Bihar Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद)
Bihar Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद)
बहुपद
प्रश्नावली 2.1
1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं ?
कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) 4x² – 3x + 7 (ii) y² +√2 (iii) 3√t + t√2
(iv) y+2/y (v) x¹⁰+y³+t⁵⁰
हल : (i) इस समीकरण 4x²-3x +7 में x की सभी घात पूर्णांक हैं। इसलिए यह एक
चर का बहुपद है।
(ii) y²+√2 में y की घात पूर्णांक है। अत: यह एक चर y का बहुपद है।
(iii) 3√t + t√2 = 3t½+√2t, यहाँ पर पहले पद की घात ½ है जोकि पूर्णांक नहीं
है। इसलिए यह बहुपद नहीं है।
(iv) y+ 2/y = y+2y-¹, यहाँ दूसरे पद की घात-1 है जो पूर्णांक नहीं है। अत: यह बहुपद
नहीं है।
(v) x¹⁰ +y³ +1⁵⁰ यहाँ x,y,t मानक रूप में है। अत: यह बहुपद नहीं है।
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x² का गुणांक लिखिए :
(i) 2+x²+x (ii) 2 – x² + x³ (iii) π/2+x²+x (iv) √2x-1
हल : x² के गुणांक
(i) 2+x²+x में 1 है। (ii) 2-x²+x³ में -1 है।
(iii) π/2+x²+x में 1/2 है। (iv) √2x-1 में 0 है।
3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
हल : (i) 35 घात वाला द्विपद बहुपद = x³⁵ + 4x (ii)100 घात वाला एक पद =5x¹⁰⁰
4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) 5x³+4x² +7x (ii) 4-y² (iii) 5t – √7 (iv) 3
हल : (i) अधिकतम घात का पद 5x³ है। अत: 3 घात है।
(ii) अधिकतम घात का पद -y² है और घात 2 है। अतः 2 घात है।
(iii) अधिकतम घात का पद 5t है और घात 1 है। अतः 1 घात है।
(iv) इसका केवल एक पद 3 है जिसको 3x लिख सकते हैं और घात 0 है। अत: 0 घात है।
5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक हैं, कौन-कौन द्विघाती
हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं:
(i) x²+x (ii) x-x³ (iii) y+y² +4
(iv) 1+x (v) 3t (vi) r² (vii)7x³
हल : (i) x²+x की अधिकतम घात 2 है अतः द्विघातीय बहुपद है।
(ii) x-x³ की अधिकतम घात 3 है। अतः त्रिघातीय बहुपद है।
(iii) y+y²+4 की अधिकतम घात 2 है। अतः यह द्विघातीय बहुपद है।
(iv) 1+x की अधिकतम घात है। अतः रैखिक बहुपद है।
(v) 3t की अधिकतम घात 1 है। अतः रैखिक बहुपद है।
(vi) r² की अधिकतम घात 2 है अतः द्विघातीय बहुपद है।
(vi) 7x³ की अधिकतम घात 3 है अतः त्रिघातीय बहुपद है।
प्रश्नावली 2.2
1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x-4x + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x=0 (ii) x = -1 (iii)x=2
हल : दिया है:
P(x) = 5x-4x² +3
(i) x=0 पर: P(0) = 5(0)-4(0)² +3=0-0+3 = 3.
(ii)x= -1 पर : P(-1) = 5(-1)-4(-1)² + 3 =-5-4+3 =-6.
(iii) x= 2 पर: P(2) = 5(2)-4(2)² +3 = 10-16+3
= 13 – 16 = -3.
