NCERT Class 10 Maths Chapter 11 रचनाएँ

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 रचनाएँ

Ex 11.1

प्रश्न 1.
7.6 सेमी लंबा एक रेखाखंड खींचिए और उसे 5:8 के अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों को मापिए।
हल:
रचना के चरण:

  1. AB = 7.6 सेमी का एक रेखाखंड खींचिए।
  2. आधार AB पर एक न्यून कोण BAX खींचिए। किरण को AX से चिह्नित कीजिए।
  3. किरण AX पर 13 बिंदु A 1 , A 2 , A 3 , ……, A 13 इस प्रकार अंकित करें कि AA 1 = A 1 A 2 = ……… = A 12 A 13
  4. A 13 को B से मिलाइए और A 5 पर BA 13 तक ∥ रेखा खींचिए , अर्थात A 5 C. रेखा AB को C पर प्रतिच्छेद करती है।

मापन पर AC = 2.9 सेमी और BC = 4.7 सेमी।
तो AC : CB = 5 : 8
चूँकि A 3 C, A 13 B के समांतर है । अतः

यह दर्शाता है कि C, AB को 5 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 2.
4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाइए और फिर उसके समरूप एक त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की 23 हों।
हल:
रचना के चरण:

सबसे पहले हम 6 सेमी रेखा AB खींचते हैं और फिर AC = 4 सेमी का एक चाप काटते हैं। उसके बाद एक और चाप काटते हैं जो BC = 5 सेमी है। A को C से और B को C से मिलाएँ। हमें एक AABC प्राप्त होता है।

  1. AB के साथ न्यून कोण बनाते हुए किरण AX खींचिए।
  2. AX पर बिंदु A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 का पता लगाएं ताकि AA 1 = A 1 A 3 , = A 2 A 3 हो
  3. बीए 3 में शामिल हों .
  4. A 2 B' को इस प्रकार मिलाइए कि A 2 B' || A 3 B और (∠AA 3 B = ∠AA 2 B')
  5. B से होकर एक किरण B'C || BC' तथा ∠ABC – ∠AB'C खींचिए।

अतः ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाइए और फिर एक अन्य त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 7 }{ 5 }\) हों। हल: रचना के चरण:75पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं का।

  1. AB = 5 सेमी, BC = 7 सेमी और AC = 6 सेमी लेकर एक ΔABC बनाइये।
  2. बिंदु B पर BC के नीचे एक न्यून कोण CBA खींचिए।
  3. किरण BX को B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 और B 7 के रूप में इस प्रकार चिह्नित करें कि BB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B 5 = B 5 B 6 = B 6 B 7 हो ।
  4. B 5 को C से मिलाइये।
  5. B 5 C के समान्तर B 7 C' खींचिए , जहाँ C' विस्तारित रेखा BC पर एक बिंदु है।
  6. A'C' ∥ AC खींचिए, जहाँ A' विस्तारित रेखा BA पर एक बिंदु है।

∴ A'BC' अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 8 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की 1\(\frac { 1 }{ 2 }\) गुना हों। हल: रचना के चरण:12समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं का गुणा।

  1. आधार AB = 8 सेमी खींचिए।
  2. AB का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। ⊥ समद्विभाजक पर CD = 4 सेमी अंकित कीजिए, जहाँ D, AB का मध्य-बिन्दु है।
  3. बिन्दु A पर AB के नीचे एक न्यून कोण BAX खींचिए।
  4. किरण AX को A 1 , A 2 , A 3 से इस प्रकार अंकित कीजिए कि AA 1 =A 1 A 2 = A 2 A 3 हो
  5. A 2 को B से मिलाइए। A 3 B' ∥ A 2 B खींचिए, जहाँ B' विस्तारित रेखा AB पर एक बिंदु है।
  6. B' पर B'C' 11 BC खींचिए, जहाँ C' विस्तारित रेखा AC पर एक बिंदु है।

∴ ∆AB'C' अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC खींचिए जिसकी भुजा BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠ABC = 60° हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) हों। हल: रचना के चरण:34त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं का।

  1. एक रेखाखंड BC = 6 सेमी खींचिए तथा बिंदु B पर ∠ABC = 60° का कोण बनाइए।
  2. AB = 5 सेमी काटें। AC को मिलाएँ। हमें एक ΔABC प्राप्त होता है।
  3. शीर्ष A के विपरीत भुजा पर BC के साथ न्यून कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए।
  4. किरण BX पर 4 बिंदु A 1 , A 2 , A 3 और A 4 का पता लगाएं ताकि BA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 हो।
  5. A4 को C से मिलाइये।
  6. A 3 पर A 3 C' ∥ A 4 C खींचिए , जहाँ C' रेखाखंड BC पर एक बिंदु है।
  7. C' पर C'A' ∥ CA खींचिए, जहाँ A' रेखाखंड BA पर स्थित एक बिंदु है।

∴ ∆A'BC' अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC खींचिए जिसकी भुजा BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो। फिर, एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 4 }{ 3 }\) गुनी हों। हल: ∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇒ 105° + 45° + ∠C = 180° ⇒ 150° + ∠C = 180° ⇒ ∠C = 30° रचना के चरण:43∆ABC की संगत भुजाओं का गुणा।

  1. एक रेखाखंड BC = 7 सेमी खींचिए। बिंदु B पर ∠B = 45° और बिंदु C पर ∠C = 30° खींचिए और ΔABC प्राप्त कीजिए।
  2. आधार BC पर बिंदु B पर एक न्यून ∠CBX खींचिए। किरण BX को B 1 , B 2 , B 3 , B 4 से इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 हो।
  3. B 3 को C से मिलाइये।
  4. रेखाखंड B 4 C' ∥ B 3 C खींचिए , जहाँ C' विस्तारित रेखाखंड BC पर स्थित बिंदु है।
  5. C' पर C'A' ∥ AC खींचिए, जहाँ A' विस्तारित रेखाखंड BA पर स्थित एक बिंदु है।

∴ ∆A'BC' अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अलावा) 4 सेमी और 3 सेमी लंबी हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3F }\) गुना हों। हल: रचना के चरण:53 Fदिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं का गुणा।

  1. AB = 4 सेमी, AC = 3 सेमी और ∠A = 90° लेकर एक समकोण ∆ABC खींचिए।
  2. आधार AB पर बिन्दु A पर न्यून कोण BAX बनाइये।
  3. किरण AX को A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 से इस प्रकार चिह्नित करें कि AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 हो ।
  4. A 3 B को मिलाइए। A 5 पर A 5 B' ∥ A 3 B खींचिए, जहाँ B' बढ़ाई गई रेखाखंड AB पर स्थित एक बिंदु है।
  5. B' पर B'C' ∥ BC खींचिए, जहाँ C' विस्तारित रेखाखंड AC पर स्थित एक बिंदु है।

∴ ∆AB'C' अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2

प्रश्न 1.
6 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। इसके केंद्र से 10 सेमी दूर एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचिए और उनकी लंबाइयाँ मापिए।

हल:
दिया गया है: 6 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त और उसके बाहर एक बिंदु P, वृत्त के केंद्र O से 10 सेमी की दूरी पर स्थित है, अर्थात् OP = 10 सेमी।

आवश्यक: P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए और उनकी लंबाइयाँ भी मापिए।

रचना के चरण:
(i) 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए और O को इसका केंद्र मानिए।
(ii) O को X तक बढ़ाइए और OX से OP = 10 सेमी काटिए।
(iii) OP का लम्ब समद्विभाजक ST खींचिए जो OP को M पर प्रतिच्छेद करे।
(iv) M को केंद्र तथा MO और MP को त्रिज्या मानकर एक और वृत्त खींचिए जो पहले खींचे गए वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करे।
(v) PQ और PR को मिलाइए।
अतः PQ और PR तथा अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ।
(vi) फिर स्पर्श रेखाएँ FQ और PR मापिए। आप पाएंगे कि PQ और PR प्रत्येक की लंबाई 8 सेमी होगी।

गणना:

प्रश्न 2.
6 सेमी त्रिज्या वाले एक संकेन्द्रीय वृत्त पर स्थित एक बिंदु से 4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लंबाई मापिए। माप की वास्तविक गणना द्वारा भी पुष्टि कीजिए:
हल:
रचना के चरण:

(i) OP = 6 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
(ii) ON = 4 सेमी त्रिज्या वाला एक संकेन्द्रीय वृत्त खींचिए।
(iii) OP का ⊥ समद्विभाजक खींचिए जो इसे M पर रखे।
(iv) M को केंद्र मानकर और त्रिज्या NQ के बराबर लेकर
एक वृत्त खींचिए जो अंतः वृत्त को P और Q पर प्रतिच्छेद करता है।

औचित्य:
बिंदुयुक्त वृत्त में PO व्यास है और ∠PRQ = 90° (अर्धवृत्त में कोण)
∴ OQ ⊥ PQ
इस प्रकार, PQ स्पर्शरेखा होगी क्योंकि हम जानते हैं कि त्रिज्या (OQ) और स्पर्शरेखा (PQ) के बीच का कोण 90° है।

प्रश्न 3.
3 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। इसके केंद्र से 7 सेमी की दूरी पर इसके एक बढ़ाए गए व्यास पर दो बिंदु P और Q लीजिए। इन दोनों बिंदुओं P और Q से वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचिए।
हल:
रचना के चरण:

(i) 3 सेमी त्रिज्या और केंद्र O वाला एक वृत्त खींचिए।
(ii) वृत्त के बाहर दो बिंदु P और Q इस प्रकार लीजिए कि OP = 7 सेमी और OQ = 7 सेमी हो तथा OP और O को समद्विभाजित करें। प्रश्न: मान लीजिए OP के मध्य-बिंदु M और OQ N हैं।
(iii) M और N को केंद्र मानकर दो वृत्त खींचिए क्योंकि MO और NO क्रमशः त्रिज्याएँ हैं। दोनों वृत्त मुख्य वृत्तों को R, S, T और U बिंदुओं पर काटते हैं।
(iv) P को R और S से मिलाइए और Q को T और U से मिलाइए। तो PR, PS और NT, NU वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य:
के बाएं वृत्त में व्यास है
∴ ∠PRO = 90° (अर्धवृत्त में कोण)
∴ OR x PR
इस प्रकार, PR स्पर्शरेखा है (∵ त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच का कोण 90° है)
इसी प्रकार PS, QT और QU स्पर्शरेखा हैं।

प्रश्न 4.
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचिए जो एक दूसरे से 60° के कोण पर झुके हों।
हल:
रचना के चरण:
(i) 5 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।
(ii) एक व्यास QM खींचिए।
(iii) Q पर लंब QA खींचिए।

(iv) O पर 60° का कोण बनाइए जिससे ∠QOR = 120° हो।
(v) R पर लंब RB खींचिए।
(vi) दोनों लंब P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
(vii) इस प्रकार, PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जो 60° पर झुकी हैं।
औचित्य:
PQOR में
∠P + ∠Q + ∠O + ∠R = 360°
या ∠P + 90° + 120° + 90° = 360°
या ∠P + 300° = 360°
या ∠P = 360° – 300° = 60°

प्रश्न 5.
8 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए। A को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए और B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल:
रचना के चरण:

(i) एक रेखाखंड AB = 8 सेमी खींचिए और इसे समद्विभाजित कीजिए। M को AB का मध्य-बिंदु मान लीजिए।
(ii) A को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए और B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए और M को केंद्र मानकर MA त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो दोनों वृत्तों को बिंदु P, Q और RS पर काटता है।
(iii) A को R और S से मिलाइए। B को P और Q से मिलाइए।
अतः AR, AS और BP, BQ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य: मध्यम वर्गीय वृत्त में AB व्यास है
∠APB = 90° और ∠APB = 90° (अर्धवृत्त में कोण)
∴ AP ⊥ BP और BR ⊥ AR (त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच का कोण 90° है)
इस प्रकार, BP और AR स्पर्शरेखाएँ हैं इसी प्रकार AS और BQ स्पर्शरेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी और ∠B = 90°, BD, B से AC पर लंब है। B, C, D से होकर एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ बनाएँ।
हल:
रचना के चरण:
(i) एक AABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 8 सेमी, AB = 6 सेमी और ∠B = 90° हो।
(ii) बिंदु B से एक लंब BP खींचिए जो AC को D पर काटता है।

(iii) अब CD और BC का लंबवत समद्विभाजक खींचिए जो M पर प्रतिच्छेद करता है।
∴ BM ⊥ AB (त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच कोण 90° है)
इस प्रकार, AB स्पर्श रेखा है।
AQ भी स्पर्श रेखा है जो AB के बराबर है क्योंकि बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

प्रश्न 7.
चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिंदु लीजिए। इस बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं के युग्म की रचना कीजिए।
हल:
रचना के चरण;
(i) किसी भी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
(ii) वृत्त के बाहर एक बिंदु P लीजिए।
(iii) PM = PA लीजिए।

(iv) अब BA को व्यास लेकर उसका लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो B को M पर काटता हो।
(v) M को केंद्र मानकर अर्धवृत्त खींचिए।
(vi) P से एक लम्ब खींचिए जो अर्धवृत्त को D पर मिले।
(vii) अब PD को त्रिज्या मानकर दो चाप खींचिए जो वृत्त को Q और R पर काटते हैं।
(viii) P को Q से और P को R से मिलाइए।
(ix) इस प्रकार हमें PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ प्राप्त होती हैं।
(x) M को केंद्र मानकर एक वृत्त खींचिए जो B, C और D से होकर गुजरता हो।
(xi) परकार में AB = 6 सेमी लेकर एक चाप खींचिए जो वृत्त को Q पर काटता हो।
(xii) AB और AQ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य: चूँकि ∠BDC = 90° (अर्धवृत्त में कोण)
∴ BM त्रिज्या है।
और ∠B = 90°


Tags
Previous Post Next Post