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NCERT कक्षा 6 गणित अध्याय 6 पूर्णांक

Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के विपरीत लिखिए:
(a) भार में वृद्धि
(b) 30 किमी उत्तर
(c) 326 ई.पू.
(d) ₹700 की हानि
(e) समुद्र तल से 100 मीटर ऊपर।
हल:
(a) भार में कमी
(b) 30 किमी दक्षिण
(c) 326 ई.पू.
(d) ₹700 का लाभ
(e) समुद्र तल से 100 मीटर नीचे।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं को उपयुक्त चिह्नों सहित पूर्णांकों के रूप में निरूपित कीजिए।
(a) एक हवाई जहाज जमीन से दो हजार मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है।
(b) एक पनडुब्बी समुद्र तल से आठ सौ मीटर की गहराई पर गतिमान है।
(c) दो सौ रुपये जमा किए गए।
(d) सात सौ रुपये निकाले गए।
हल:
(a) +2000 मीटर
(b) -800 मीटर
(c) + ₹200
(d) – ₹700

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित करें:
(a) +5
(b) -10
(c) ±8
(d) -1
(e) -6
हल:
 

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति एक ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा है, जो पूर्णांकों को दर्शाती है। इसका अवलोकन कीजिए और निम्नलिखित बिंदुओं का पता लगाइए:

(a) यदि बिंदु D +8 है, तो कौन सा बिंदु -8 है?
(b) क्या बिंदु G एक ऋणात्मक पूर्णांक है या धनात्मक पूर्णांक है?
(c) बिंदु B और E के लिए पूर्णांक लिखिए।
(d) इस संख्या रेखा पर अंकित किस बिंदु का मान सबसे कम है?
(e) सभी बिंदुओं को मान के घटते क्रम में व्यवस्थित कीजिए।
हल:
(a) F -8 को दर्शाता है।
(b) G एक ऋणात्मक पूर्णांक है।
(c) B +4 को दर्शाता है और E -10 को दर्शाता है।
(d) E का मान सबसे कम -10 है।
(e) सभी बिंदुओं का घटते क्रम है: D, C, B, A, 0, H, G, F और E।

प्रश्न 5.
वर्ष के किसी विशेष दिन भारत में पाँच स्थानों के तापमान की सूची निम्नलिखित है।

(a) इन स्थानों के तापमान को रिक्त कॉलम में पूर्णांकों के रूप में लिखिए।
(b) निम्नलिखित संख्या रेखा तापमान को डिग्री सेल्सियस में दर्शा रही है।

शहर का नाम उसके तापमान के सामने अंकित कीजिए।
(c) सबसे ठंडा स्थान कौन सा है?
(d) उन स्थानों के नाम लिखिए जहाँ तापमान 10°C से अधिक है।
हल:

(c) सियाचिन -10°C तापमान वाला सबसे ठंडा स्थान है।
(d) (i) दिल्ली → 20°C
(ii) अहमदाबाद → 30°C

प्रश्न 6.
निम्नलिखित प्रत्येक युग्म में, संख्या रेखा पर कौन सी संख्या दूसरे के दाईं ओर है?
(a) 2, 9
(b) -3, -8
(c) 0, -1
(d) -11, 10
(e) -6, 6
(f) 1, -100
हल:
(a) 9, 2 के दाईं ओर है
(b) -3, -8 के दाईं ओर है
(c) 0, -1 के दाईं ओर है
(d) 10, -11 के दाईं ओर है
(e) 6, -6 के दाईं ओर है
(f) 1, -100 के दाईं ओर है।

प्रश्न 7.
दिए गए युग्मों के बीच सभी पूर्णांक लिखिए (उन्हें बढ़ते क्रम में लिखिए):
(a) 0 और -7
(b) -4 और 4
(c) -8 और -15
(d) -30 और -23
हल:
(a) 0 और -7 के बीच पूर्णांक हैं:
- 6, - 5, - 4, -3, -2, - 1.
(b) -4 और 4 के बीच पूर्णांक हैं:
- 3, - 2, -1, .0, 1, 2, 3.
(c) -8 और -15 के बीच पूर्णांक हैं:
-14, -13, -12, -11, -10, -9.
(d) -30 और -23 के बीच पूर्णांक हैं:
- 29, - 28, - 27, - 26, - 25, - 24.