2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए :
(i) p(y) =y²-y+1 (ii) p(t) = 2+t+ 2t² –t³
(iii) p(x) = x³ (iv) p(x) = (x-1) (x+1)
हल : (i) दिया है : P(y) = y²-y+1
P(0) = (0)² -0+1=0-0+1 = 1,
P(1) = (1)² -1+1=1-1+1 = 1
और P(2) = (2)² -2+ 1 =4 -2+1=3
(ii) दिया है :
p(t) = 2+t+2t²-t³
.: P(0) = 2+0+2(0)² – (0)³ = 2+0+0-0= 2,
p(1) = 2 +1 +2(1)² – (1)³ = 2 +1 +2 – 3 = 5 – 3 = 2,
और p(2) = 2+2+ 2(2)²-(2)³ = 2+2+8-8= 4
(iii) दिया है :
p(x) = x³
.: P(0) = (0)³ = 0,
P(1) = (1)³ = 1,
और P(2) = (2)³ = 8
(iv) दिया है :
p(x) = (x-1) (x+1)
.: p(0) = (0-1) (0+ 1)= (-1) (1) = -1,
P(1) = (1-1) (1+ 1) = (0) (2) = 0
और P(2) = (2-1) (2+ 1) = (1) (3) = 3
3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के
शून्यक हैं :
(i) p(x) = 3x +1; x=-1/3 (ii) p(x) = 5x-π; x = 4/5
(iii) p(x) = x²-1; x= 1,-1 (iv) p(x) = (x + 1) (x-2);x=-1,2
(v) p(x) = x²; x=0 (vi) p(x) = lx + m; x=- m/l
(vii) p(x) = 3x² -1; x=- 1/√3,2/√3 (viii) p(x) = 2x +1; x = 1/2
हल : (i) दिया है
P(x) = 3x +1
x = -1/3 पर, p(-2/3) = 3(-1/3)+1 = -1+1 = 0
.: -1/3 पर, P(x) का शून्यांक है।
(ii) दिया है
p(x) = 5x-4
x = 4/5 पर, p(4/5) = 5(4/5) – 4= 4-4 = 0
.: 4/5 P(x) का शून्यांक है।
(iii) दिया है
p(x) = x²-1
x=1 पर, P(1) = (1)² -1=1-1=0
.: 1, p(x) का शून्यांक है।
और x=-1 पर p(-1)=(-1)² -1 = 1-1=0
.:. -1, p(x) का शून्यांक है।
(iv) दिया है
p(x) = (x + 1)(x-2)
x=-1 पर, p(-1)= (-1+1)(-1-2) = (0)(-3) = 0
.: -1, p(x) का शून्यांक है।
और x = 2 पर, p(2) = (2 + 1)(2-2) = (3)(0) = 0
.: 2, p(x) का शून्यांक है।
(v) दिया है
P(x) = x²
x=0 पर, p(0) = (0)² =0
.: 0, p(x) का शून्यांक है।
(vi) दिया है
P(x) = lx + m
x=-m/l पर, P(-m/l) = l(-m/l) + m = -m+m=0
.: -m/l पर, p(x) का शून्यांक है।
(vii) दिया है
p(x) =3x² – 1
x= -1/√3 पर, p(-1/√3) = 3(1/√3) -1 = 3×1/3 -1 = 1-1 =0
x = 2/√3 पर, p(2/√3) = 3(2/√3)² -1 = 3×4/3 -1 = 4 -1 = 3
(viii) दिया है
p(x) = 2x +1
x = 1/2 पर, p(1/2) = 2(1/2) +1 = 1+1 = 2.
4. निम्नलिखत स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) =x+5. (ii) P(x) =x-5
(iii) p(x) = 2x +5 (iv) p(x) = 3x-2
(v) p(x) = 3x (vi) p(x) = ax; a≠0
(vii) p(x) = cx +d; c≠0,c,d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल : (i) हमें हल करना है. p(x) = 0
या, x+5= 0 या, x =-5
.: -5 बहुपद x+5 का शून्यांक है।
(ii) हमें ज्ञात है p(x) = 0 या, x-5 = 0 या, x = 5
.: 5 बहुपद x-5 का शून्यांक है।
(iii) हमें ज्ञात है p(x) = 0 या, 2x+5=0 या, x = -5/2
.: – 5/2 बहुपद 2x + 5 का शून्यांक है।
(iv) हमें ज्ञात है p(x) = 0 या, 3x-2=0 = x=3 या, x = 2/3
.: x = 2/3 बहुपद 3x -2 का शून्यांक है।
(v) हमें ज्ञात है p(x) = 0
या, 3x=0 या, x = 0
.: 0 बहुपद 3x का शून्यांक है।
(vi) हमें ज्ञात है p(x) = ax, a≠0
या, ax=0 या, x = 0
.: 0 बहुपद ax का शून्यांक है।
(vii) हमें ज्ञात है p(x) = 0, c≠0 या, cx +d=0 या, x= -d/c
.: – d/c बहुपद cx+d का शून्यांक है।
प्रश्नावली 2.3
1. x²+3x² +3x + 1 का निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) x+1 (ii) x-1/2 (iii) x (iv) x+π (v) 5+2x
हल : (i) शेषफल प्रमेय से वांछित शेषफल P(-1) के बराबर है।
अब,. p(x) =x²+3x²+3x +1
.: P(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) +1 = -1+3-3+1=0
अतः, वांछित शेषफल = p(-1)=0
(ii) शेषफल प्रमेय द्वारा वाँछित शेषफल p(1/2) के बराबर है।
अब p(1/2) = x³+ 3x² +3x+1 = (1/2)³ + 3(1/2)² + 3(1/2) +1
= 1/8+3/4+3/2+1 = 1+6+12+8/8 = 27/8
(iii) शेषफल प्रमेय द्वारा वांछित शेषफल p(1) के बराबर है।
अब p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
.: p(0) = 0+0+0+ 1 = 1
अतः वांछित शेषफल = p(0) = 1
(iv) शेषफल प्रमेय द्वारा वांछित शेषफल P(-π) के बराबर है।
अब p(x) = x³+3x²+3x+1
.: p(-π) = (-π)³+3(-π)³+3(-π)+1 = -π³+3π²-3π+1
(v) शेषफल प्रमेय द्वारा वांछित शेषफल p( – 5/2) के बराबर है।
अब p(x) =x³+ 3x² + 3x+1
.: P(-5/2) = (-5/2)³+3(-5/2) + 3(-5/2) + 1 = – 125/8+75/4 – 15/2+1
= – 125+150-60+8/8 = – 27/8
2. x³-ax² +6x-a को x-aसे भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल: माना p(x) = x³-ax² +6x-a
शेषफल प्रमेय द्वारा जब p(x), x- a द्वारा विभाजित होता है, तब शेषफल = p(a)
.: p(x) = a³-a.a²+6a-a = a³-a³ +6a-a= 5a.
3. जाँच कीजिए कि 7+ 3x, 3x³ +7x का एक गुणनखंड है या नहीं।
हल: यदि p(-7/3) = 0 तो p(x) = 3x³ + 7x का एक गुणनखंड 3x है।
अब, p(-7/3) = 3(-7/3)³+7(-7/3) = 3 × (-343/27) – (49/3)
= -343/9 – 49/3 ≠ 0
.: 3x³ +7x का गुणनखंड 7+3x है।
प्रश्नावली 2.4
1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x+1 है।
(i) x³+x²+x+1 (ii) x⁴+x³+x²+x+1
(iii) x⁴+3x³ + 3x²+x+1 (iv) x³-x² – (2 + √2)x + √2
हल : (i) (x + 1), p(x) = x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है।
सिद्ध करने के लिए हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
अब, P(-1)=(-1)³ + (-1)² + (-1)+ 1 =-1+1-1+ 1 = 0
अतः, (x + 1), p(x) = x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है।
(ii) (x + 1), p(x) = x⁴ + x³ + x² + x +1 का एक गुणनखंड है, सिद्ध करने के लिए
हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
अब, p(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1)+1
=1-1+1-1+1=1≠0
.: (x + 1), x⁴ + x³ + x² + x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
(iii) (x+1), P(x) = x⁴+3x³+ 3x²+x+1 का एक गुणनखंड है, सिद्ध करने के लिए
हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
अब, p(-1) = (-1)⁴ + 3(-1)³ + 3(-1)² + (-1) + 1 =1-3+3-1+1=1≠ 0
.: (x + 1), x⁴ + 3x³ + 3x²+ x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
(iv) (x + 1), p(x) = x³-x²- (2 + √2)x + √2 का एक गुणनखंड है, सिद्ध करने के
लिए हमें p(-1) = 0 सिद्ध करना होगा।
p(-1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + √2)(-1) + √2
=-1-1 + 2 + √2 + √2 = 2√2 ≠ 0
.: (x + 1), x³ – x² – (2 + √2)x + √2 का गुणनखंड नहीं है।
2. गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति
में g(x), P(x) का एक गुणनखंड है या नहीं:
(i) p(x) = 2x³+x² – 2x-1,g(x) = x+1
(ii) p(x)=x³ +3x² +3x+1,g(x) = x+2
(iii) p(x) = x³ +4x² +x+6, g(x) = x-3
हल : (i) यह सिद्ध करने के लिए कि g(x) = x + 1, p(x) = 2x³ + x² -2x-1 का एक
गुणनखंड है, यह सिद्ध करना काफी है,
P(-1)=0
अब, P(-1) = 2(-1)³ + (-1)² -2(-1)-1 = -2+1 +2 -1 = 0
.: g(x), p(x) का गुणनखंड है।
(ii) यह सिद्ध करने के लिए कि g(x) = x +2, p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 का गुणनखंड
है, यह सिद्ध करना काफी है कि
p(-2)=0
अब, P(-2)=(-2)³ + 3(-2)² + 3(-2)+1 = -8+12-6+1 = -1≠0
.: g(x), P(x) का गुणनखंड नहीं है।
(iii) यह सिद्ध करने के लिए g(x) = x -3, p(x) = x³ – 4x² + x-6 का एक गुणनखंड
है, यह सिद्ध करना काफी है कि
P(+3)=0
अब,. P(3) =(3)³ – 4(3)² + 3 + 6 = 27 – 36+ 3 + 6 = 0
.: g(x), p(x) का गुणनखंड नही है।
3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में
(x-1), p(x) का एक गुणनखंड हो।
(i) p(x) = x² +x+k (ii) p(x) = 2x² + kx + √2
(iii) p(x) = kx² – √2x+1 (iv) p(x) = kx² – 3x+k
हल : (i) यदि (x -1), p(x) = x² + x + k का एक गुणनखंड है तो p(1) = 0
या, (1)² +1+k =0 या, 1+1+k=0
या, k = -2
(ii) यदि (x – 1), p(x) = 2x² + kx + √2 का एक गुणनखंड है तो
p(1)=0
या, 2(1)² + k(1) + √2 = 0 या, 2+k+√2 = 0
या, k = -(2+√2)
(iii) यदि (x-1), p(x) = kx² -√2x+1 का एक गुणनखंड है तो
P(1)=0
या, k(1)² – √2 (1) +1= 0 या, k – √2 + 1 = 0
या, k = – √2 -1
(iv) यदि (x -1), p(x) =kx² -3x +k का एक गुणनखंड है तो
p(1) = 0
या, k(1)² -3(1) + (k) = 0 या, k-3+k= 0
या, 2k=3 या, k = 3/2
4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :-
(i) 12x² -7x+1 (ii) 2x² +7x+3
(ii) 6x²+5x-6 (iv) 3x² – x – 4
हल : (i) यहाँ p+q= x का गुणांक = -7
pq=x²x स्थिर पद = 12×1 = 12
.: p+q= -7= -4 -3
और pq= 12 = (-4)(-3)
.: 12x² -7x+1 = 12x² -4x-3x+ 1 =4x (3x-1)-1(3x-1) = (3x-1)(4x-1)
(ii) यहाँ p+q=x का गुणांक = 7
pq= x² का गुणांक x स्थिर पद = 2×3 = 6
.: p+q=7 = 1+6
और pq= 6 =1×6
.: 2x² +7x+3= 2x² + x +6x+3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1)= (2x + 1)(x+3)
(iii) यहाँ p+q=x का गुणांक = 5
pq = x² का गुणांक x स्थिर पद = 6x-6 =-36
.:. p+q=5=9+ (-4)
और pq=-36=9x(-4)
.: 6x²+5x-6 = 6x² +9x-4x-6=3x(2x +3)-2(2x +3)= (2x +3)(3x-2)
(iv) यहाँ p+q=x का गुणांक = -1
pq=x² का गुणांक x स्थिर पद =3x-4= -12
.:. p+q= -1=3+ (-4)
और pq=-12=3x(-4)
.: 3x²-x-4=3x²+3x-4x-4 = 3x(x + 1)-4(x+1)= (x + 1)(3x-4)
5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x³-2x²-x+2 (ii)x³-3x²-9x-5
(iii) x³ +13x² + 32x+20 (iv) 2y³+y²-2y-1
(ii) माना p(x) =x³-3x²-9x-5
-5 के सभी गुणनखंड का ध्यान देंगे और ये हैं ±1,±5
x का मान -1 रखने पर हम पाते हैं p(-1) = -1-3+9-5=0 अत: (x + 1) का गुणनखंड
है p(x).
