + 1 = x 2 – 4 + 4c = 0
⇒ 7x – 3 = 0
यह ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है।
इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(vii) हमारे पास है
(x + 2) 3 = 2x (x 2 – 1)
⇒ x 3 + 8 + 3.x.2 (x + 2) = 2x 3 – 2x
⇒ x 3 + 8 + 6x 2 + 12x = 2x 3 – 2x
⇒ x 3 – 6x 2 – 14x – 8 = 0
यह ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं है।
इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(viii) हमारे पास है
x 3 – 4x 2 – x+1 = (x-2) 3
⇒ x 3 – 4x 2 – x + 1 = x 3 -8 + 3x(-2)(x – 2)
⇒ x 3 – 4x 2 -x + 1 = x 3 – 6x 2 + 12x – 8
⇒ 2x 2 – 13x + 9 = 0
अब, यह ax² + bx + c = 0 के रूप में है।
इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में दर्शाइए:
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 वर्ग मीटर है । भूखंड की लंबाई (मीटर में) उसकी चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांक ज्ञात करने हैं।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी हैं। अब से 3 वर्ष बाद उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 360 होगा। हम रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करना चाहते हैं।
हल:
(i) माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x मीटर
तो, भूखंड की लंबाई = (2x + 1) मीटर
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = lxb,
⇒ 528 (2x + 1)x
⇒ 528 = 2x 2 +x
⇒ 2x 2 + x – 528 = 0
जो अभीष्ट द्विघात समीकरण है।
इसलिए, आयत का क्षेत्रफल, द्विघात समीकरण 2x² + x – 528 = 0 को संतुष्ट करता है, जहाँ x भूखंड की चौड़ाई (मीटर में) है।

(ii) माना पहला क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x
∴ दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x + 1
प्रश्न के अनुसार,
x (x + 1) = 306
या x² + x = 306
या x² + x – 306 = 0
इसलिए, दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक जिनका गुणनफल 306 है, द्विघात समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
x² + x – 306 = 0, जहाँ x सबसे छोटा पूर्णांक है।

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
∴ रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
3 वर्ष बाद, रोहन की आयु = (x + 3) वर्ष
3 वर्ष बाद, रोहन की माँ की आयु = (x + 26 + 3) वर्ष
प्रश्न के अनुसार,
(x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x 2 + 29x + 3x + 87 – 360 = 0
⇒ x 2 + 32x – 273 = 0
इसलिए, रोहन और उसकी माँ की तीन वर्ष की आयु का गुणनफल अब द्विघात समीकरण
x² + 32x – 273 = 0 को संतुष्ट करता है, जहाँ x (वर्षों में) रोहन की वर्तमान आयु है।

Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखंडन द्वारा निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x 2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2x 2 + x – 6 = 0

हल: (i) हमारे पास है, x² – 3x – 10 = 0 या x² – 5x + 2x – 10 = 0 या x(x – 5) – 2(x – 5) = 0 या, (x – 5) (x + 2) = 0 ∴ x – 5 = 0 या, x + 2 = 0 ⇒ x = 5 या, x + 2 = 0 इसलिए, मूल x² – 2x -10 = 0 हैं – 5 और18= 0 8

(ii) हमारे पास है,
2x² + x – 6 = 0
या, 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
या, 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
या, (x + 2) (2x – 3) = 0
∴ (x + 2) = 0 या, (2x – 3) = 0
⇒ x = – 2 या, x = \(\frac { 3 }{ 2 }\)32
इसलिए, 2x² + x – 6 = 0 के मूल – 2 और \(\frac { 3 }{ 2 }\) हैं32

प्रश्न 2.
उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल करें।
(i) जॉन और जीवंती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों में से प्रत्येक ने 5 कंचे खो दिए, और अब उनके पास बचे कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम यह पता लगाना चाहेंगे कि शुरू में उनके पास कितने कंचे थे।

