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NCERT कक्षा 6 गणित अध्याय 7 भिन्न

Ex 7.1

प्रश्न 1.
छायांकित भाग को निरूपित करने वाली भिन्न लिखिए।

हल:

उत्तर	कारण
(i)24	इसमें चार बराबर भाग हैं जिनमें से 2 भाग छायांकित हैं।
(ii)89	इसमें 9 बराबर भाग हैं जिनमें से 8 भाग छायांकित हैं।
(iii)48	इसमें 8 बराबर भाग हैं जिनमें से 4 भाग छायांकित हैं।
(iv)14	इसमें 4 बराबर भाग हैं जिनमें से 1 भाग छायांकित है।
(v)37	इसमें 7 बराबर भाग हैं जिनमें से 3 भाग छायांकित हैं।
(vi)312	एक ही प्रकार के 12 फूल हैं जिनमें से 3 छायांकित हैं
(vii)1010	10 पेंसिलें हैं जिनमें से 10 छायांकित हैं।
(viii)49	इसमें 9 बराबर भाग हैं जिनमें से 4 भाग छायांकित हैं।
(ix)48	इसमें 8 बराबर भाग हैं जिनमें से 4 भाग छायांकित हैं।
(x)12	यहाँ एक आकृति दो बराबर भागों में विभाजित है, जिसमें से एक भाग छायांकित है।

प्रश्न 2.
दी गई भिन्न के अनुसार भाग में रंग भरिए।

हल:

प्रश्न 3.
यदि कोई त्रुटि हो, तो उसे पहचानिए।

हल:
(a) चूँकि छायांकित भाग आधा नहीं है।
∴ यह नहीं है12.

(b) चूँकि, भाग बराबर नहीं हैं।
∴ छायांकित भाग बराबर नहीं है।14.

(c) चूँकि, भाग बराबर नहीं हैं।
∴ छायांकित भाग बराबर नहीं है।34.

प्रश्न 4.
8 घंटे एक दिन का कितना भिन्न होता है?
हल:
चूँकि एक दिन में 24 घंटे होते हैं और हमारे पास 8 घंटे हैं,
∴ अभीष्ट भिन्न =824

प्रश्न 5.
40 मिनट एक घंटे का कितना भिन्न है?
हल:
चूँकि 1 घंटा = 60 मिनट
∴ 40 मिनट का भिन्न =4060

प्रश्न 6.
आर्य, अभिमन्यु और विवेक ने दोपहर का भोजन साझा किया। आर्य दो सैंडविच लाया है, एक सब्जी से बना और एक जैम से बना। अन्य दो लड़के अपना दोपहर का भोजन लाना भूल गए। आर्य अपने सैंडविच को इस प्रकार बाँटने के लिए सहमत हुआ कि प्रत्येक व्यक्ति को प्रत्येक सैंडविच का बराबर हिस्सा मिले।
(a) आर्य अपने सैंडविच को कैसे बाँट सकता है कि प्रत्येक व्यक्ति को बराबर हिस्सा मिले?
(b) प्रत्येक लड़के को सैंडविच का कितना भाग मिलेगा?
हल:
(a) आर्य ने अपने सैंडविच को तीन बराबर भागों में बाँटा है।
इसलिए, उनमें से प्रत्येक को एक भाग मिलेगा।
(b) उनमें से प्रत्येक को13भाग।
∴ अभीष्ट भिन्न =13

प्रश्न 7.
कंचन कपड़े रंगती है। उसे 30 कपड़े रंगने थे। उसने अब तक 20 कपड़े बना लिए हैं। उसने कितने भिन्न कपड़े बना लिए हैं?
हल:
रंगे जाने वाले कपड़ों की कुल संख्या = 30
तैयार कपड़ों की संख्या = 20
∴ अभीष्ट भिन्न =2030=23

