NCERT Class 10 Maths Chapter 10 वृत्त
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 वृत्त
Ex 10.1
प्रश्न 1.
एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
हल:
एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
प्रश्न 2.
रिक्त स्थान भरें:
(i) वृत्त पर एक स्पर्श रेखा उसे …………. बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को …………. कहते हैं।
(iii) एक वृत्त में अधिकतम …………. तक समांतर स्पर्श रेखाएं हो सकती हैं।
(iv) वृत्त और स्पर्श रेखा के सामान्य बिंदु को ………….. कहते हैं।
हल:
(i) एक
(ii) छेदक
(iii) दो
(iv) संपर्क बिंदु।
प्रश्न 3.
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर एक स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से होकर जाने वाली रेखा को बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी है। PQ की लंबाई है
(a) 12 सेमी
(b) 13 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) \( \sqrt{199} \) सेमी हल: हमने दिया है कि PQ एक वृत्त की स्पर्श रेखा है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 5 सेमी है। OQ की लंबाई = 12 सेमी। हम जानते हैं कि, वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत होती है। OQ = 12 सेमी ∴ ∠OPQ = 90° [वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से त्रिज्या के लंबवत होती है] PQ 2 = OQ 2 – OP 2 [पाइथागोरस प्रमेय द्वारा] PQ 2 = 12 2 – 5 2 = 144 – 25 = 199 ∴ PQ = \( \sqrt{199} \) सेमी. अतः सही विकल्प (d) है।
प्रश्न 4.
एक वृत्त और उसके समांतर दो रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि एक वृत्त पर स्पर्श रेखा हो और दूसरी वृत्त पर छेदक रेखा हो।
हल:
PQ एक स्पर्श रेखा है और LM एक छेदक रेखा है।
Ex 10.2
प्रश्न 1.
एक बिंदु Q से, एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है और केंद्र से Q की दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है:
(a) 7 सेमी हल:
(b) 12 सेमी
(c) 15 सेमी
(d) 24.5 सेमी
हल:
इसलिए, वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है
इसलिए, दिए गए प्रश्न का विकल्प (A) सही है।
प्रश्न 2.
आकृति में, यदि TP और TQ केंद्र O वाले एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाएं हैं जिससे ∠POQ = 110° है, तो ∠PTQ बराबर है
(a) 60°
(b) 70°
(c) 80°
(d) 90°
हल:
∠OPT = 90°
∠OQT = 90°
∠POQ = 110°
TPOQ एक चतुर्भुज है,
∴ ∠PTQ + ∠POQ = 180° ⇒ ∠PTQ + 110° = 180°
⇒ ∠PTQ = 180°- 110° = 70°
इसलिए, सही विकल्प (b) है।
प्रश्न 3.
यदि बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएं PA और PB एक दूसरे से 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर होगा
(a) 50°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 80°
हल:
AOAP और AOBP में
OA = OB [त्रिज्या]
PA = PB
[बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है]
OP = OP [उभयनिष्ठ]
∴ ∆OAP ≅ ∆OBP [SSS सर्वांगसमता नियम]
∠AOB + ∠APB = 180° ⇒ ∠AOB + 80° = 180°
⇒ ∠AOB = 180° – 80° = 100°
समीकरण से। (i), हम पाते हैं
⇒ ∠POA = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 100° = 50° अतः, सही विकल्प (a) है
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
हल:
AB वृत्त का एक व्यास है, p और q दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
OA ⊥ p और OB ⊥ q
∠1 = ∠2 = 90°
⇒ p || q ∠1 और ∠2 एकांतर कोण हैं।
प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श रेखा पर स्पर्श बिंदु पर डाला गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
हल:
XY, वृत्त C(0, r) पर B पर स्पर्श रेखा है और AB ⊥ XY है। OB को मिलाइए।
∠ABY = 90° [दिया है]
∠OBY = 90°
[संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंबवत है]
∴ ∠ABY + ∠OBY = 180° ⇒ AB समद्विसमरैखिक है
∴ AB वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
प्रश्न 6.
वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूरी पर स्थित बिंदु A से स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
OA = 5 सेमी, AP = 4 सेमी OP = वृत्त की त्रिज्या
∠OPA = 90° [त्रिज्या और स्पर्श रेखा परस्पर लंबवत हैं]
प्रश्न 7.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
हल:
बड़े वृत्त की त्रिज्या = 5 सेमी छोटे वृत्त की त्रिज्या = 3 सेमी
OP ⊥ AB
[वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंबवत है]
AB बड़े वृत्त की एक जीवा है।
प्रश्न 8.
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (चित्र देखें)। सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC।
हल:
AP = AS … (i)
[किसी बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं]
BP = BQ … (ii)
CR = CQ … (iii)
DR = DS … (iv)
समीकरणों (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
: AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC
अतः सिद्ध।
प्रश्न 9.
आकृति में, XY और X'Y' एक वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं, x जिसका केंद्र O है और एक अन्य स्पर्श रेखा AB जिसका संपर्क बिंदु C है, XY को A पर और X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।
हल:
सिद्ध करना है: ∠AOC = 90°
OC को मिलाइए।
XY और X'Y' दो स्पर्श रेखाएँ हैं
XY || X'Y' (दिया गया है) और AB एक तिर्यक रेखा है... (i)
∠PAC + ∠QBC = 180° (पूर्णांक ∠s का योग)
∆PAO और ∆CAO में,
PA = AC (बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा)
AO = AO (उभयनिष्ठ)
PO = QC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
∆ ∆PAO ≅ ∆CDO
⇒ ∠1 = ∠2
इसी प्रकार ∠3 = ∠4
अब, ∠PAC + ∠QBC = 180°
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
[∵ ∠1 = ∠2 और ∠4 = ∠3]
⇒ 2(∠2 + ∠3) = 180°
या ∠2 + ∠3 = 90°
अब, ∆ OAB में,
∠AOB + ∠2 + ∠3= 180° [रखें ∠2 + ∠3 = 90°]
या ∠AOB+ 90°= 180°
⇒ ∠AOB = 90°
प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, संपर्क बिंदुओं को केंद्र पर मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा अंतरित कोण का संपूरक होता है।
हल:
दिया गया है: बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। A और B क्रमशः दो स्पर्श रेखाओं PA और PB के संपर्क बिंदु हैं।
सिद्ध करना है: ∠APB + ∠AOB = 180°
रचना: OA और OB को मिलाएँ
प्रमाण: चूँकि केंद्र O वाले वृत्त पर A पर स्पर्श रेखा PA खींची गई है, इसलिए हमें प्राप्त होता है;
OA ⊥ PA ⇒ ∠OAP = 90°
इसी प्रकार, चूंकि O केंद्र वाले वृत्त पर B पर स्पर्श रेखा PB खींची गई है, हमारे पास है,
OB ⊥ PB ⇒ OBP = 90°
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।
चतुर्भुज OA PB में, हमारे पास है
∠OAP + ∠APB + ∠OBP + ∠AOB = 360°
⇒ ∠APB + ∠AOB = 360° (∠OAP + ∠OBP) = 360° – 180°
⇒ ∠APB + ∠AOB = 180° अतः सिद्ध।
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बना समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।
हल:
दिया गया है: ABCD एक || gm है AB, BC, CD और DA एक वृत्त को स्पर्श कर रहे हैं।
सिद्ध करना है: AB = BC = CD = DA
प्रमाण: चूँकि एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है, हमारे पास है
AP = AS, BP = BQ, CR = CQ और DR = DS
AB + CD = AP + BP + CR + DR
AD + BC = AS + BQ + CQ + DS
= AS + DS + BQ + CQ
= AD + BC
⇒ AB + CD = AD + BC
⇒ 2AB = 2AD
w AB = AD
लेकिन AB= CD और BC = AD
AB = BC = CD = DA
अतः || gm ABCD एक समचतुर्भुज है।