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में निश्चित संख्या में खिलौने बनाता है। प्रत्येक खिलौने की उत्पादन लागत (रुपयों में) एक दिन में उत्पादित खिलौनों की संख्या से 55 घटाकर प्राप्त हुई। किसी विशेष दिन, कुल उत्पादन लागत ₹ 750 थी। हम उस दिन उत्पादित खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं।
हल:
(i) माना जॉन के पास कंचों की संख्या x है।
∴ जीवंती के पास कंचों की संख्या = 45 – x
जब जॉन ने 5 कंचे खो दिए तो उसके पास बचे कंचों की संख्या = x – 5
जब जीवंती ने 5 कंचे खो दिए तो उसके पास बचे कंचों की संख्या = 45x – x – 5 = 40 – x
प्रश्न के अनुसार,
(x – 5) (40 – x) = 124
या 40x – x² – 200 + 5x = 124
या 45x – x² – 200 = 124
या x² – 45x + 324 = 0
या x² – 36x – 9x + 324 = 0
या x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
या (x – 36) (x – 9) = 0
∴ (x – 36) = 0 या (x – 9) = 0
⇒ x = 36 या x = 9
इसलिए, यदि जॉन के पास कंचों की संख्या 36 है
तो जीवंती के पास कंचों की संख्या = 45 - x = 45 - 36 = 9
और, यदि जॉन के पास कंचों की संख्या 9 है
तो जीवंती के पास कंचों की संख्या = 45 - x = 45 - 9 = 36

(ii) माना उस दिन उत्पादित खिलौनों की संख्या x है।
इसलिए; उस दिन प्रत्येक खिलौने की उत्पादन लागत (रुपये में) = 55 – x तो, उस दिन उत्पादन की कुल लागत (रुपये में) = x(55 – x) प्रश्न के अनुसार, x(55 – x) = 750 या 55x – x² = 750 या x² – 55x + 750 = 0 या x² – 30x – 25x + 750 = 0 या x (x – 30) – 25 (x – 30) = 0 (x – 30) (x – 25) = 0 ∴ (x – 30) = 0 या (x – 25) = 0 ⇒ x = 30 या x = 25 इसलिए, यदि उस दिन उत्पादित खिलौनों की संख्या x = 30 है, तो, प्रत्येक खिलौने की उत्पादन लागत (रुपये में) = 55 – x = 55 – 30 = ₹ 25. और, यदि उत्पादित खिलौनों की संख्या x = 25 है, तो उत्पादन लागत = 55 – x = 55 – 25 = ₹ 30.

प्रश्न 3.
दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 और गुणनफल 182 है।
हल:
माना पहली संख्या x है दूसरी संख्या = 27 – x प्रश्न के अनुसार,
x(27 – x) = 182 '
या 27x – x² = 182
या x² – 27x + 182 = 0
या x² – 14x – 13 + 182 = 0
या x (x – 14) – 13 (x – 14) = 0
या (x – 14) (x – 13) = 0
∴ (x – 14) = 0 या, (x – 13) = 0
⇒ x = 14 या x = 13
इसलिए, यदि पहली संख्या 14 है तो दूसरी संख्या
27 – x = 27 – 14 = 13 है
और, यदि पहली संख्या 13 है तो दूसरी संख्या
27 – x = 27 – 13 = 14