प्रश्न 8.
(a) -20 से बड़े चार ऋणात्मक पूर्णांक लिखिए।
(b) -10 से छोटे चार ऋणात्मक पूर्णांक लिखिए।
हल:
(a) -20 से बड़े चार ऋणात्मक पूर्णांक हैं: - 19, - 18, - 17, - 16.
(b) -10 से छोटे चार ऋणात्मक पूर्णांक हैं: - 11, - 12, - 13, - 14.

प्रश्न 9.
निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य (T) या असत्य (F) लिखें।
यदि कथन असत्य है, तो कथन को सही करें।
(a) - 8 एक संख्या रेखा पर - 10 के दाईं ओर है।
(b) - 100 एक संख्या रेखा पर - 50 के दाईं ओर है।
(c) सबसे छोटा ऋणात्मक पूर्णांक - 1 है।
(d) - 26, - 25 से बड़ा है।
हल:
(a) सत्य (T)
(b) असत्य (F); सुधार: -100 एक संख्या रेखा पर -50 के बाईं ओर है।
(c) असत्य (F); सुधार: कोई सबसे छोटा ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है।
(d) असत्य (F); सुधार: -26, -25 से छोटा है।

प्रश्न 10.
एक संख्या रेखा खींचिए और निम्नलिखित के उत्तर दीजिए:
(a) यदि हम -2 के दाईं ओर 4 संख्याएँ चलें तो हम किस संख्या पर पहुँचेंगे?
(b) यदि हम 1 के बाईं ओर 5 संख्याएँ चलें तो हम किस संख्या पर पहुँचेंगे?
(c) यदि हम संख्या रेखा पर -8 पर हैं, तो -13 तक पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में चलना चाहिए?
(d) यदि हम संख्या रेखा पर -6 पर हैं, तो -1 तक पहुँचने के लिए हमें किस दिशा में चलना चाहिए?
हल:

Ex 6.2

प्रश्न 1.
संख्या रेखा का उपयोग करके वह पूर्णांक लिखिए जो है:
(a) 5 से 3 अधिक
(b) -5 से 5 अधिक
(c) 2 से 6 कम
हल:
(a) 5 से 3 अधिक

5 से 3 कदम दाईं ओर बढ़ने पर, हम 8 पर पहुँचते हैं। इसलिए, 5 से 3 अधिक = 8।

(b) -5 से 5 अधिक

-5 से 5 कदम दाईं ओर चलने पर हम 0 पर पहुँचते हैं। अतः, -5 से 5 अधिक = 0

(c) 2 से 6 कम

2 से 6 कदम बायीं ओर चलने पर हम -4 पर पहुँचते हैं। अतः, 2 से 6 कम = -4

(d) -2 से 3 कम

-2 से 3 कदम बायीं ओर चलने पर हम -5 पर पहुँचते हैं।

प्रश्न 2.
संख्या रेखा का प्रयोग कर निम्नलिखित पूर्णांकों को जोड़ें:
(a) 9 + (-6)
(b) 5 + (-11)
(c) (-1) + (-7)
(d) (- 5) + 10
(e) (-1) + (-2) + (-3)
हल:
(a) 9 + (- 6)

 

प्रश्न 3.
संख्या रेखा का उपयोग किए बिना जोड़ें:
(a) 11 + (-7)
(b) (-13) + (+18)
(c) (-10) + (+19)
(d) (-250) + (+150)
(e) (-380) + (-270)
(f) (-217) + (-100).
हल:
(a) 11 + (-7) = 4 + (+7) + (-7)
[∵ (+7) + (-7) = 0]
= 4 + 0 = 4
अतः, 11 + (-7) = 4.

(b) (-13) + (+18) = (-13) + (+13) + (+5)
[∵ (-13) + (+13) = 0]
= 0 + (+ 5) = 5
अतः, (- 13) + (+ 18) = 5.

(c) (-10) + (+19) = (-10) + (+10) + (+9)
[∵ (-10) + (10) = 0] = 0 + (+9) = 9
अतः, (-10) + (19) = 9.

(d) (-250) + (+150) = (-100) + (-150) + (+150)
= (-100) + 0 = -100 [∵(-150) + (+150) = 0]
अतः, (-250) + (+150) = – 100.

(ई) (-380) + (-270) = – [380 + 270] = (-650)
अतः, (-380) + (-270) = (-650).

