NCERT Class 10 Maths Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ी
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ी
Ex 5.1
निम्नलिखित में से किस स्थिति में, सम्मिलित संख्याओं की सूची एक अंकगणितीय श्रेणी बनाती है और क्यों?
(i) प्रत्येक किमी के बाद टैक्सी का किराया जब किराया पहले किमी के लिए ₹ 15 और प्रत्येक अतिरिक्त किमी के लिए ₹ 8 है।
(ii) प्रत्येक मीटर खुदाई के बाद एक कुआं खोदने की लागत, जब पहले मीटर के लिए इसकी लागत ₹ 150 है और प्रत्येक बाद के मीटर के लिए ₹ 50 बढ़ जाती है।
हल:
(i) हाँ, 15, 23, 31, .... एक एपी बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक बाद का पद अपने पिछले पद में 8 जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
(ii) हाँ, 150,200,250,…. एक AP बनाते हैं
प्रश्न 2.
AP के प्रथम चार पद लिखिए, जब प्रथम पद a और सार्व अंतर d इस प्रकार दिए गए हैं:
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = -1, d = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल:
(i) दिया गया है: a = 10, d = 10
a 1 = 10,
a 2 = 10 + 10 = 20
a 3 = 20 + 10 = 30
a 4 = 30 + 10 = 40
इस प्रकार, समान्तर श्रेढ़ी के पहले चार पद 10, 20, 30, 40 हैं।
(ii) दिया गया है: a = – 2, d = 0
समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम चार पद -2, -2, -2, -2 हैं।
(iii) a 1 = 4, d = -3
a 2 = a 1 + d = 4 – 3 = 1
a 3 = a 2 + d = 1 – 3 = -2
a 4 = a 3 + d = -2 – 3 = -5
इस प्रकार, समान्तर श्रेढ़ी के पहले चार पद 4, 1, -2, … -5 हैं।
(v) a 1 = -1.25, d = -0.25
a 2 = a 1 + d = -1.25 – 0.25 = -1.50
a 3 = a 2 + d = -1.50 – 0.25 = -1.75
a 4 = a 3 + d = -1.75 – 0.25 = -2.00
इस प्रकार, समान्तर श्रेढ़ी के पहले चार पद -1.25, -1.50, -1.75, -2 हैं।
प्रश्न 3.
निम्नलिखित A.P. के लिए, पहला पद और सार्व अंतर लिखें:
(i) 3, 1, -1, -3, ……
(ii) -5, -1, 3, 7, ……
हल:
(i) a 1 = 3, a 2 = 1
d = a 2 – a 1 = 1 – 3 = -2
जहाँ, a 1 = पहला पद और d = सार्व अंतर
a 1 = 3, d = -2
(ii) a 1 = -5, a 2 = -1
d = a 2 – a 1 = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
अतः, पहला पद a 1 = -5 और सार्व अंतर d = 4
प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन सी A.P. हैं? यदि वे एक A.P. बनाते हैं, तो सार्व अंतर d ज्ञात कीजिए और तीन और पद लिखिए।
(i) 2, 4, 8, 16, …….
(ii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ……
(iii) -10, -6, -2,2, …..
(iv) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, …..
(v) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ……
(vi) 0
(vii) 1, 3, 9, 27, …….
(viii) a, 2a, 3a, 4a, …….
(ix) a, a2, a3, a4, …….
(x) 1², 3², 5², 7², ……
(xi) 1², 5², 7², 7², ……
हल:
(i) 2, 4, 8, 16, ……
a 2 – a 1 = 4 – 2 = 2
a 3 – a 2 = 8 – 4 = 4
यानी, d = a n+1 – a n हर बार समान नहीं है, इसलिए दी गई श्रृंखला एक AP का रूप नहीं है
(ii) हमने श्रृंखला दी है,
- 1.2, - 3.2, - 5.2, - 7.2, ...