प्रश्न 8.
2 से 12 तक की प्राकृत संख्याएँ लिखिए। इनमें से कौन-सी भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं?
हल:
2 से 12 के बीच की प्राकृत संख्याएँ हैं:
2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12
दी गई प्राकृत संख्याओं की संख्या = 11
अभाज्य संख्याओं की संख्या = 5
∴ अभीष्ट भिन्न =511

प्रश्न 9.
102 से 113 तक की प्राकृत संख्याएँ लिखिए। इनमें से कौन-सी भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं?
हल:
102 से 113 तक की प्राकृत संख्याएँ हैं;
102,103,104,105,106, 107,108, 109,110, 111, 112,113
दी गई प्राकृत संख्याओं की कुल संख्या = 12
अभाज्य संख्याएँ हैं: 103, 107, 109, 113
∴ अभाज्य संख्याओं की संख्या = 4
∴ अभीष्ट भिन्न =412=13

प्रश्न 10.
इन वृत्तों की किस भिन्न में X है?

हल:
वृत्तों की कुल संख्या = 8
वृत्तों की संख्या जिनमें X है = 4
अभीष्ट भिन्न =48=12

प्रश्न 11.
क्रिस्टिन को उसके जन्मदिन पर एक सीडी प्लेयर मिला। उसने 3 सीडी खरीदीं और 5 अन्य उपहार में प्राप्त कीं। उसने अपनी कुल सीडी का कितना भाग खरीदा और कितना भाग उपहार में प्राप्त किया?
हल:
बाजार से उसके द्वारा खरीदी गई सीडी की संख्या = 3
उपहार में प्राप्त सीडी की संख्या = 5
∴ सीडी की कुल संख्या = 3 + 5 = 8
∴ सीडी (खरीदी गई) का अंश =38और सीडी का अंश (उपहार में दिया गया) =58

Ex 7.2

प्रश्न 1.
संख्या रेखाएँ खींचिए और उन पर बिंदुओं को ढूँढ़िए।

हल:

हमने 0 से 1 तक की संख्या रेखा को चार बराबर भागों में बाँटा है।
C, दर्शाता है24अर्थात,12
B दर्शाता है14
D दर्शाता है34
और E दर्शाता है44, यानी 1.

हमने 0 से 1 तक की संख्या रेखा को आठ बराबर भागों में विभाजित किया है।
B दर्शाता है18
C दर्शाता है28
D दर्शाता है38
और H दर्शाता है78

उपरोक्त संख्या रेखा से, हम पाते हैं कि
C दर्शाता है25
D दर्शाता है35
E दर्शाता है45
और मैं प्रतिनिधित्व करता हूँ85

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को मिश्रित भिन्नों के रूप में व्यक्त करें:

हल:

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को अनुचित भिन्नों के रूप में व्यक्त करें:

हल:

Ex 7.3

प्रश्न 1.
भिन्न लिखिए। क्या ये सभी भिन्न तुल्य हैं?

हल:

चूँकि सभी भिन्न अपने सरलतम रूप में समान नहीं होती हैं,
इसलिए ये तुल्य भिन्न नहीं हैं।

प्रश्न 2.
भिन्नों को लिखिए और प्रत्येक पंक्ति से तुल्य भिन्नों के जोड़े बनाइए।


हल:

निम्नलिखित भिन्नों के जोड़े तुल्य भिन्नों को दर्शाते हैं।
(a) और (ii) =12
(बी) और (iv) =23
(सी) और (आई) =13
(डी) और (वी) =14
(ई) और (iii) =34

प्रश्न 3. 

निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही संख्या
प्रतिस्थापित करें : 

हल:

प्रश्न 4.
तुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए35
(a) हर 20
(b) अंश 9
(c) हर 30
(d) अंश 27
हल:
(a) यहाँ, हमें हर 20 की आवश्यकता है।
मान लीजिए N भिन्नों का अंश है।

∴ अभीष्ट भिन्न है1220

(b) यहाँ, हमें अभीष्ट अंश 9 चाहिए।
मान लीजिए भिन्न का हर D है।

∴ अभीष्ट भिन्न है915.