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 365 है।
हल:
माना पहला क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x है।
∴दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x + 1 है।
प्रश्न के अनुसार,
x² + (x + 1)² = 365
या x² + x² + 2x + 1 = 365
या 2x² + 2x + 1 – 365 = 0
या 2x² + 2x – 364 = 0
या 2(x² + x – 182) = 0
या x² + x – 182 = 0
या x² + 14x – 13x – 182 = 0
या x(x + 14) – 13 (x + 14) = 0
या (x + 14) (x- 13) = 0
∴ (x + 14) = 0 या (x – 13) = 0
⇒ x = – 14 या x = 13
लेकिन, जैसा कि हमने बताया है कि संख्याएँ धनात्मक हैं
∴ x = – 14 उपेक्षित है।
इसलिए, x = 13
∴ पहला क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x = 13
और दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = 27 – x = 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी है, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना समकोण त्रिभुज का आधार = x
∴ समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7
और समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13 सेमी
पाइथागोरस प्रमेय से, हमारे पास है,
(ऊँचाई)² + (आधार)² = (कर्ण)²
∴ (x – 7)² + x² = (13)²
या x² – 14x + 49 + x² = 169
या 2x² – 14x + 49 – 169 = 0
या 2x² -14x – 120 = 0
या 2(x² – 7x – 60) = 0
या x² – 7x – 60 = 0
या x² – 12x + 5x – 60 = 0
या x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
या (x -12) (x + 5) = 0
∴ x – 12 = 0 या x + 5=0
⇒ x = 12 या x = – 5
लेकिन, लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती
इसलिए, x = – 5 उपेक्षित है।
∴ x = 12
इसलिए, समकोण त्रिभुज का आधार = x
∴ x = 12 सेमी
और समकोण त्रिभुज की ऊंचाई = x – 7 = 12 – 7 = 5 सेमी

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में एक निश्चित संख्या में मिट्टी के बर्तनों का उत्पादन करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक वस्तु की उत्पादन लागत (रुपयों में) उस दिन उत्पादित वस्तुओं की संख्या के दोगुने से 3 अधिक थी। उस दिन कुल उत्पादन लागत ₹90 थी। उत्पादित वस्तुओं की संख्या और प्रत्येक वस्तु की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना उत्पादित वस्तुओं की कुल संख्या = x
उत्पादन की लागत = 2x + 3
प्रश्न के अनुसार,
x (2x + 3) = 90
या 2x² + 3x = 90
या 2x² + 3x – 90 = 0
या 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
या x(2x + 15) – 6 (2x + 15) = 0
या (2x +15) (x – 6) = 0
∴(2x + 15) = 0 या (x – 6) = 0
x = \(\frac { -15 }{ 2 }\) या x = 6 लेकिन, वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए, x = \(\frac { -15 }{ 2 }\) को नजरअंदाज कर दिया गया है। ∴ उत्पादित वस्तुओं की कुल संख्या = x = 6 और उत्पादन लागत = 2x + 3 = 2 x 6 + 3 = ₹ 15.− 152या x = 6
− 152उपेक्षित है.

Ex 4.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए, यदि वे मौजूद हों, तो पूर्ण वर्ग विधि द्वारा:
(i) 2x 2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2x 2 + x – 4 = 0
(iii) 4x 2 + 4√3x + 3 = 0
(iv) 2x 2 + x + 4 = 0
हल:
(i) हमें प्राप्त है,

समीकरण (i) में (\(\frac { 7 }{ 4 }\))² जोड़ने और घटाने पर, हम पाते हैं,74)² समीकरण (i) में, हम पाते हैं,

(ii)

समीकरण (i) में (\(\frac { 1 }{ 4 }\))² जोड़ने और घटाने पर, हम पाते हैं,14)² समीकरण (i) में, हम पाते हैं,

(iii)

समीकरण (i) में \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\) जोड़ने और घटाने पर, हम पाते हैं,(3√2)2समीकरण (i) में, हम पाते हैं,

(iv)

समीकरण (i) में (\(\frac { 1 }{ 4 }\))² जोड़ने और घटाने पर, हम पाते हैं, अतः मूल मौजूद नहीं हैं।14)² समीकरण (i) में, हम पाते हैं,

प्रश्न 2.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए।
(i) 2x 2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2x 2 + x – 4 = 0
(iii) 4x 2 + 4√3x + 3 = 0
(iv) 2x 2 + x + 4 = 0
हल:
(i) हमें मिलता है,
2x 2 – 7x + 3 = 0
यहाँ a = 2, b = – 7, और c = 3
∴ द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें मिलता है,