.: P(x) = (x + 1)(x²-4x-5)= (x + 1)(x² +x-5x-5)
= (x + 1)[x(x + 1)-5(x+1)]
= (x + 1)(x + 1)(x-5)
(iii) माना p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
+20 के सभी गुणनखंडों को ज्ञात करने का प्रयत्न करेंगे और ये हैं ±1,±2,±4,±5,±10
तथा ± 20.
x का मान -2 रखने पर पाते हैं
p(-2)=-8+52-64+20=0
.: (x+2), p(x) का गुणनखंड है।
अब, p(x),x+2 द्वारा विभाजित कीजिए।
.: p(x) = (x + 2)(x² + 11x + 10)
= (x + 2)(x² + x + 10x + 10)
= (x+ 2) [x(x + 1) + 10(x + 1)]
= (x + 2)(x + 1)(x + 10)
(iv) माना P(y) = 2y³+y²-2y-1
y का मान 1 रखने पर हम पाते हैं : p(1) = 2+1-2-1 = 0
अतः (y-1), p(y) का गुणनखंड है
अब, y-1 द्वारा p(y) विभाजित करने पर
.: p(y) = (y-1)(2y²+3y+1) = (y-1)(2y² +2y+y+1)
= (y-1)[2y(y+ 1)+ 1(y+1)]
=(y-1)(y+ 1)(2y+ 1).
प्रश्नावली 2.5
1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x+4)(x+10) (ii) (x+8)(x-10)
(iii) (3x+4)(3x-5) (iv) (y²+3/2)(y²-3/2)
(v) (3-2x)(3+2x)
हल : (i) (x+4)(x + 10) = x² + (4+ 10)x +4×10 = x² +14x + 40
(ii) (x+8)(x-10) = x² + (8-10)x +8x-10 =x²-2x-80
(iii) (3x+4)(3x-5) = 3x(3x-5)+4(3x-5)
=3x×3x-3x×5+4x3x-4×5
=9x²-15x +12x-20
= 9x²-3x-20
(iv) (y²+3/2)(y² – 3/2) = (y²)² – (3/2)² = y⁴ – 9/4
(v) (3 – 2x)(3 + 2x) = (3)² – (2x)² = 9 – 4x²
2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103×107 (ii) 95×96 (ii) 104×96
हल :( i) 103 x 107 = (100+ 3)(100 + 7)
= (100)² + (3 + 7)(100+ 3 x 7)
= 100 x 100 + (10)(100) +21
= 10000 + 1000+21 = 11021
(ii) 95 x 96 = (100 – 5)(100 – 4)
= (100)² + (-5-4)(100) + (-5)(-4)
= 100 x 100 + (- 9) (100) + 20
= 10000 – 900 + 20 = 9120
(iii) 104 x 96 = (100 + 4)(100 – 4)
= (100)² – (4)² = 10000 -16 = 9984
3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 9x²+6xy+y² (ii) 4y²-4y+1 (iii) x² – y²/100
हल : (i) 9x²+ 6xy+y² = (3x)²+2(3x)(y) +(y)²
= (3x+y)² = (3x+y)(3x+y)
(ii) 4y²-4y+1 = (2y)²-2(2y)(1) + (1)² = (2y-1)² = (2y-1)(2y-1)
(iii) x²- y²/100 = (x)² – (y/10)² = (x – y/10)(x+ y/10)
4. उपयुक्त सवसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) (x+2y+4z)² (ii) (2x-y+z)² (iii) (-2x+3y+2z)²
(iv) (3a-7b-c)² (v) (-2x+5y-3z)² (vi) [1/4a – 1/2b +1]²
हल : (i) (x+2y+4z)² = x²+(2y)² + (4z)² +2(x)(2y)
+2(2y)(4z)+2(4z)(x)
=x²+4y² +16z² +4xy+16yz+8zx
(ii) (2x-y+z)² = [2x+ (-y) +z]²
= (2x)² + (-y)² +z²+2(2x)(-y)+2(-y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x²+y²+z²-4xy-2yz+ 4zx
(iii) (-2x+3y+2z)² = [(-2x) + 3y+2z]²
= (-2x)² + (3y)² + (2z)² +2(-2x)(3y)
+2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
=4x²+9y²+4z²-12xy +12yz-8zx
(iv) (3a-7b-c)² = [3a + (-7b) + (-c)]²
