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Bihar Board 12th Maths Important Questions Long Answer Type Part 2

प्रश्न 1.
निम्न को सिद्ध करें –
(i) sin-1(2x1−x2−−−−−√) = 2 sin-1 x
(ii) sin-1 817 + sin-135 + sin-1 7785
(iii) sin[cot-1{cos(tan-1}] = 1+x2√2+x2
(iv)2 tan-112 + tan-117 = tan-13117
(v) tan-1x−−√12 cos-1 (1−x1+x), x ∈ [0, 1]
उत्तर:
(i) माना कि sin-1 x = θ
x = sin θ
L.H.S = sin-1 (2x. 1−x2−−−−−√
= sin-1 (2sin θ . 1−sin2θ)
= sin-1 ( 2sin θ. cos θ) = sin-1(sin2 θ)
= 2θ = 2 sin-1 x = R.H.S

(ii) L.H.S = sin-1 817 + sin-1 35

(iii) L.H.S = sin[cot-1 {cos (tan-1 x}]
माना कि tan-1 x = y ⇒ x = tan y

(iv) L.H.S = 2 tan-1 12 + tan-1 17

(v) L.H.S. = tan-1 x−−√ = 12 . tan-1x−−√

प्रश्न 2.
निम्नलिखित का मान ज्ञात करें :
(i) tan-1 [2 cos (2sin-1 1/2)]
(ii) tan-1 [sin-1 [altex]\frac{2 x}{1+x^{2}}[/latex] + cos-1 1−y21+y2] |x| < 1, y > 0, x : y < 1 उत्तर:

प्रश्न 3
सिद्ध करें कि cot−1(1+sinx√+1−sinx√1+sinx√−1−sinx√)=x2,x∈(0,μ4)
उत्तर:

प्रश्न 4.
सिद्ध करें कि 9π8−94sin−113=94sin−122√3
उत्तर:

Continuity and differentiability

प्रश्न 1.
एवं के बीच संबंध ज्ञात करें जबकि फलान f(x) निम्न रूप से परिभाषित है f(x) = {ax+bbx+3 if x≤3 if x>3 x = 3 पर संतत है
उत्तर:
Given f(x) = {ax+bbx+3 if x≤3 if x>3

f(x) is continuous at x = 3.
L.H.S. = R.H.S. = f(3)
3a + b = 3b + 3
3a + b – 3b = 3
3a – 2b = 3

प्रश्न 2.
k का मान ज्ञात करें यदि f(x) = {kcosxπ−2x3 if x≠π2 if x=π2 पर संतत है |
उत्तर:

प्रश्न 3.
ज्ञात करें [LATEX]\frac{d y}{d x}[/LATEX] –
(i) y = cosx · cos 2x · cos 3x
(i) r = 2at2, y = at4
(iii) x = a cosθ, y = b secθ
(iv) x = 4t, y = 4t
(v) x = cosθ – cos 2θ, y = sinθ – sin 2θ
(vi) x = a( cost + log tant2, y = a sint
उत्तर:
(i) ∵ y = (cos x · cos 2x) cos 3x
Diff. w. r. to x.
dydx = (cosx . cos2x) . d.c. of cos 3x + cos 3x d.c. of (cos x · cos 2x)
या dydx = – cosx · cos 2x · sin 3x . 3 + cos 3x . (cos x d.c. of cos 2x + cos 2xd.c. of cosx)
या dydx = -3cos x. cos 2x + sin 3x + cos 3x . (-cosx + sin2x- cos2x.sinx)
या dydx = -3cosx cos 2x sin 3x – cos 3x . sin (2x + x)
∴ dydx = -3 cos x. cos 2x. sin 3x – sin 3x . cos 3x

(ii) x = 2at2. y = at4
Diff. w.r. to t
dxdt = 4at …(i)

Diff. w.r. to t
dydt = 3at3 ………….(ii)

समी० (ii) ÷ समी० (i)

(iii) x = a cos θ
Diff. w. r. to θ
dxdθ = a sin θ …………………. (i)

y = b sec θ
Diff. w. r. to θ
dydθ = b sec θ tan θ …………………. (ii)
समी० (ii) ÷ समी० (i)
dydx=bsecθ⋅tanθ−asinθ

(iv) x = 4t,
Diff w.r.to t
dxdt= 4 ……………..(i)

y = 4t
Diff w.r.to t
dydt=−4t2 ……………..(ii)

समी० (ii) ÷ समी० (i)
dydx=−4t2444t2=−1t2

(v) x = cos θ – cos 2θ
Diff. w. r. to. θ
dxdθ = – sin θ + sin 2θ.2 ……………….. (i)

y = sinθ – sin 2θ
dydθ = cox θ – cos2θ . 2 …………………..(ii)

समी० (ii) ÷ समी० (i)

(vi) x = a (cos t + log tan t/2), y = a sin t
Diff w . r. to t

प्रश्न 4.
सिद्ध के f(x) = ]{12x−13,x≤32x2+5,x>3x=3 पर अवकलित है। एवं f'(3) ज्ञात करें।
उत्तर:
दिया गया है -f(x) = ]{12x−13,x≤32x2+5,x>3x=3

∵ L.H.S. at x = 3
f(x) is differentiable at x = 3 and f’ (3) = 12

प्रश्न 5.
(i) If f(x) = x2 + 2x + 7 find f'(3)
(ii) If f(x) = x2 + 7x + 4
Find f (2) & (5)
उत्तर:
(i) Given f(x)= x2 + 2x + 7
By formula,

(ii) Given f(x) = x2 + 7x + 4 By formula

प्रश्न 6.
a एवं b के किस मान के लिए फलन f(x) = {x2,ax+b,x>cx≤cx=c पर अवकलित है।
उत्तर:
दिया गया है, फलन f(x), x = c पर अवकलित है।
∴ f(x), x = c संतत भी होंगे

f(c) = c2
∵ c2 = ac + b = c2
Now f(x) is differentiable at x = c


∴ L.H.S =R.H.S
∴ a = 2c
समी० (i) & समी० (ii) से
c2 = 2c2 + b
⇒ b = c2 & a= 2c

प्रश्न 7.
यदि फलन f(x) = {x2+3x+a,x≤1bx+2,x>1 प्रत्येक स्थान पर अवकलित हो तो a और b का मान ज्ञात करें।
उत्तर:
For x ≤ 1, f(x) =x<sup[>2 + 3x + a = polynomial
For x> 1,
f(x) = bx + 2 = polynomial.
∵ Polynomial function में सभी स्थान अवकलित होता है।
∴ Therefore f(x) is differentiable for all x > 1 and also for all x < 1.
∴ f(x) is continuous at x = 1
∴ L.H.S. = R.H.S. = f(1)]

Again f(x) is differentiable at x = 1
∴ L.H.S. at x = 1 = R.H.S. at x = 1

या Lx→1(x+4)(x−1)(x−1)=Lx→1bx−bx−1
[समी (1)से]
या, 5 = b ⇒ B = 5
समीकरण (i) से,
a – 5 + 2 = 0
या, a – 3 = 0
∴ a = 3