(ii) हमें प्राप्त है,
2x 2 + x – 4 = 0
यहाँ a = 2, b = 1, और c = – 4
∴ द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं,

(iii) हमें प्राप्त है,
4x 2 + 4√3x + 3 = 0
यहाँ a = 4, b = 4√3 और c = 3
∴ द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं,

(iv) हमारे पास है,
2x 2 + x + 4 = 0
यहाँ a = 2, b = 1, और c = 4
∴ द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं,

यहाँ, b² – 4ac < 0
इसलिए, दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 3.
रहमान की 3 वर्ष पहले और अब से 5 वर्ष बाद की आयु (वर्षों में) के व्युत्क्रमों का योग \(\frac { 1 }{ 3 }\) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: माना रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है। 3 वर्ष पहले रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष थी। अब से 5 वर्ष बाद रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष होगी। ∴ प्रश्न के अनुसार द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए , चूँकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम x = – 3 के मान की उपेक्षा करते हैं। इसलिए, x = 7 है। इसलिए, रहमान की वर्तमान आयु = x = 7 वर्ष है।13उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4.
एक कक्षा परीक्षा में, शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त अंकों का योग 30 है। यदि उसे गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। दोनों विषयों में उसके अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त अंक = x तो,
प्रश्न के अनुसार,
(x + 2) x (30 – x – 3) = 210
या (x + 2) x (27 – x) = 210
या 27x – x² + 54 – 2x – 210
या 25x – x² + 54 = 210
या x² – 25x – 54 + 210 = 0
या x² – 25x + 156 = 0
यहाँ, a = 1, b = – 25 और c = 156
द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए

इसलिए, यदि शेफाली के गणित में अंक = x = 13
तो, शेफाली के अंग्रेजी में अंक = 30 – x = 30 = 17
और यदि शेफाली के गणित में अंक = x = 12
तो, शेफाली के गणित में अंक = 30 – x = 30 – 12 = 18

प्रश्न 5.
एक आयताकार मैदान का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर बड़ा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर बड़ी है, तो मैदान की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:
मान लीजिए ABCD एक आयताकार मैदान है।
मान लीजिए इसकी छोटी भुजा AB, x मीटर है और बड़ी भुजा BC, (x + 30) मीटर है।
आयताकार मैदान का विकर्ण AC, x + 60 मीटर है।
पाइथागोरस प्रमेय से, हमारे पास है,
(AC)² = (AB)² + (BC)²
∴ (x – 60)² = x² + (x + 30)²
या x² + 120x + 3600 = x² + x² + 60x + 900
या x² + 120x + 3600 = 2x² + 60x + 900
2x² + 60x + 900 – x² – 120x – 3600 = 0
या x² – 60x – 2700 = 0
यहाँ, a = 1, b = – 60 और c = – 2700
द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

चूंकि, आयाम नकारात्मक नहीं हो सकता है,
इसलिए हम x = – 30 के मान की उपेक्षा करते हैं
इसलिए, x = 90
∴ आयताकार क्षेत्र की छोटी भुजा की लंबाई = x = 90 मीटर
और आयताकार की लंबी भुजा की लंबाई = x + 30 = 90 + 30 = 120 मीटर।

प्रश्न 6.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 किमी. की यात्रा करती है। यदि चाल 5 किमी./घंटा अधिक होती, तो उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लगता। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
कुल तय की गई दूरी = 360 किमी।
मान लीजिए एकसमान चाल x किमी./घंटा है,
तो बढ़ी हुई चाल = (x + 5) किमी./घंटा।
प्रश्न के अनुसार,

चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम x = – 45 का मान अस्वीकृत करते हैं।
∴ x = 40
अतः रेलगाड़ी की सामान्य चाल = x किमी./घंटा = 40 किमी./घंटा।

Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक मूल मौजूद हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 2x 2 -6x + 3 = 0
हल:
(i) हमारे पास है,
2x² – 3x + 5 = 0
यहाँ, a = 2, b = – 3 और c = 5
∴ विभेदक (D) = b² – 4ac = (- 3)² – 4 x 2 x 5 = 9 – 40 = – 31
∴ D= – 31
यहाँ, विभेदक (D) < 0 इसलिए, दिए गए द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(ii) हमारे पास है, 2x² – 6x + 3 = 0
यहाँ, a = 2,b = – 6, c = 3
∴ विभेदक (D) = b² – 4ac = (- 6)2 – 4 x 2 x 3 = 36 – 24 = 12
∴ D= 12 विभेदक (D) > 0
इसलिए, दिए गए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। भिन्न मूल \(\sqrt{3x}\)3x−−√

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों में से प्रत्येक के लिए k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि उनके दो वास्तविक बराबर मूल हों।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल:
(i) हमारे पास है,
2x² + kx + 3 = 0
यहाँ, a = 2, b = k और c = 3
∴ विभेदक (D) = b² – 4ac = k² – 4 x 2 x 3
D = k² – 24
लेकिन हमने दिया है कि समीकरण के दो वास्तविक और बराबर मूल हैं।
∴ D = 0
k² – 24 = 0
k² = 24
∴ k = \(\sqrt{24}\)24−−√
k = ±2\(\sqrt{6}\)6–√

(ii) हमारे पास है,
kx (x – 2) + 6 = 0
या, kx² – 2kx + 6 = 0
यहाँ, a = k, b = – 2k और c = 6
∴ विभेदक (D) = b²- 4ac
= (- 2k)² – 4 xkx 6
D= 4k² – 24k
लेकिन हमने दिया है कि समीकरण के दो वास्तविक बराबर मूल हैं।
∴ D = 0
4k² – 24k = 0
या, 4k(k – 6) = 0
तो, 4k = 0 या k – 6 = 0
इसलिए, k = 0 या k = 6

प्रश्न 3.
क्या एक आयताकार आम के बगीचे की रचना करना संभव है जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई से दोगुनी हो और क्षेत्रफल 800 वर्ग मीटर हो? यदि हाँ, तो इसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयताकार आम के बगीचे की चौड़ाई = x
∴ आयताकार आम के बगीचे की लंबाई = 2x
∴ आयताकार आम के बगीचे का क्षेत्रफल = lxb
या 800 = x × 2x [∴ आयत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई]
या 800 = 2x²
या x = \(\frac { 800 }{ 2 }\)8002
∴ x = \(\sqrt{400}\) = ± 20400−−−√= ± 20
चूँकि, आयाम ऋणात्मक नहीं हो सकते, इसलिए हम x = – 20 के मान को अस्वीकार करते हैं।
∴ आयताकार आम के बगीचे की चौड़ाई = x = 20 मीटर
और आयताकार आम के बगीचे की लंबाई = 2x – 2 x 20 = 40 मीटर

प्रश्न 4.
क्या निम्नलिखित स्थिति संभव है? यदि हाँ, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पहले, वर्षों में उनकी आयु का गुणनफल 48 था।
हल:
माना एक मित्र की वर्तमान आयु x है
∴ दूसरे मित्र की वर्तमान आयु 20 – x है
चार वर्ष पहले पहले मित्र की आयु = x – 4
और चार वर्ष पहले दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) – 4 = 16 – x
∴ प्रश्न के अनुसार,
(x – 4) (16 – x) = 48
या 16x – x² – 64 + 4x = 48
या – x² + 20x – 64 = 48
या x² – 20x + 64 + 48 = 0
या x² – 20x + 112 = 0
यहाँ, a 1,b = -20 और c = 112
∴ विभेदक (D) b² – 4ac
= (-20)2 – 4 x 1 x 112
= 440 – 448 = -48
∴ D<0
अतः समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः दी गई स्थिति संभव नहीं है।