(च) (-217) + (-100) = – [217 + 100] = -317

प्रश्न 4.
इनका योग ज्ञात कीजिए:
(a) 137 और -354
(b) -52 और 52.
(d) -312, 39 और 192
(d) -50, -200 और 300
हल:
(a) 137 और -354
(137) + (-354) = (137) + (-137) + (-217) [∵ (137) + (-137) = 0]
= 0 + (-217) = (-217)

(b) -52 और 52
(-52) + (+52) = 0 [ ∵ (-a) + (+ a) = 0]

(c) -312, 39 और 192
(-312) + (+ 39) + (+192)
= (-231) + (- 81) + (+39) + (+192)
= (-231) + (-81) + (+ 231)
= (-231) + (+ 231) + (-81)
[∵ (-a) + (a) = 0]
= 0 + (- 81) = – 81

(d) – 50, -200 और 300
(-50) + (-200) + (+ 300)
= (-50) + (-200) + (+200) + (+100)
= (-50) + 0 + (+100)[∵ (-a) + (+ a) = 0]
= (-50) + (+100)
= (-50) + (+50) + (+ 50)
= 0 + (+ 50) = 50 [∵ (-a) + (+ a) = 0]

प्रश्न 5.
योग ज्ञात कीजिए:
(a) (- 7) + (-9) + 4 + 16
(b) (37) + (-2) + (-65) + (-18)
हल:
(a) (- 7) + (-9) + 4 + 16
= (-7) + (-9) + 4 + (+ 7) + (+ 9)
= (-7) + (+7) + (-9) + (+9) + 4
= 0 + 0 + 4 = 4 [∵ (-a) + (a) = 0]

(बी) (37) + (-2) + (-65) + (-8)
= (+37) + (-75)
= (+37) + (-37) + (-38)
= 0 + (-38) = (-38) [∵ (-a) + (+a) = 0]

Ex 6.3

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए:
(a) 35 – (20)
(b) 72 – (90)
(c) (-15) – (-18)
(d) (- 20) – (13)
(e) 23 – (-12)
(f) (-32) – (-40)
हल:
(a) 35 – (20) = 15 + (20) – (20)
= 15 + 0 = 15 [(+a) + (-a) = 0]

(b) 72 – 90
72 – (72 + 18) = 72 – 72 – 18
= 0 – 18 = – 18 [a + (- a) = 0]

(c) (- 15) – (- 18)
= (- 15) + (- 18 का योज्य व्युत्क्रम)
= (-15) + (18) = 3

(डी) (- 20) – (13)
(- 20) – (13) = – [20 + 13] = – 33

(e) 23 – (- 12)
23 – (- 12) = 23 + (- 12 का योज्य व्युत्क्रम)
= 23 + 12 = 35

(f) (- 32) – (- 40)
(- 32) + (- 40 का योज्य व्युत्क्रम)
= (- 32) + 40 = 8

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों में >, < या = चिह्न भरें।
(a) (-3) + (-6) (-3) – (-6)
(b) (-21) – (-10) (- 31) + (-11)
(c) 45 – (-11) 57 + (-4)
(d) (-25) – (-42) (-42) – (-25)
हल:
(a) (-3) + (-6) = – [3 + 6] = – 9 और (-3) – (-6) = (-3) + 6 = 3
यहाँ, – 9 < 3
∴ (- 3) + (- 6) < (- 3) – (- 6)

(b) (-21) – (-10) = (-21) + 10 = -11 और (-31) + (-11) = – (31 + 11) = – 42
यहाँ, -42 < -11 या -11 > -42 ∴ (-21), -(-10) >(-31)+ (-11)

(c) 45 – (-11) = 45 + 11 = 56 और 57 + (-4) = 57 -4 = 53
यहाँ, 56 >53
∴ 45 – (-11) > 57 + ( -4)

(d) (-25) – (-42) = -25 + 42 = 17
और (-42) – (-25) = -42 + 25 = -17
यहाँ, 17 > -17
∴ (-25) – (-42) > (-42) – (-25).

प्रश्न 3.
रिक्त स्थान भरें।
(a) (-8) + …. = 0
(b) 13 + …. = 0
(c) 12 + (-12) = ….
(d) (-4) + …. = – 12
(e) …. -15 = – 10.
हल:
(a) (-8) + (-8 का योज्य व्युत्क्रम) = 0
= (-8) + (8) = 0
∴ रिक्त स्थान का मान 8 है

(b) 13 + (13 का योज्य व्युत्क्रम) = 0
= 13 + (-13) = 0
∴ रिक्त स्थान का मान - 13 है

(c) 12 + (-12) = 0 [∵ -12, 12 का योज्य व्युत्क्रम है]
∴ रिक्त स्थान का मान 0 है

(d) (-4) + (-8) = -[4 + 8] = -12
∴ रिक्त स्थान का मान -8 है।

(e) (+5) – 15 = -10
∴ रिक्त स्थान का मान +5 है।

प्रश्न 4.
ज्ञात कीजिए:
(a) (-7) – 8 – (-25)
(b) (-13) + 32 – 8 – 1
(c) (-7) + (-8) + (-90)
(d) 50 – (-40) – (-2)
हल:
(a) (-7) – 8 – (-25)
= (-7) – 8 + 25
[∵ – 25 का योज्य व्युत्क्रम 25 है]
= -7 + 17 = -7 + 7 +10
[∵ (-a) + (+a) = 0]
= 0 + 10 = 10.

(b) (-13) + 32 – 8 – 1
= (-13) + (13) + 19 – (8 + 1)
= 0 + 19 – 9
= 19 – 9 [∵ (-13) + (13) = 0]
= 10 + 9 – 9 = 10 + 0 = 10.
[(+9) – (+9) = 0]

(सी) (-7) + (-8) + (-90) = – (7 + 8) + (-90)
= -15 + (-90)
= -(15 + 90)
= -105.

(डी) 50 – (-40) – (-2)
= 50 – [- 40 – 2]
= 50 – (-42)
= 50 + 42
= 92.

InText Questions

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पूर्णांकों को उनके बढ़ते क्रम में लिखिए।
– 3, 0, – 6, 5, – 4, 6, 3, – 8
हल:
अभीष्ट बढ़ता क्रम है:
– 8, – 6, – 4, – 3, 0, 3, 5, 6

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्या युग्मों की तुलना करने के लिए > या < का प्रयोग करें।

हल:
(a) 0 > – 6
(b) – 10 < – 2
(c) – 100 < 100
(d) 2 > – 2

प्रश्न 3.
निम्नलिखित पूर्णांक युग्मों के बीच के सभी पूर्णांक लिखिए:
(a) 0 और – 4
(B) – 5 और 5
(c) – 8 और – 13
(d) 3 और 6
हल:
(a) 0 और – 4 के बीच पूर्णांक हैं: -3, -2, -1
(B) – 5 और 5 के बीच पूर्णांक हैं: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
(c) – 8 और – 13 के बीच पूर्णांक हैं: -12, -11, -10, -9
(d) 3 और 6 के बीच पूर्णांक हैं: 4 और 5

प्रश्न 4.
संख्या रेखा का उपयोग करके निम्नलिखित योगों का हल ज्ञात कीजिए:
(a)(- 3) + 5
(B) (- 5) + (-2)
हल:
(a)(- 3) + 5

∴ (-3) + 5 = 2

(B) (- 5) + (-2)

∴ (-5) + (-2) = (-7)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए:
(a) (- 8) + (+ 5) + (- 3) + (- 2)
(B) (- 7) + (- 9) + (+ 4) + (+ 3)
हल:
(a) (- 8) + (+ 5) + (- 3) + (- 2)
= (- 8) + (+ 5) – (3 + 2)
= (- 8) + (+ 5) – (5)
= (- 8) + 0 = – 8 [ ∵ (+ a) + (- a) = 0]

(b) (- 7) + (- 9) + (+ 4) + (+ 3)
= (- 7) + (- 9) + (4 + 3)
= (- 7) + (- 9) + (+ 7)
= (- 7) + (+ 7) + (- 9)
= 0 + (- 9) = – 9 [ ∵ (- a) + (+ a) = 0]

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित को संख्या रेखा पर निरूपित करें:
(a) -5
(b) 4
हल:
(a) – 5

(b) 4

प्रश्न 2.
दी गई संख्याओं में से ऋणात्मक पूर्णांकों की पहचान करें।
– 5, 3, 0, 5, – 6, 7, 3, 4, – 4, – 7
हल:
ऋणात्मक पूर्णांक – 5, – 6, – 4 और – 7 हैं।

प्रश्न 3.
-20 का योज्य तत्समक क्या है?
हल:
-20 का योज्य तत्समक 20 है।

प्रश्न 4.
0 का ऋणात्मक क्या है?
हल:
0 का ऋणात्मक स्वयं 0 है।

प्रश्न 5.
|- 6| का निरपेक्ष मान क्या है?
हल:
|- 6| का निरपेक्ष मान 6 है।

प्रश्न 6.
|0| का निरपेक्ष मान क्या है?
हल:
|0| का निरपेक्ष मान 0 है।

प्रश्न 7.
-13 का ऋणात्मक मान क्या है?
हल:
(-13) का ऋणात्मक मान - (-13) = 13 है।

प्रश्न 8.
-7 का परवर्ती क्या है?
हल:
-7 का परवर्ती = -7 + 1 = -6

प्रश्न 9.
-5 का पूर्ववर्ती क्या है?
हल:
-5 का पूर्ववर्ती -5 - 1 = -6 है।

प्रश्न 10.
उत्तर की ओर 50 किमी का विपरीत लिखिए?
हल:
उत्तर की ओर 50 किमी का विपरीत दक्षिण की ओर 50 किमी है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
रमेश एक पूर्णांक के बारे में सोचता है। वह उसमें से 12 घटाता है और परिणाम - 6 प्राप्त करता है। उसने कौन-सा पूर्णांक सोचा था?
हल:
दिए गए योग को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:
(___) - (12) = - 6
अभीष्ट पूर्णांक 12 - 6 = 6 है।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थान भरें:
(a) 13 में से (- 8) घटाने के लिए, हम 13 में ……… जोड़ते हैं।
(b) (- 12) में से 5 घटाने के लिए, हम (-13) में ……… जोड़ते हैं।
(c) ऋणात्मक पूर्णांक का ऋणात्मक एक ……… पूर्णांक होता है।
(d) एक पूर्णांक को जब उसके विपरीत में जोड़ा जाता है तो योग के रूप में ……… प्राप्त होता है।
(e) -4 + …….. = 1
(f) 4 – (- 3) = ………
(g) ……… + (- 79) = 19
हल:
(a) 8
(b) – 4
(c) धनात्मक
(d) 0
(e) 5
(f) 7
(g) 98

प्रश्न 3.
निर्धारित करें:
(a) | 5 | – |- 3 |
(b) | 5 – 6 | + | -1 |
(c) – 7 + | – 3 |
(d) | 5 | + | – 12 |
हल:
(a) | 5 | – | – 3 | = 5 – 3 = 2 [∵ |a| = a और |- a| = a]
(b) |5 – 6 | + |- 1| = |- 1| + |-1| = 1 + 1 = 2
(c) – 7 + | – 3 | = -7 + 3 = -4
(d) | 5 | + | – 12 | = 5 + 12 = 17

उच्च क्रम चिंतन कौशल (HOTS)

प्रश्न 1.
यदि * एक ऐसी संक्रिया है जिससे दो पूर्णांक p और q के लिए, p * q = p + q – 2 है, तो ज्ञात कीजिए:
(a) 6 * 2
(b) (- 2) * (- 3)
(c) (- 2) * (4)
(d) (+ 3) * (- 1)
हल:
(a) दिया गया है कि: p * q = p + q – 2
⇒ 6 * 2 = 6 + 2 – 2 = 6 + 0 = 6
इस प्रकार, 6 * 2 = 6.

(b) दिया गया है कि: p * q = p + q – 2
⇒ (- 2) * (- 3) = (- 2) + (- 3) – 2
= -5 – 2 = -7.
इस प्रकार, (- 2) * (- 3) = – 7.

(c) दिया गया है कि: p * q = p + q – 2
⇒ (- 2) * (4) = (- 2) + (4) – 2 = 2 – 2 = 0.
इस प्रकार, (- 2) * (4) = 0.

(d) दिया गया है कि p*q – p + q – 2
⇒ (+ 3) * (- 1) = (+ 3) + (- 1) – 2 = 2 – 2 = 0
इस प्रकार, (+ 3) * (- 1) = 0.

प्रश्न 2.
तालिका को पूरा करें:

समाधान:
आवश्यक तालिका को निम्नानुसार पूरा किया जा सकता है: