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 NCERT Class 10 Maths Chapter 12 वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल

Ex 12.1

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल: दिया गया है: पहले वृत्त

की त्रिज्या (R 1 ) = 19 सेमी ∴ पहले वृत्त की परिधि = 2πR 1 = 2π(19) सेमी दूसरे वृत्त की त्रिज्या (R 2 ) = 9 सेमी ∴ दूसरे वृत्त की परिधि = 2πR 2 = 2π(9) सेमी तीसरे वृत्त की त्रिज्या R 3 मान लीजिए तीसरे वृत्त की परिधि = 2πR 3 प्रश्न के अनुसार, 2πR 1  + 2πR 2 = 2πR 3 ⇒ 2π(R 1 + R 2 ) = 2πR 3 ⇒ R 1 + R 2 = R 3 ⇒ 19 + 9 = R 3 ⇒ R 3 = 28 सेमी तो, उस वृत्त की त्रिज्या जिसकी परिधि त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बराबर है 19 सेमी = 28 सेमी.

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल: दिया गया है: पहले वृत्त

की त्रिज्या (R 1 ) = 8 सेमी पहले वृत्त का क्षेत्रफल = πR 1 2 = π(8) 2 सेमी 2 दूसरे वृत्त की त्रिज्या (R 2 ) = 6 सेमी दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = πR 2 2 = π(6) 2 सेमी 2 माना तीसरे वृत्त की त्रिज्या R 3 है तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल = πR 3 2 प्रश्न के अनुसार, πR, 2 + πR 2 2 – πR 3 2 ⇒ R 1 2 + R 2 2 = R 3 2  ⇒ (8) 2 + i6) 2 – R 3 2 ⇒ 64 + 36 = R 3 2 ⇒ R 3 = \( \sqrt{100} \) = 10 cm 
100−−−√= 10 cm
अतः, अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है।

प्रश्न 3.
आकृति में एक तीरंदाजी लक्ष्य दर्शाया गया है जिसके केंद्र से बाहर की ओर पाँच अंक क्षेत्र हैं: सोना, लाल, नीला, काला और सफेद। सोने के अंक को दर्शाने वाले क्षेत्र का व्यास 21 सेमी है और अन्य प्रत्येक पट्टी 10.5 सेमी चौड़ी है। पाँचों अंक क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
सोने के अंक को दर्शाने वाले क्षेत्र का व्यास = 21 सेमी
सोने की त्रिज्या = \(\frac { 21 }{ 2 }\) सेमी = 10.5 सेमी212सेमी = 10.5 सेमी
सोने के क्षेत्र का क्षेत्रफल = 2πr²
= \(\frac { 22 }{ 2 }\) x (10.5)²222x (10.5)²
= 346.5 सेमी²
लाल बैंड 10.5 चौड़ा है
(लाल + सोना) की त्रिज्या = 10.5 + 10.5 सेमी
= 21 सेमी
(लाल + सोना) का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac { 22 }{ 2 }\)222
= 1386 सेमी²
लाल बैंड का क्षेत्रफल = (लाल + सोना) का क्षेत्रफल - सोने का क्षेत्रफल
= 1386 - 346.5 सेमी
= 1039.5 सेमी²
फिर,
(सोना + लाल + नीला) की त्रिज्या
= 21 + 10.5 सेमी = 31.5 सेमी
(सोना + लाल + नीला) का क्षेत्रफल
= πr²
= \(\frac { 22 }{ 2 }\) x 31.5 x 31.5222x 31.5 x 31.5
= 3118.5 सेमी²
नीले बैंड का क्षेत्रफल = (सोना + लाल + नीला) का क्षेत्रफल - (सोना + लाल) का क्षेत्रफल
= 3118.5 - 1386
= 1732.5 सेमी²
फिर,
(सोना + लाल + नीला + काला) की त्रिज्या = 31,5 + 10.5 = 42 सेमी
(सोना + लाल + नीला + काला) का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 2 }\) – (42)²222– (42)²
= \(\frac { 22 }{ 2 }\) x 42 x 42 सेमी²222x 42 x 42 सेमी²
= 5544 सेमी²
काली पट्टी का क्षेत्रफल = (सोना + लाल + नीला + काला) का क्षेत्रफल – (सोना + लाल + नीला) का क्षेत्रफल
= 5544 – 3118.5 सेमी²
= 2425.5 सेमी²
पुनः,
(सोना + लाल + नीला + काला + सफेद) की त्रिज्या
= 42 + 10.5
= 52.5
(सोना + लाल + नीला + काला + सफेद) का क्षेत्रफल
= πr²
= \(\frac { 22 }{ 2 }\) x (52.5)²222x (52.5)²
= \(\frac { 22 }{ 2 }\) x 52.5 x 52.5 सेमी²222x 52.5 x 52.5 सेमी²
= 8662.5 सेमी²
सफेद पट्टी का क्षेत्रफल = (सोना + लाल + नीला + सफेद) का क्षेत्रफल – (सोना + लाल + नीला + काला) का क्षेत्रफल
= 8662.5 – 5544 सेमी²
= 3118.5 सेमी²

प्रश्न 4.
एक कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 सेमी है। जब कार 66 किमी प्रति घंटे की गति से चल रही है, तो प्रत्येक पहिया 10 मिनट में कितने चक्कर लगाता है?
हल:
एक चक्कर में पहिये द्वारा तय की गई दूरी
= π x पहिये का व्यास
= 222 x 80
एक मिनट में पहिये द्वारा तय की गई कुल दूरी
= 66×1000×10060 सेमी
∴ एक मिनट में पहिये द्वारा किए गए चक्करों की संख्या
66×1000×1060×227×80 = 66×1000×100×760×22×80 = 437.5
∴ पहिये द्वारा 10 मिनट में किए गए चक्करों की संख्या
= (437.5 x 10) = 4375

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर पर निशान लगाएँ और अपनी पसंद का औचित्य सिद्ध करें: यदि किसी वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो वृत्त की त्रिज्या है
हल:
माना वृत्त की त्रिज्या = r इकाई
वृत्त का परिमाप = 2πr
वृत्त का क्षेत्रफल = πr 2
प्रश्न के अनुसार,
वृत्त का परिमाप = वृत्त का क्षेत्रफल
⇒ 2πr = πr 2
⇒ r = 2 इकाई
अतः, विकल्प (a) सही है।

Ex 12.2

प्रश्न 1.
6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है।
हल:
त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = 6 सेमी
त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण = 60°
हम जानते हैं कि

इसलिए, अभीष्ट वृत्त का क्षेत्रफल 1327 सेमी² है।

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी है।
हल:
चतुर्थांश का कोण 0 = 90°
वृत्त की परिधि = 2πr
22 = 2πr
r = 11πcm

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। 5 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
60 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण है
∴ 1 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण है = 360∘60∘ = 6°

मिनट की सुई की लंबाई (r) = 14 सेमी
हम जानते हैं कि

5 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल 1533 सेमी² है

प्रश्न 4.
10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। संगत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) लघु वृत्तखंड
(ii) दीर्घ वृत्तखंड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल:
दिया गया है: वृत्त की त्रिज्या = 10 सेमी
जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण = 90°
(i)

(ii) दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल
= πr 2 – 28.5 = 3.14 x 10 x 10-28.5
= 314-28.5 = 285.5 सेमी 2

प्रश्न 5.
21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में, एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए:
(i) चाप की लंबाई।
(ii) चाप द्वारा बने त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।
(iii) संगत जीवा द्वारा बने रेखाखंड का क्षेत्रफल।
हल: वृत्त की त्रिज्या = 21 सेमी
केंद्र पर कोण = 60° (i) हम जानते हैं कि इसलिए, चाप AB की लंबाई = 22 सेमी।

(iii) वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – समबाहु ∆OAB का क्षेत्रफल

अतः चाप AB द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 231 वर्ग सेमी.

प्रश्न 6.
12 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। वृत्त के संगत खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और \(\sqrt{3}\) = 1.73 का प्रयोग कीजिए)। हल: 12 सेमी त्रिज्या और केंद्र 0 वाले एक वृत्त C की रचना कीजिए । संगत खंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - ∆AOB का क्षेत्रफल = 150.72 - 62.28 सेमी² = 88.44 सेमी²3–√= 1.73).