(c) यहाँ, हमें अभीष्ट हर 30 है।
मान लीजिए भिन्न का अंश N है।

∴ अभीष्ट भिन्न है1830.

(d) यहाँ, हमें अभीष्ट अंश 27 प्राप्त हुआ है।
मान लीजिए भिन्न का हर D है।

∴ अभीष्ट भिन्न है2745.

प्रश्न 5.
तुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए3648
(a) अंश 9
(b) हर 4
हल:
(a) दिया गया है कि अंश = 9

तो, समतुल्य भिन्न है912.

(b) दिया गया है कि हर = 4
∴एन4=3648⇒ एन x 48 = 4 x 36
⇒ एन =4 x 3648= 3
अतः, समतुल्य भिन्न है34.

प्रश्न 6.
जाँच कीजिए कि दी गई भिन्नें समान हैं या नहीं:

हल:
(a)59और3054
हमारे पास है 5 x 54 = 270
और 9 x 30 = 270
यहाँ 5 x 54 = 9 x 30
∴59और3054समतुल्य भिन्न हैं।

(बी)310और1250
हमारे पास है 3 x 50 = 150
और 10 x 12 = 120
यहाँ 3 x 50 ≠ 10 x 12
∴310और1250समतुल्य भिन्न नहीं हैं।

(सी)713और511
हमारे पास है 7 x 11 = 77 और 5 x 13 = 65
यहाँ 7 x 11 ≠ 5 x 13
∴713और511समतुल्य भिन्न नहीं हैं।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित भिन्नों को सरलतम रूप में बदलें:

हल:

प्रश्न 8.
रमेश के पास 28 पेंसिलें थीं, शीलू के पास 50 पेंसिलें थीं और जमाल के पास 80 पेंसिलें थीं। 4 महीने बाद, रमेश ने 10 पेंसिलें इस्तेमाल कीं, शीलू ने 25 पेंसिलें इस्तेमाल कीं और जमाल ने 40 पेंसिलें इस्तेमाल कीं। प्रत्येक ने कितनी भिन्न इस्तेमाल कीं? जाँच कीजिए कि क्या प्रत्येक ने अपनी पेंसिलों का बराबर अंश इस्तेमाल किया है।
हल:
रमेश ने 20 पेंसिलों में से 10 पेंसिलें इस्तेमाल कीं।

शीलू ने 50 पेंसिलों में से 25 पेंसिलें इस्तेमाल कीं।

जमाल ने 80 पेंसिलों में से 40 पेंसिलें इस्तेमाल कीं।

हाँ, प्रत्येक ने बराबर अंश इस्तेमाल किया है, अर्थात्,12.

प्रश्न 9.
तुल्य भिन्नों का मिलान कीजिए और प्रत्येक के लिए दो और लिखिए।

हल:


तुल्य भिन्नों के दो

अतिरिक्त उदाहरण हैं: तुल्य भिन्नों के

दो अतिरिक्त उदाहरण हैं: तुल्य भिन्नों के

दो अतिरिक्त उदाहरण हैं:


तुल्य भिन्नों के दो अतिरिक्त उदाहरण हैं:

Ex 7.4

प्रश्न 1.
छायांकित भाग को भिन्न के रूप में लिखें। भिन्नों के बीच सही चिह्न '<', '=', '>' का प्रयोग करते हुए उन्हें आरोही और अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

(c) दिखाएँ24,46,86और66संख्या रेखा पर दी गई भिन्नों के बीच उपयुक्त चिह्न लगाएँ।

हल:
(a) कुल भागों की संख्या = 8
(i) छायांकित भागों की संख्या = 3
∴ भिन्न =38

(ii) कुल भागों की संख्या = 8
छायांकित भागों की संख्या = 6
∴ भिन्न =68

(iii) कुल भागों की संख्या = 8
छायांकित भागों की संख्या = 4
∴ भिन्न =48

(iv) कुल भागों की संख्या = 8
छायांकित भाग की संख्या = 1
∴ भिन्न =18
अब भिन्न हैं:
38,68,48और18समान हर के साथ।

(b)(i) कुल विभाजनों की संख्या = 9
छायांकित भागों की संख्या = 8
∴ भिन्न =89
(ii) कुल भागों की संख्या = 9
छायांकित भागों की संख्या = 4
∴ भिन्न =49
(iii) कुल भागों की संख्या = 9
छायांकित भागों की संख्या = 3
∴ भिन्न =39
(iv) कुल भागों की संख्या = 9
छायांकित भागों की संख्या = 6
∴ भिन्न =69
∴ भिन्न हैं89,49,39,69समान हर के साथ.

प्रश्न 2.
भिन्नों की तुलना करें और उपयुक्त चिह्न लगाएँ।

हल:

यहाँ, दोनों भिन्नों के हर समान हैं और 3 < 5 है।

यहाँ, भिन्नों के अंश समान हैं और 7 > 4 है।

यहाँ, दोनों भिन्नों के हर समान हैं और 4 < 5 है।

यहाँ, दोनों भिन्नों के अंश समान हैं और 5 < 7 है।

प्रश्न 3.
ऐसे पाँच और जोड़े बनाइए और उपयुक्त चिह्न लगाइए।
हल:

प्रश्न 4.
आकृतियों को देखिए और दिए गए भिन्न युग्मों के बीच '<', या '>' '=' लिखिए।

ऐसी पाँच और समस्याएँ स्वयं बनाइए और अपने मित्रों के साथ हल कीजिए।
हल:

ऐसी पाँच और समस्याएँ स्वयं बनाइए और अपने मित्रों के साथ हल कीजिए।

प्रश्न 5.
आप इसे कितनी जल्दी कर सकते हैं? उपयुक्त चिह्न भरें। '<', '=', '>'।


हल:



प्रश्न 6.
निम्नलिखित भिन्न केवल तीन भिन्न संख्याओं को दर्शाती हैं। प्रत्येक को उसके सरलतम रूप में बदलकर, इन्हें तुल्य भिन्नों के तीन समूहों में विभाजित करें।

हल:

अब उपरोक्त भिन्नों को तुल्य भिन्नों में समूहित करने पर, हमें प्राप्त होता है

प्रश्न 7.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर ज्ञात कीजिए। लिखिए और बताइए कि आपने उन्हें कैसे हल किया।

हल:

व्युत्क्रम गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
5 x 5 = 25 और 4 x 9 = 36
क्योंकि 25 ≠ 36

व्युत्क्रम गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
9 x 9 = 81 और 16 x 5 =80
क्योंकि 81 ≠ 80

व्युत्क्रम गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
4 x 20 = 80 और 5 x 16 = 80
क्योंकि 80 = 80

व्युत्क्रम गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
1 x 30 = 30 और 4 x 15 = 60

प्रश्न 8.
इला ने 100 पृष्ठों वाली एक पुस्तक के 25 पृष्ठ पढ़े।
ललिता ने पढ़ा25उसी किताब के। किसने कम पढ़ा?
हल:
इला 100 में से 25 पन्ने पढ़ती है।

ललिता पढ़ती है25एक ही किताब की।
तुलना14और25, हमें
1 x 5 = 5 और 2 x 4 = 8 प्राप्त होता है
क्योंकि 5 < 8
∴14<25
इसलिए इला कम पृष्ठ पढ़ती है।

प्रश्न 9.
रफीक ने36एक घंटे तक, जबकि रोहित ने व्यायाम किया34एक घंटे का। किसने ज़्यादा देर तक व्यायाम किया?
हल:
रफ़ीक ने ज़्यादा देर तक व्यायाम किया36एक घंटे का।
रोहित ने व्यायाम किया34एक घंटे की
तुलना36और34, हमें
3 x 4 = 12 और 3 x 6 = 18 प्राप्त होता है
क्योंकि 12 < 18
∴34>36
इसलिए रोहित ने अधिक समय तक व्यायाम किया।

प्रश्न 10.
25 विद्यार्थियों वाली एक कक्षा A में, 20 प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण हुए, और 30 विद्यार्थियों वाली एक अन्य कक्षा B में, 24 प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण हुए। किस कक्षा में प्रथम श्रेणी प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों का अंश अधिक था?
हल:
कक्षा A में, 25 विद्यार्थियों में से 20 प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण हुए।
∴ प्रथम श्रेणी प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों का अंश

कक्षा B में, 30 विद्यार्थियों में से 24 प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण हुए।
∴ प्रथम श्रेणी प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों का अंश

दोनों अंशों की तुलना करने पर, हम पाते हैं45=45
अतः, कक्षा A और B दोनों के भिन्न समान हैं।

Ex 7.5

प्रश्न 1.
इन भिन्नों को उचित रूप से जोड़ या घटाव के रूप में लिखिए।

हल:
(a) दी गई आकृति 1 और 2 के योग को दर्शाती है।

अतः दिए गए आरेखों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

(b) दी गई आकृति 1 और 2 के बीच के अंतर को दर्शाती है।35इस

प्रकार, दिए गए आरेखों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

(c) दिया गया आंकड़ा योग को दर्शाता है26और36इस

प्रकार, दिए गए आरेखों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

प्रश्न 2.
हल करें:

हल:

प्रश्न 3.
शुभम ने पेंटिंग की23अपने कमरे की दीवारों पर पेंटिंग करवाई। उनकी बहन माधवी ने उनकी मदद की और13दीवार की जगह का। उन्होंने मिलकर कितनी जगह पेंट की?
हल:
शुभम द्वारा पेंट की गई दीवार का अंश =23
माधवी द्वारा चित्रित दीवार का अंश =13
शुभम और माधवी द्वारा चित्रित दीवार का अंश

इस प्रकार दोनों द्वारा चित्रित दीवार का अंश = 1

प्रश्न 4.
लुप्त भिन्नों की पूर्ति कीजिए।

हल:

प्रश्न 5.
जावेद को दिया गया था57संतरों की एक टोकरी का। टोकरी में संतरों का कितना भाग बचा?
हल:
संतरों की टोकरी का भाग =57
पूरी टोकरी का अंश 1 लिया जा सकता है।
∴ संतरों की टोकरी का शेष अंश

इस प्रकार, अभीष्ट अंश =27.

Ex 7.6

प्रश्न 1.
हल करें


हल:





प्रश्न 2.
सरिता ने खरीदा25मीटर रिबन और ललिता34रिबन का मीटर। उन्होंने जो रिबन खरीदा उसकी कुल लंबाई कितनी है?
हल:
सरिता द्वारा खरीदे गए रिबन की लंबाई =25
ललिता द्वारा खरीदे गए रिबन की लंबाई = मीटर34मीटर
∴ सरिता और ललिता द्वारा खरीदे गए रिबन की लंबाई

इसलिए, आवश्यक लंबाई =2320मीटर

प्रश्न 3.
नैना को 1 दिया गया12केक का एक टुकड़ा और नजमा को 1 दिया गया13केक का एक टुकड़ा। दोनों को दिए गए केक की कुल मात्रा ज्ञात कीजिए।
हल:
नैना को दिया गया केक का टुकड़ा = 1112
नजमा को दिया गया केक का टुकड़ा = 1113
नैना और नजमा को केक का टुकड़ा दिया गया।

अतः दोनों को दिए गए टुकड़ों की कुल मात्रा = 256.

प्रश्न 4.
बॉक्स भरें:

हल:

यहाँ, लुप्त संख्या है14इससे अधिक58यहाँ


, लुप्त संख्या है12इससे अधिक15यहाँ

, लुप्त संख्या है16से कम12.

प्रश्न 5.
जोड़-घटाव बॉक्स को पूरा कीजिए।

हल:

इस प्रकार बॉक्स को निम्न प्रकार से पूरा किया जा सकता है:

प्रश्न 6.
तार का एक टुकड़ा78मीटर लंबा टुकड़ा दो टुकड़ों में टूट गया। एक टुकड़ा14मीटर लंबा है। दूसरा टुकड़ा कितना लंबा है?
हल:
तार की कुल लंबाई =78मीटर
तार के एक टुकड़े की लंबाई =14मीटर
∴ दूसरे टुकड़े की लंबाई =78–14
8 और 4 का LCM = 8

अतः, दूसरे टुकड़े की लंबाई =58मीटर.

प्रश्न 7.
नंदिनी का घर है910वह अपने स्कूल से कुछ किलोमीटर दूर थी। वह कुछ दूर पैदल गई और फिर बस से स्कूल के लिए रवाना हुई।12स्कूल पहुँचने के लिए उसे किलोमीटर की दूरी तय करनी पड़ी। वह कितनी दूरी पैदल चली?
हल:
घर से स्कूल की कुल दूरी =910किमी.
नंदिनी द्वारा बस से तय की गई दूरी =12किमी
∴ उसके द्वारा पैदल तय की गई दूरी

इसलिए, उसके द्वारा पैदल तय की गई दूरी =25किमी.

प्रश्न 8.
आशा और सैमुअल के पास एक ही आकार की किताबों की अलमारियाँ हैं जो आंशिक रूप से किताबों से भरी हैं। आशा की अलमारी \(\frac { 5 }{ 6 }\) भाग भरी है और सैमुअल की अलमारी \(\frac { 2 }{ 5 }\) भाग भरी है। किसकी किताबों की अलमारी ज़्यादा भरी है? कितने अंश से?56वां पूर्ण और सैमुअल की शेल्फ है25वां भरा हुआ। किसकी किताबों की अलमारी ज़्यादा भरी हुई है? कितने अंश से?
हल:
आशा की अलमारी \(\frac { 5 }{ 6 }\)वां भरा हुआ है56वां पूर्ण है
और सैमुअल की शेल्फ \(\frac { 2 }{ 5 }\)वां पूर्ण है25
\(\frac { 5 }{ 6 }\) और \(\frac { 2 }{ 5 }\) की पूर्ण तुलना56और25
6 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य = 30

अतः, आशा की शेल्फ सैमुअल की शेल्फ से अधिक भरी हुई है।

अतः, आशा की शेल्फ \(\frac { 13 }{ 30 }\) वाँ अंश अधिक भरा हुआ है।1330आशा की शेल्फ में वां अंश अधिक भरा हुआ है।

प्रश्न 9.
जयदेव को स्कूल के मैदान में चलने में 2\(\frac { 1 }{ 5 }\) मिनट लगते हैं। राहुल को वही काम करने में \(\frac { 7 }{ 4 }\) मिनट लगते हैं। किसे कम समय लगता है और कितने अंश से?15स्कूल के मैदान को पार करने में राहुल को कुछ मिनट लगते हैं।74उसी काम को करने में 2 मिनट लगते हैं। किसे कम समय लगता है और कितना कम?
हल:
जयदेव को 2\(\frac { 1 }{ 5 }\) मिनट लगते हैं।15मिनट 5
राहुल को 2\(\frac { 7 }{ 4 }\) मिनट लगते हैं74मिनट
2\(\frac { 1 }{ 5 }\) मिनट और \(\frac { 7 }{ 4 }\) मिनट की तुलना15मिनट और74इसलिए


, राहुल द्वारा समान दूरी तय करने में जयदेव द्वारा लिए गए समय से कम समय लगता है।

इसलिए, राहुल को स्कूल के मैदान को पार करने में \(\frac { 9 }{ 20 }\) मिनट कम लगते हैं।920

स्कूल के मैदान तक पहुँचने में कुछ मिनट कम लगेंगे।