∴ a 2 - a 1 = - 3.2 - (1.2) = - 2
a 3 - a 2 = - 5.2 - (- 3.2) = - 2
यानी, d = a n + 1 - a<sub<n हर बार समान है, इसलिए संख्याओं की दी गई सूची एक AP बनाती है।
इसलिए, सामान्य अंतर (d) = - 2
अंतिम पद के बाद अगले तीन पद हैं,
- 7.2 + (- 2) = - 9.2
- 9.2 + (- 2) = - 11.2 और - 11.2 + (- 2), - 13.2
इस प्रकार, हम तीन पद प्राप्त करते हैं - 9.2, 11.2, - 13.2।
(iii) हमें श्रृंखला 10, - 6, -2, 2 दी गई है
∴ a 2 – a 1 = - 6 - (- 10) = 4
a 3 – a 2 = - 2 - ( - 6) = 4
अर्थात, d = a n + 1 हर बार समान है, इसलिए संख्याओं की दी गई सूची एक समान्तर श्रेढ़ी बनाती है।
इसलिए, सार्व अंतर (d) = 4
अंतिम दिए गए पद के बाद अगले तीन पद
हैं,
2 + 4 = 6
6 + 4 = 10 और 10 + 4 = 14 इस प्रकार, हमें तीन पद 6,10,14 प्राप्त होते हैं।
(iv) 
(v) हमने श्रृंखला दी है,
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,…
∴ a 2 – a 1 = 0.2 – 0.20 = 0.02
a 3 – a 2 = 0.222 – 0.22 = 0.002
यानी, d = a n + 1 हर बार समान नहीं है, इसलिए दी गई श्रृंखला एक AP नहीं बनाती है।
(vi) हमने श्रृंखला दी है,
0, - 4, - 8, - 12, ...
= a 2 - a 1 = - 4 - 0 = - 4
a 3 - a 2 = - 8 - (- 4) = - 4
यानी, d = a n + 1 - a n हर बार समान है, इसलिए दी गई श्रृंखला एक AP के रूप में है।
इसलिए, सामान्य अंतर (d) = - 4
अंतिम दिए गए पदों के बाद अगले तीन पद
हैं,
- 12 + (- 4) = - 16
- 16 + (- 4) = - 20 और - 20 + (- 4) = - 24
इस प्रकार, हम तीन प्राप्त करते हैं - 16, - 20, - 24।
(vii) हमें श्रृंखला 1, 3, 9, 27,… दी गई है।
∴ a 2 – a 1 = 3 – 1 = 2
a 3 – a 2 = 9 – 3 = 6
अर्थात्, d = a n + 1 – a n सदैव समान नहीं होता।
अतः, दी गई श्रृंखलाएँ एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं बनाती हैं।
(viii) हमने श्रृंखला दी है, a, 2a, 3a, 4a, ...
∴ a 2 – a 1 = 2a – a = a
a 3 – a 2 = 3a – 2a = a
यानी, d = a n + 1 – a n हर बार समान है, इसलिए दी गई श्रृंखला एक AP के रूप में है
इसलिए, सामान्य अंतर (d) = a
अंतिम दिए गए पद के बाद अगले तीन पद हैं, 4a + a = 5a
5a + a = 6a और 6a + a = 7a इस प्रकार, हम 5a, 6a, 7a के रूप में तीन पद प्राप्त करते हैं।
(ix) हमें श्रृंखला
a 1 , a², a³, a 4 , … दी गई है।
∴ a² 2 – a 1 = a (a – 1)
a³ – a² = a² (a – 1)
अर्थात्, d = a n + 1 – a n सदैव समान नहीं होता।
अतः दी गई श्रृंखलाएँ एक AP नहीं हैं।
(x) हमने श्रृंखला दी है, 1², 3², 5², 7²
∴ a 2 – a 1 = 3² – 1² = 9 – 1 = 8
a 3 – a 2 = 5² – 32 = 25 – 9 = 16
यानी, d = a n + 1 – a n हर बार समान नहीं है, इसलिए दी गई श्रृंखला एक AP नहीं बनाती है।
(xi) हमें श्रृंखला दी गई है, 1², 5², 7², 7², ...
∴ a 2 – a 1 = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a 3 – a 2 = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a 4 – a 3 = 7³ – 7² = 73 – 49 = 24
यानी, d = a n + 1 – a n हर बार समान है, इसलिए दी गई श्रृंखला एक AP के रूप में है।
इसलिए, सामान्य अंतर (d) = 24
अंतिम पद के बाद अगले तीन पद हैं,
73 + 24 = 97
97 + 24 = 121 और 121 + 24 = 145
इस प्रकार हम तीन पद 97, 121, 145 प्राप्त करते हैं।
Ex 5.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित तालिका में रिक्त स्थान भरें, दिया गया है कि a पहला पद है, d सार्व अंतर है और anवाँ पद है:
हल:
(i) 28
(ii) 2
(iii) 46
(iv) 10
(v) 3.5
प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनिए और तर्क दीजिए:
(i) समान्तर श्रेणी: 10, 7, 4, ... का 30वाँ पद है:
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
(ii) समान्तर श्रेढ़ी का 11वाँ पद: -3, \(\frac { -1 }{ 2 }\) , 2, …, है
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -48
हल:
(i) 10, 7, 4, …,
a = 10, d = 7 – 10 = – 3, n = 30
a n = a + (n – 1)d
⇒ a 30 = a + (30 – 1) d = a + 29 d = 10 + 29 (-3) = 10 – 87 = – 77
इसलिए, अनुक्रम 10, 7, 4, का 30 वां पद – 77 है, अर्थात, (C) सही विकल्प है।
प्रश्न 3.
AP: 3, 8, 13, 18, …, का कौन सा पद 78 है?
हल:
दिया गया है: 3, 8, 13, 18, ………,
a = 3, d = 8 – 3 = 5
माना nवाँ पद 78 है
a n = 78
a + (n – 1) d = 78
⇒ 3 + (n – 1) 5 = 78
⇒ (n – 1) 5 = 78 – 3
⇒ (n – 1) 5 = 75
⇒ n – 1 = 15
⇒ n = 15 + 1
⇒ n = 16
अतः, a 16 = 78
प्रश्न 4.
निम्नलिखित प्रत्येक A.P. में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए:
(i) 7, 13, 19, …, 205
(ii) 18, 15\(\frac { 1 }{ 2 }\), 13, …, -47
हल:
(i) हमने अनुक्रम 7,13,19,… 205 दिया है यहाँ, a = 7, d = 13-7 = 6 an = 205 माना इस समान्तर श्रेढ़ी में n पद हैं।
∴ a n = 205
a + (n – 1)d= 205 (∴ a n = a + (n – 1) d)
या, 7 + (n – 1) x 6 = 205 (∴ a = 7 और d = 6)
या, (n – 1)6 = 205 – 7
या, (n – 1) = \(\frac { 198 }{ 6 }\)
∴ n = 33 + 1 = 34
अतः, इस अनुक्रम में 34 पद हैं।
(ii) हमने अनुक्रम दिया है
प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या -150 समांतर श्रेणी AP का एक पद है: 11, 8, 5, 2, ….
हल:
11, 8, 5, 2, …….
यहाँ, a = 11, d = 8 – 11= -3, a n = -150
a + (n – 1) d = an
⇒ 11 + (n – 1) (- 3) = -150
⇒ (n – 1) (- 3) = -150 – 11
⇒ -3 (n – 1) = -161
⇒ n – 1 = \(\frac { -161 }{ -3 }\)
⇒ n = \(\frac { 161 }{ 3 }\) + 1 = \(\frac { 164 }{ 3 }\) = 53\(\frac { 4 }{ 3 }\)
जो एक पूर्णांक संख्या नहीं है।
अतः -150 समांतर श्रेणी का पद नहीं है।
प्रश्न 6. एक समान्तर श्रेढ़ी का
31 वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 और 16वाँ पद 73 है।
हल:
a 11 = 38 और a 16 = 73
⇒ a 11 = a + (11 – 1) d ⇒ a + 10d = 38 ….. (i)
⇒ a 16 = a + (16 – 1 )d ⇒ a + 15d = 73 …(ii)
समीकरण को घटाने पर। (i) (ii) से, हम पाते हैं
a + 15d – a – 10d = 73 – 38
⇒ 5d = 35
⇒ d = 1
(i) से, a + 10 x 7 = 38
⇒ a = 38 – 70 = – 32
a 31 = a + (31 – 1) d = a + 30d = – 32 + 30 x 7 = – 32 + 210 = 178
इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी का 31वाँ पद 178 है।
प्रश्न 7.
एक समान्तर श्रेढ़ी में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 और अंतिम पद 106 है। 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है:
a 50 = 106
a 50 = a + (50 – 1) d
⇒ a + 49d = 106 … (i)
और a 3 = 12
⇒ a 3 = a + (3 – 1 )d
⇒ a + 2d = 12 … (ii)
समीकरण (ii) को (i) से घटाने पर, हम पाते हैं
a + 49d – a – 2d = 106 – 12
⇒ 47d = 94
⇒ d = \(\frac { 94 }{ 47 }\) = 2
a + 2d = 12
⇒ a + 2 x 2 = 12
⇒ a + 4 = 12
⇒ a = 12 – 4 = 8
a 29 = a + (29 – 1) d = a + 28d = 8 + 28 x 2 = 8 + 56 = 64 इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी का
29 वां पद 64 है।
प्रश्न 8.
यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का तीसरा और नौवाँ पद क्रमशः 4 और -8 है, तो इस समान्तर श्रेढ़ी का कौन सा पद शून्य है?
हल:
दिया गया है: a 3 = 4 और a 9 = -8
⇒ a 3 = a + (3 – 1 )d ⇒ a + 2d = 4 …(i)
a 9 = a + (9 – 1) d ⇒ a + 8d = -8 ….(ii)
समीकरण (i) को (ii) से घटाने पर, हम पाते हैं:
a + 8d – a – 2d = -8 – 4
⇒ 6d = -12.
⇒ d = -2
अब,
a + 2d = 4
⇒ a + 2(-2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 4 + 4 = 8
माना a n = 0
⇒ a + (n – 1) d = 0
⇒ 8 + (n – 1) (- 2) = 0
⇒ 8 = 2 (n – 1)
⇒ n – 1 = 4
⇒ n = 4 + 1 = 5
इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी का 5वां पद 0 है।
प्रश्न 9.
एक समान्तर श्रेढ़ी का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है: a 17 – a 10 = 7
⇒ [a + (17 – 1 ) d] – [a + (10 – 1 ) d] = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 1
इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर 1 है।
प्रश्न 10.
समान्तर श्रेढ़ी 3, 15, 27, 39, ... का कौन सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल:
3, 15, 27, 39, …..
यहाँ, a = 3, d = 15 – 3 = 12
माना a n = 132 + a 54
⇒ a n – a 54 = 132
⇒ [a + (n – 1) d] – [a + (54 – 1) d] = 132
⇒ a + nd – d – a – 53d = 132
⇒ 12n – 54d = 132
⇒ 12n – 54 x 12 = 132
⇒ (n – 54)12 = 132
⇒ n – 54 = 11
⇒ n = 11 + 54 = 65
इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी का 65वाँ पद इसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।
प्रश्न 11.
दो समान्तर श्रेढ़ी (AP) का सार्व अंतर समान है। उनके 100वें पदों का अंतर 100 है। उनके 1000वें पदों का अंतर क्या है?
हल:
मान लीजिए a और A दो समान्तर श्रेढ़ी (AP) के पहले पद हैं और d सार्व अंतर है।
दिया है:
a 100 – A 100 = 100
⇒ a + 99d – A – 99d =
100 ⇒ a – A = 100
⇒ a 1000 – A 1000 = a + 999d – A – 999d
⇒ a – A = 100
⇒ a 1000 – A 1000 = 100 [समीकरण (i) से]
इसलिए, उनके 1000वें पद का अंतर 100 है।
प्रश्न 12.
7 से विभाज्य कितनी तीन अंकों की संख्याएँ हैं?
हल:
7 से विभाज्य तीन अंकों की संख्याएँ 105, 112, 119, ………., 994 हैं।
यहाँ, a = 105, d = 112 – 105 = 7, a n = 994
a + (n – 1) d = 994
⇒ 105 + (n – 1) 7 = 994
⇒ (n – 1) 7 = 994 – 105
⇒ 7 (n – 1) = 889
⇒ n – 1 = 127
⇒ n = 127 + 1 = 128
इसलिए, 7 से विभाज्य तीन अंकों की संख्याओं की संख्या 128 है।
प्रश्न 13.
10 और 250 के बीच 4 के कितने गुणज हैं?
हल:
10 और 250 के बीच 4 के गुणज 12, 16, 20, 24,…., 248 हैं।
यहाँ, a = 12, d = 16 – 12 = 4, a n = 248
a n = a + (n – 1) d
⇒ 248 = 12 + (n – 1) 4
⇒ 248 – 12 = (n – 1) 4
⇒ 236 = (n – 1) 4
⇒ 59 = n – 1
⇒ n = 59 + 1 = 60
इसलिए, 10 और 250 के बीच 4 के गुणज वाले पदों की संख्या 60 है।
प्रश्न 14.
n के किस मान के लिए, दो समान्तर श्रेढ़ी 63, 65, 61,… और 3, 10, 17,… का nवाँ पद बराबर है?
हल:
पहली AP
63, 65, 67,…
यहाँ, a = 63, d = 65 – 63 = 2
a n = a + (n – 1) d = 63 + (n – 1) 2 = 63 + 2n – 2 = 61 + 2n
दूसरी AP
3, 10, 17,…
यहाँ, a = 3, d = 10 – 3 = 7
a n = a + (n – 1) d = 3 + (n – 1)7 = 3 + 7n – 7 = 7n – 4
अब, a n = a n
⇒ 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 61 + 4 = 7n – 2n
⇒ 65 = 5n
⇒ n = 13
इसलिए, दोनों AP का 13वाँ पद समान है।
प्रश्न 15.
वह समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल:
दिया गया है: a 3 = 16
⇒ a + (3 – 1)d = 16
⇒ a + 2d = 16
और a 7 – a 5 = 12
⇒ [a + (7 – 1 )d] – [a + (5 – 1 )d] = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6
चूँकि a + 2d = 16
⇒ a + 2(6) = 16
⇒ a + 12 = 16
⇒ a = 16 – 12 = 4
a 1 = a = 4
a 2 = a 1 + d = a + d = 4 + 6 = 10
a 3 = a 2 + d = 10 + 6 = 16
a 4 = a 3 + d = 16 + 6 = 22
इस प्रकार, अभीष्ट AP है a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,…,
इसलिए अभीष्ट AP है 4, 10, 16, 22.
प्रश्न 16.
AP के अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए: 3, 8, 13, …, 253.
हल:
दिया गया है: AP 3, 8, 13, ….. ,253 है।
दी गई AP को उलटने पर, हमारे पास
253, 248, 243 , ………, 13, 8, 3 हैं
। यहाँ, a = 253, d = 248 – 253 = -5
a 20 = a + (20 – 1)d = a + 19d = 253 + 19 (-5) = 253 – 95 = 158
प्रश्न 17.
सुब्बा राव ने 1995 में ₹5000 के वार्षिक वेतन पर काम शुरू किया और उन्हें हर साल ₹200 की वेतन वृद्धि मिलती थी। किस वर्ष उनकी आय ₹7000 तक पहुँच गई?
हल:
हमारे पास है,
सुब्बा राव का प्रारंभिक वेतन ₹ 5000 है और वार्षिक वेतन वृद्धि = ₹ 500
इसलिए, सुब्बा राव के वेतन का क्रम 5000, 5200, 5400,… है।
हमारे पास है, a + (n – 1) d = 7000
⇒ 5000 + (n – 1) 200 = 7000
⇒ (n – 1) 200 = 7000 – 5000
⇒ (n – 1) 200 = 2000
⇒ (n- 1) = 10
⇒ n = 11
⇒ 1995 + 11 = 2006
इसलिए, 1995 से 11 वर्ष बाद, सुब्बा राव का वेतन प्रत्येक ₹ 7000 होगा।
∴ 19995 + 11 = 2006
अतः वर्ष 2006 में सुब्बा राव का वेतन ₹ 7000 हो जाएगा।
Ex 5.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित A.P. का योग ज्ञात कीजिए:
(i) 2, 7, 12,…… से 10 पद।
(ii) -37, -33, -29,…… से 12 पद।
(iii) 0.6, 1.7, 2.8,……, से 100 पद।
हल:
(i) हमारे पास
2, 7, 12, … से 10 पद हैं।
यहाँ, a = 2, d = 7 – 2 = 5 और n = 10
इसलिए, समान्तर श्रेढ़ी 2, 7, 12, ….. के 10 पदों का योग 245 है।
(ii) हमारे पास है,
- 37, - 33, - 29, ... से 12 पद
यहाँ, a = - 37, d = - 33 - (- 37) = 4 और n = 12
इसलिए, AP - 37, - 33, - 29, ... के 12 पदों का योग - 180 है।
(iii) हमारे पास
0.6,1.7, 2.8,… से 100 पद हैं
यहां, a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1 और n = 100
इसलिए, AP 0.6, 1.7,2.8,… के 100 पदों का योग 5505 है।
प्रश्न 2.
नीचे दिए गए योग ज्ञात कीजिए:
(i) 34 + 32 + 30 + … + 10
(ii) -5 + (-8) + (-11) + ….. + (-230)
हल:
(i) हमारे पास है
34 + 32 + 30 + … + 10
इसलिए, 34 + 32 + 30 + … + 10 = 286
(ii) हमारे पास है
-5 + (-8) + (-11) + ….. + (-230)
इसलिए, -5 + (-8) + (-11) + ….. + (-230) = - 8390.
प्रश्न 3.
एक समान्तर श्रेढ़ी में:
(i) दिया गया है a = 5, d = 3, a n = 50, n और S n ज्ञात कीजिए ।
(ii) दिया गया है a 12 = 37, d = 3, a और S 12 ज्ञात कीजिए ।
(iii) दिया गया है a 3 = -15, S 10 = 125, d और a 10 ज्ञात कीजिए ।
(iv) a = 3, n = 8, S = 192 दिया गया है, d ज्ञात कीजिए।
(v) l = 28, S = 144 दिया गया है, और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) हमारे पास
a = 5, d = 3, a n = 50 है
, लेकिन, हम जानते हैं कि
इसलिए, n = 16 और S n = 440 है।
(ii) हमारे पास a 12 = 37, d = 3 है
लेकिन, हम जानते हैं कि
a 12 = a + 11d
या 37 = a + 11 x 3
या 37 = a ÷ 33
या a = 37 – 33 = 4
फिर हम जानते हैं कि इसलिए, a = 4 और S 12
का मान = 246 है।
(iii) हमारे पास है a 3 = -15, S 10 = 125
लेकिन, हम जानते हैं कि
समीकरण (i) को 10 से गुणा करने पर फिर समीकरण (ii) से घटाने पर, हमें मिलता है,
समीकरण (i) में d = - 1 का मान रखने पर, हमें मिलता है,
a + 2(-1) = 15
a - 2 = 15 ⇒ a = 17
अब, a = a+ (n - 1)d
a 10 = 17 + (10 - 1) (- 1)
a 10 = 17 - 9 = 8
इसलिए, d = - 1 और a 10 = 8
(iv) हमारे पास है a = 3, n = 8, S = 192
लेकिन, हम जानते हैं कि
इसलिए, d का मान = 6 है।
(v) हमारे पास l = 28, S = 144, तथा n = 9 है
लेकिन, हम जानते हैं कि
a n = l
या a + (n – 1)d = 28
या a + (9 – 1)d = 28
या a + 8d = 28 ... (i)
पुनः हम जानते हैं कि
समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर हमें प्राप्त होता है,
समीकरण (i) में d का मान रखने पर
a + 8 d = 28
या a + 8 x 3 = 28
∴ a = 28 – 24 = 4
इसलिए, a का मान = 4 है।
प्रश्न 4.
636 का योग देने के लिए समान्तर श्रेढ़ी: 9, 17, 25, ….. के कितने पद लेने चाहिए?
हल:
हमारे पास है, 9,17,25 यहाँ,
a = 9 और d = 17 – 9 = 8
मान लीजिए कि इस समान्तर श्रेढ़ी के n पद लेने चाहिए ताकि 636 का योग दिया जा सके।
हम जानते हैं कि
प्रश्न 5.
एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योगफल 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 6.
एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और उनका योग क्या है?
हल:
प्रश्न 7.
एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसमें d = 7 तथा 22वाँ पद 149 है।
हल:
प्रश्न 8.
एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसका दूसरा और तीसरा पद क्रमशः 14 और 18 है।
हल:
प्रश्न 9.
यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के पहले 7 पदों का योग 49 है और 17 पदों का योग 289 है, तो पहले n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
हमारे पास
S 7 और S 17 = 289 है
लेकिन, हम जानते हैं कि
फिर से, हम जानते हैं कि
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर, हम पाते हैं,
3d – 8d = 7 – 17
या – 5d = – 10
समीकरण (i) में d का मान रखने पर, हम पाते हैं,
a + 3d = 7
या a + 3 x 2 = 7
∴ a = 7 – 6 = 1
इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग है
प्रश्न 10.
दिखाएँ कि a 1 , a 2 , ……. a n ,…… एक AP बनाते हैं जहाँ an नीचे परिभाषित है:
(i) a n = 3 + 4n
(ii) a n = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में पहले 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) हमारे पास है
a = 3 + 4n
इस समीकरण में n = 1 रखें
∴ a 1 = 3 + 4 x 1 = 7
अब, इस समीकरण में n = 2 रखें
a 2 = 3 + 4 x 2 = 11
फिर, इस समीकरण में n = 3 रखें
a 3 = 3 + 4 x 3 = 15
इसलिए, अभीष्ट AP 7, 11, 15, …. है।
यहाँ, a = 7, d = 11 – 7 = 4
हम जानते हैं कि
इसलिए, अनुक्रम a n = 3 + 4n के 15 पदों का योग 525 है।
(ii) हमारे पास है,
∴ a n = 9 – 5n
a 1 = 9 – 5 x 1 = 4
a 2 = 9 – 5 x 2 = – 1
और a 3 = 9 – 5 x 3 = – 6
∴ समान्तर श्रेणी 4, -1, -6,… है
∴ सार्व अंतर (d) = – 1 – 4 = – 5
इसलिए, अनुक्रम a n = 9 – 5n के 15 पदों का योग – 465 है।
प्रश्न 11.
यदि किसी AP के पहले n पदों का योग 4n – n 2 है , तो पहला पद (अर्थात S 1 ) क्या है? पहले दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरा, दसवां और nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
S n = 4n – n²
रखें n = 1, 2, 3, …
S 1 = 4(1) – 1
S 1 = 3,
S 2 =4,
S 3 =3,
दूसरा पद
a 2 = S 2 – S 1
a 2 = 4 – 3 ⇒ a 2 = 1;
तीसरा पद,
a 2 = S 3 – S 2
a 3 = 3 – 4 ⇒ a 2 = – 1
तीसरा पद
a 2 = S 3 – S 2
a 3 = 3 – 4 ⇒ a 3 = – 1;
⇒ – 60 + 45 = – 15
और nवाँ पद है n
= (4n – n 2 ) – [(4n – 4) – (n – 1)²] = 4n – n 2 – 4n + 4 + n 2 + 1 – 2n = 5 – 2n n वाँ पद (5 – 2n) है।
प्रश्न 12.
0 और 50 के बीच विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए 0 और 50 के बीच विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7, …….., 49 हैं।
Ex 5.4
प्रश्न 1.
AP: 121, 117, 113, ….. का कौन सा पद इसका पहला ऋणात्मक पद है?
हल:
दिया गया अनुक्रम 121, 117, 113,… है
। यह एक AP है। a = 121, d = 117 – 121 = – 4
मान लीजिए इस अनुक्रम का nवाँ पद इसका पहला ऋणात्मक पद है।
अतः, a < 0
अर्थात्, a + (n – 1 )d < 0
121 + (n – 1) – 4 < 0
121 – 4n + 4 < 0
125 < 4n ⇒ 4n > 125
⇒ n > \(\frac { 125 }{ 4 }\) = 31.25
32 वाँ पद इसका पहला ऋणात्मक पद है।
प्रश्न 2.
एक समान्तर श्रेढ़ी के तीसरे और सातवें पद का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम सोलह पदों का योग क्या है?
समाधान:
समान्तर श्रेणी का तीसरा पद a + (3 – 1)d = a + 2d
है समान्तर श्रेणी का सातवाँ पद a + (7 – 1)d = a + 6d है
, हमारे पास है,
समान्तर श्रेणी के तीसरे और सातवें पदों का योग
(a + 2d) + (a + 6 d) = 6
2a + 8d= 6
a + 4d= 3
⇒ a = 3 – 4d
यह भी दिया गया है,
गुणनफल (a + 2d) (a + 6d)= 6
a² + 6ad + 2ad + 12d² = 8
a² + 8ad + 12d² = 8
अब समीकरण में a का मान रखें, हमें मिलता है,
(3 – 4d)² + 8(3 – 4d) + 12d² = 8
⇒ a + 16d² – 24d + 24d – 32d² + 12d² = 8
a – 4d² = 8
⇒ 4d² = 1
⇒ d² = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
तो, d = ±\(\frac { 1 }{ 2 }\)
d = ±\(\frac { 1 }{ 2 }\) लेते हुए, d का मान रखें