प्रश्न 7.
एक घोड़े को 15 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने में 5 मीटर लंबी रस्सी से एक खूंटे से बांधा गया है (चित्र देखें)।
(i) मैदान के उस हिस्से का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें घोड़ा चर सकता है।
(ii) यदि रस्सी 5 मीटर के बजाय 10 मीटर लंबी होती तो चराई क्षेत्र में वृद्धि। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

हल:
(i) रस्सी की लंबाई = घोड़े द्वारा चरे गए क्षेत्र की त्रिज्या = 5 मीटर
यहाँ, क्षेत्र का कोण = 90°

इसलिए, मैदान के उस हिस्से का क्षेत्रफल जो घोड़े द्वारा चरा जाता है 19625 वर्ग मीटर है।

(ii) अब, त्रिज्या = 10 मीटर
कोण = 90°

प्रश्न 8.
चांदी के तार से 35 मिमी व्यास वाले एक वृत्त के आकार का एक ब्रोच बनाया गया है। इस तार का उपयोग 5 व्यास बनाने में भी किया गया है जो वृत्त को 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

ज्ञात कीजिए:
(i) आवश्यक चांदी के तार की कुल लंबाई।
(ii) ब्रोच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल।
हल:


वृत्त का एक व्यास 35 मिमी लंबा है। 5 व्यासों की लंबाई = 5 x 35 = 175 मिमी।
चांदी के तार की आवश्यक लंबाई = वृत्त की परिधि + 5 व्यासों की लंबाई
= 110 + 175 = 285 मिमी।

(ii) मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और त्रिज्या

एक भाग के व्यास द्वारा बनाया गया कोण है

इसलिए ब्रोच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल \(\frac { 385 }{ 4 }\) मिमी² है3854मिमी²

प्रश्न 9.
एक कार में दो वाइपर हैं जो एक-दूसरे को ओवरलैप नहीं करते हैं।
प्रत्येक वाइपर में 25 सेमी लंबाई का एक ब्लेड है जो 115° के कोण पर घूमता है। ब्लेड के प्रत्येक स्वीप पर साफ किया गया कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है: वाइपर के ब्लेड की लंबाई = ब्लेड द्वारा सेक्टर स्वीप की त्रिज्या = 25 सेमी
ब्लेड के प्रत्येक स्वीप द्वारा साफ किया गया क्षेत्रफल = ब्लेड द्वारा सेक्टर स्वीप का क्षेत्रफल
वाइपर के ब्लेड द्वारा बनाए गए सेक्टर का कोण = 115°

अतः, प्रत्येक स्वीप पर साफ किया गया कुल क्षेत्रफल \(\frac { 158125 }{ 126 }\) सेमी² है।158125126सेमी².

प्रश्न 10.
पानी के नीचे की चट्टानों के बारे में जहाजों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइटहाउस 80° के कोण वाले एक त्रिज्यखंड पर 16.5 किमी की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र का वह क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके ऊपर जहाजों को चेतावनी दी जाती है। (π = 3.14 का प्रयोग करें)
हल:
त्रिज्यखंड का कोण = 80°
तय की गई दूरी = 16.5 किमी
बने त्रिज्यखंड की त्रिज्या = 16.5 किमी

अतः समुद्र का वह क्षेत्रफल जिसके ऊपर जहाजों को चेतावनी दी जाती है 189.97 वर्ग किमी है।

प्रश्न 11.
एक गोल मेज़पोश पर छह समान डिज़ाइन बने हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि कवर की त्रिज्या 28 सेमी है, तो ₹ 0.35 प्रति वर्ग सेमी की दर से डिज़ाइन बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (प्रयोग करें)3–√= 1.7)

हल:

डिज़ाइन का क्षेत्रफल = सेक्टर AOB का क्षेत्रफल - ∆AOB का क्षेत्रफल
= 410.67 - 333.20
= 77.47
वृत्त में छह डिज़ाइन हैं
छह डिज़ाइनों का क्षेत्रफल = 77.47 x 6
= 464.82 सेमी²
0.35 प्रति सेमी² की दर से डिज़ाइन बनाने की लागत
₹ (464.82 x 0.35) = ₹ 162.68
इसलिए डिज़ाइन बनाने की आवश्यक लागत ₹ 162.68 है

Ex 12.3

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 सेमी, PR = 7 सेमी तथा O वृत्त का केंद्र है।
हल:

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दो संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 सेमी और 14 सेमी हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल:
∠AOC = 40° (दिया गया है)
त्रिज्यखंड AOC की त्रिज्या = 14 सेमी

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD 14 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है तथा APD और BPC अर्धवृत्त हैं।