= (3a)² + (-7b)² + (-c)²+2(3a)(-7b)+2(-7b)
(-c)+2(-c)(3a)
= 9a²+49b²+c²-42ab+14bc-6ca
(v) (-2x+5y-3z)² = [(-2x)² +5y + (-3z)]²
=(-2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2(-2x)(5y)
+ 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
=4x²+25y² +9z²-20xy-30yz+ 12zx
(vi) [1/4a – 1/2b+1]² = [1/4a+(-1/2)+1]²
=(1/4a)²+(-1/2b)²+(1)²+2(1/
+2(-1/2b)(1)+2(1)(1/4a)
= 1/16a²+1/4b²+1-1/4ab – b +1/2a
5. गुणनखंड कीजिए :
(i) 4x² +9y²+16z² +12xy-24yz-16xz
(ii) 2x²+y²+8z² -2√2xy +4√2yz-8xz
हल : (i) 4x² +9y² + 16z² + 12xy-24yz-16xz
= (2x)² + (3y)² + (-4z)² +2(2x)(3y) + 2(3y)(-4z) + 2(2x)(-4z)
= [2x +3y + (-4z)]² = (2x +3y-4z)²
(ii) 2x² + y² + 8z² -2√2xy +4√2yz – 8xz
= (√2 x)² + (-y)² + (-2√2z)² + 2( √2 x)(-y) + 2(-y)(-2√2z)
+ 2(√2 x)(-2√2z)
= [√2x + (-y) + (-2√2z)]² = (√2x-y-2√2z)²
6. निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)³ (ii) (2a-3b)³ (iii) [3/2x+1]³ (iv) [x-2/3y]³
हल : (i) (2x + 1)² = (2x)³ + 3(2x)² (1) + 3(2x)(1)² + (1)³
= 8x³+12x² +6x +1
(ii) (2a-3b)³ = (2a)³ -3(2a)²(3b) + 3(2a)(3b)² -(3b)³
= 8a-36a²b+54ab² -27b³
(iii) [3/2x+1]³ = (3/2x)³+3(3/2x)²(1)+3(3/2x)(1)
= 27/8x³+27/4x²+9/2x+1
(iv) [x-2/3y]³ = x³ – 3(x)²(2/3y) + 3(x)(2/3y)² – (2/3y)³
=x³ -2x²y + 4/3xy² – 8/27y³
7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)³ (ii) (102)³ (iii) (998)³
हल: (i) (99)³ = (100 – 1)³ = (100)³-1³-3(100)(1)(100 – 1)
= 1000000-1 – 29700 = 970299
(ii) (102)³ = (100 + 2)³ = (100)³ + (2)³ + 3(100)(2)(100+ 2)
= 1000000 + 8 + 61200 = 1061208
(iii) (998)³ =(1000-2)³ = (1000)³-(2)³-3(1000)(2)(1000 – 2)
= 1000000000-8-5988000 = 994011992
8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a³+b³+12a²b+6ab² (ii) 8a³-b³-12a²b+6ab²
(iii) 27-125a³-135a+225a² (iv) 64a³-27b³-144a²b +108ab²
(v) 27p³ – 1/216 – 9/2p²+1/4p
हल : (i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab² = (2a)³ + (b)³
+3(2a)(b)(2a + b)
= (2a+b)³ = (2a + b)(2a+ b)(2a + b)
(ii) 8a³-b³ – 12a²b + 6ab² = (2a)³ – b³ -3(2a)(b)(2a-b) = (2a-b)³
= (2a-b)(2a-b)(2a-b)
(iii) 27-125a³ – 135a + 225 a² = (3)³- (5a)³ -3(3)(5a)(3-5a)
= (3-5a)³ = (3-5a)(3-5a)(3-5a)
(iv) 64a³-27b³-144a²b +108ab²=(4a)³-(3b)³-3(4a)(3b)(
= (4a-3b) = (4a-3b)(4a-3b)(4a-3b)
(v) 27p³-1/216 -9/2p²+1/4p=(3p)³-(1/6)³-3(3p)
=(3p-1/6)³ =(3p-1/6)(3p-1/6)(3p-1/6)
9. सत्यापित कीजिए:
(i) x³+y³ = (x+y)(x²-xy +y²) (ii) x³-y³ = (x-y)(x² +xy +y²)
हल : (i) बायाँ पक्ष = (x+y)(x²-xy+y²) = x(x²-xy+y²)+y(x²-xy+y²)
=x³-x²y + xy² + x²y-xy² +y³ = x³ +y³ दायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
(ii) बायाँ पक्ष = (x-y)(x² + xy +y²)
= x(x² + xy+y²)-y(x² = xy+y²)
=x³+x²y + xy²-x²y-xy²-y³
=x³-y³= दायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए :
(i) 27y³ + 125z² (ii) 64m³-343n³
हल : (i) 27y³+ 125z³ = (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z)[(3y)²-(3y)(52) + (5z)2]
= (3y+ 52)(9y²-15yz+ 25z²)
(ii) 64m³-343n³ =(4m)³-(7n)³
=(4m-7n)[(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
= (4m-7n)(16m² + 28mn + 49n²)
11. गुणनखंडन कीजिए : 27x³+y³+z³-9xyz
हल : 27x³+y³+z³-9xyz = (3x)³ +y³+z³-3(3x)(y)(z)
= (3x+y+z)[(3x)² +y²+z²-(3x)y-yz-z(3x)]
= (3x+y+z)(9x² +y²+z²-3xy-yz-3zx)
12. सत्यापित कीजिए : x³+y³+z³-3xyz
=1/2 (x+y+z)[(x -y)² + (y-z)² + (z-x)²]
हल : बायाँ पक्ष =1/2 (x +y + z)(x -y)² + (y – z)² + (z-x)²]
=1/2(x+y + z)(x²-2xy +y²+y²-2yz +z²
+ z²-2zx +x²)
= (x+y+z)(x² +y² +z²-yz-zx-xy)
= x +y +2-3xyz = दायाँ पक्ष
अतः सिद्ध हुआ।
13. यदि x+y+z= 0 हो, तो दिखाइए कि x³ +y³ + z³ = 3xyz है।
हल : दिया है, x+y+z= 0
या, x+y= -z
दोनों पक्षों को घन करने पर,
(x+y)³ = (-z)³
या, x³+y³ + 3xy(x +y) =-z³
या, x³+y³-3xyz=-z³ [चूंकि x+y=-z]
या, x³+y³+z³=3xyz, सिद्ध हुआ।
11. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात
कीजिए:
(i) (-12)³ + (7)³ + (5)³ (ii) (28)³ + (-15)³ + (-13)³
हल : (i) माना x =-12, y=7 और z = 5
यहाँ, x+y+z=-12+7+5=0
या, x³ +y³ +z³ = 3xyz
या, (-12)³ + (7)³ + (5)³ =3×(-12) x7x5= -1260
(ii) माना x = 28,y=-15 और z =-13
यहाँ, x+y+z= 28-15-13 = 0
या, x³+y³ +z³ = 3xyz
या, (28)³ + (-15)³+ (-13)³ = 3(28)(-15)(-13) = 16380
15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई
और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए :
(i) क्षेत्रफल : 25a²-35a + 12 (ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y-12
हल : आयत की संभावित लम्बाई और चौड़ाई क्षेत्रफल के गुणनखंड होंगे।
(i) क्षेत्रफल = 25a²-35a+ 12 = 25a²-15a-20a + 12 = 5a(5a-3)-4(5a-3)
= (5a-3)(5a-4)
.: संभवतः लम्बाई और चौड़ाई (5a-3) और (5a-4) इकाई होगी।
(ii) क्षेत्रफल = 35y² + 13y- 12 = 35y² + 28y-15y-12
=7y(5y+4)-3(5y +4)
= (5y+4)(7y-3)
.: संभवतः लम्बाई और चौड़ाई (5y +4) और (7y-3) होगी।
16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं की, विमाओं के लिए संभव
व्यंजक क्या हैं?
(i) आयतन:3x²-12x (ii) आयतन : 12ky² +6ky-20k
हल : संभवतः घनाभों की भुजाएँ आयतन के गुणनखंड होंगे।
(i) आयतन =3×2-12x =3x(x-4)
.: संभवतः घनाभ की भुजाएँ 3, x और (x-4) इकाई हैं।
(ii) आयतन = 12ky² + 6ky-20k = 2k(4y2- +3y-10)
= 2k(4y²+ 8y-5y-10)
= 2k[4y(y+2)-5(y+2)]
= 2k(y+2)(4y-5)
.: संभवतः घनाभ की भुजाएँ 2k, (y + 2) और (4y-5) इकाई हैं।