हल:
ABCD एक वर्ग है
दिया गया है: वर्ग की भुजा = 14 सेमी
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (14)² = 196 सेमी²
अर्धवृत्त की त्रिज्या APD = 12(वर्ग की भुजा) = 12 x 14 = 7 सेमी
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल APD = 12 πr² = 12 × 227 × 7 × 7 = 11 × 7 = 77 सेमी²
इसी प्रकार, अर्धवृत्त BPC का क्षेत्रफल = 77 सेमी²
दोनों अर्धवृत्तों का कुल क्षेत्रफल = 77 + 77 = 154 सेमी²
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्षेत्र = वर्ग का क्षेत्रफल – दोनों अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल
= 196 – 154 = 42 वर्ग सेमी

प्रश्न 4.
आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ 12 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।
हल:
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
4 सेमी भुजा वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चतुर्थांश काटा गया है और साथ ही 2 सेमी व्यास वाला एक वृत्त भी काटा गया है जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 4 सेमी भुजा वाले वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – केंद्र में स्थित 1 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल – वर्ग ABCD के प्रत्येक कोने पर | त्रिज्या वाले चार चौथाई वृत्तों का क्षेत्रफल।

∴ वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल = \(\frac { 68 }{ 7 }\) सेमी²687सेमी ²

प्रश्न 6.
32 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार मेज़पोश के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। डिज़ाइन का क्षेत्रफल (छायांकित भाग) ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 7.
आकृति में, ABCD 14 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केंद्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
वर्ग ABCD का किनारा = 14 सेमी
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (14)² = 196 सेमी²
यहाँ प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है।

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 4 त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
196 – 154 = 42 सेमी²

प्रश्न 8.
दी गई आकृति एक रेसिंग ट्रैक को दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं। दो आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 मीटर है और प्रत्येक 106 मीटर लंबा है। यदि ट्रैक 10 मीटर चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) ट्रैक के आंतरिक किनारे के अनुदिश दूरी।
(ii) ट्रैक का क्षेत्रफल।

हल:
(i) ABCD और EFGH दो आयत हैं और उनके कोने पर दो अर्धवृत्त हैं। ट्रैक के आंतरिक किनारे के अनुदिश दूरी

= 2 x आयत की लंबाई + 2 x अर्धवृत्त की परिधि

(ii) ट्रैक का क्षेत्रफल = 2 [आयतों का क्षेत्रफल] + 2 [बाहरी अर्धवृत्त का क्षेत्रफल] - [आंतरिक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल]

प्रश्न 9.
आकृति में, AB और CD एक वृत्त (केंद्र O वाले) के दो लंबवत व्यास हैं और OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 सेमी, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि AB ⊥ CD,
इसलिए, ∠COB = ∠COA
∠DOA = ∠DOB = 90°
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल, व्यास वाले छोटे वृत्त का क्षेत्रफल (OD = OA = 7 सेमी) + (केंद्रीय कोण BOC = 90° और त्रिज्या (OB = OC = 7 सेमी) वाले खंड BMC का क्षेत्रफल + केंद्रीय कोण AOC = 90° और त्रिज्या (OA = OC) = 7 सेमी वाले खंड ANC का क्षेत्रफल

प्रश्न 10.
आकृति में, एक वर्ग OABC एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत है। यदि OA = 20 सेमी, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल:
OABC एक वर्ग है और OA 20 सेमी है। OB को मिलाइए। अब हमारे पास एक त्रिभुज QAB है।
पाइथागोरस प्रमेय से
(OB)² = (OA)² + (AB)²
(OB)² = (20)² + (20)²
= 400 + 400

वर्ग
OABC का क्षेत्रफल = (20)² = 400 वर्ग सेमी.

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OPBQ का क्षेत्रफल – वर्ग OABC का क्षेत्रफल
= 628 – 400
= 228 वर्ग सेमी

प्रश्न 11.
AB और CD क्रमशः 21 सेमी और 7 सेमी त्रिज्याओं तथा 0 केंद्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के चाप हैं (चित्र देखें)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 12.
आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है और BC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
आइए BC ज्ञात करें। पाइथागोरस प्रमेय से BC² = AB² + AC²
BC² = 14² + 14²
BC = 142–√ सेमी
आवश्यक क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल BRC – [चतुर्थांश का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल]
आवश्यक क्षेत्रफल = BCQB का क्षेत्रफल – (BACQB का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल)