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 NCERT Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Ex 13.1

प्रश्न 1.
64 सेमी आयतन वाले 2 घनों को सिरे से सिरे तक जोड़ा गया है। परिणामी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
एक घन का आयतन = 64 सेमी माना एक घन का किनारा = a घन का आयतन = (किनारा) 3 a 3 = 64 ⇒ a = 4 सेमी इसी प्रकार, दूसरे घन का किनारा = 4 सेमी अब, दोनों घनों को एक साथ जोड़ दिया गया है और एक घनाभ बन गया है जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। अब, घनाभ की लंबाई (l) = 8 सेमी घनाभ की चौड़ाई (b) = 4 सेमी घनाभ की ऊँचाई (h) = 4 सेमी इस प्रकार बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (lb + bh + hl) = 2(8 x 4 + 4 x 4 + 4 x 8) = 2(32 + 16 + 32) = 160 सेमी²

प्रश्न 2.
एक बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिस पर एक खोखला बेलन लगा है। अर्धगोले का व्यास 14 सेमी है और बर्तन की कुल ऊँचाई 13 सेमी है। बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया गया है: अर्धगोले का व्यास = 14 सेमी
त्रिज्या = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 सेमी142= 7 सेमी
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 x 7 सेमी²227x 7 x 7 सेमी²
= 14 x 22 सेमी² = 308 सेमी²
यहाँ, बर्तन की कुल ऊँचाई = 13 सेमी
बेलन की ऊँचाई = कुल ऊँचाई – अर्धगोले की ऊँचाई = 13 सेमी – 7 सेमी = 6 सेमी
और बेलन की त्रिज्या = अर्धगोले की त्रिज्या = 7 सेमी
बेलन का आंतरिक सतही क्षेत्रफल = 2πrh = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 x 6227x 7 x 6
= 2 x 22 x 6 = 264 सेमी²
बर्तन का आंतरिक सतह क्षेत्र = बेलन का आंतरिक सतह क्षेत्र + अर्धगोले का वक्र सतह क्षेत्र
= 264 सेमी² + 308 सेमी² = 572 सेमी².

प्रश्न 3.
एक खिलौना 3.5 सेमी त्रिज्या वाले शंकु के आकार का है जो समान त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर रखा है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 सेमी है। खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
अर्धगोले की त्रिज्या, r = 3.5 सेमी
शंकु के आधार की त्रिज्या, r = 5 सेमी
शंकु की ऊँचाई, h = (15.5 - 3.5) सेमी = 12 सेमी

∴ खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)

अतः, खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 214.5 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 4.
7 सेमी भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
अर्धगोले का अधिकतम व्यास = 7 सेमी (घन की भुजा)
अर्धगोले की त्रिज्या \(\frac { 7 }{ 2 }\) = सेमी है।72= सेमी.
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
एक तम्बू बेलन के आकार का है जिसके ऊपर एक शंक्वाकार शीर्ष लगा हुआ है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः 2.1 मीटर और 4 मीटर हैं, और शीर्ष की तिर्यक ऊँचाई 2.8 मीटर है, तो तम्बू बनाने में प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ₹ 500 प्रति वर्ग मीटर की दर से तम्बू के कैनवास की लागत भी ज्ञात कीजिए। (ध्यान दीजिए कि तम्बू का आधार कैनवास से नहीं ढका जाएगा।)
हल:
प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)

₹ 500 प्रति वर्ग मीटर की दर से तम्बू के कैनवास की लागत
= ₹ (44 x 500) = ₹ 22,000

प्रश्न 6.
एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे से एक अर्धगोला निकालकर एक लकड़ी की वस्तु बनाई गई, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी है, और इसके आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी है, तो वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
बेलन की त्रिज्या = अर्धगोलाकार सिरों की त्रिज्या = r = 3.5 सेमी
बेलन की ऊँचाई = 10 सेमी
वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दो अर्धगोलाकार सिरों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (2πrh + 2 x 2πr²) सेमी²
= 2πr (h + 2r) सेमी²
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 3.5 (10 + 7)227x 3.5 (10 + 7)
= 22 (14) = 374 सेमी².

Ex 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 227 लीजिए |)

प्रश्न 1.
एक ठोस शंकु के आकार का है जो एक अर्धगोले पर स्थित है। दोनों की त्रिज्याएँ 1 सेमी हैं और शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। ठोस का आयतन n के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल:
शंकु की त्रिज्या = 1 सेमी और अर्धगोले की त्रिज्या भी = 1 सेमी है।
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन

प्रश्न 2.
इंजीनियरिंग की छात्रा रेचल को एक पतली एल्युमीनियम शीट का उपयोग करके एक बेलन के आकार का मॉडल बनाने के लिए कहा गया था जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु लगे हों। मॉडल का व्यास 3 सेमी और लंबाई 12 सेमी है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 सेमी है, तो रेचल द्वारा बनाए गए मॉडल में हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि मॉडल की बाहरी और भीतरी विमाएँ लगभग समान हैं।)
हल:
मॉडल में हवा का आयतन = ठोस का कुल आयतन
प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास = 3 सेमी
∴ प्रत्येक शंकु के आधार की त्रिज्या = \(\frac { 3 }{ 2 }\)32
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई = 2 सेमी


मॉडल के अंदर हवा का आयतन = अंदर हवा का आयतन = शंकु का आयतन + बेलन का आयतन + दूसरे शंकु का आयतन।

मॉडल का आयतन = 66 सेमी³

प्रश्न 3.
एक बर्तन उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 सेमी है और इसके खुले ऊपरी भाग की त्रिज्या 5 सेमी है। यह किनारे तक पानी से भरा है। जब सीसे की गोलियाँ, जिनमें से प्रत्येक 0.5 सेमी त्रिज्या का एक गोला है, बर्तन में डाली जाती हैं, तो एक-चौथाई पानी बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:

जब सीसे की गोलियाँ बर्तन में डाली जाती हैं, तो
बाहर निकलने वाले पानी का आयतन = सीसे की गोलियों का आयतन

बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या = 100

प्रश्न 4.
एक ठोस लोहे के खंभे में 220 सेमी ऊँचाई और 24 सेमी आधार व्यास वाला एक बेलन बना है, जिसके ऊपर 60 सेमी ऊँचाई और 8 सेमी त्रिज्या वाला एक और बेलन रखा है। इस खंभे का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, क्योंकि 1 सेमी² लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 ग्राम है। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

हल: दिया गया है: पहले बेलन की त्रिज्या = 12 सेमी और पहले बेलन की ऊंचाई = 220 सेमी ∴ पहले बेलन का आयतन = πr²h = π(12)² (220) सेमी³ = 144 x 220π सेमी³ = 144 x 220 x 3.14 सेमी³ = 99475.2 सेमी³ … (i) दिया गया है: दूसरे बेलन की त्रिज्या = 8 सेमी और दूसरे बेलन की ऊंचाई = 60 सेमी ∴ दूसरे बेलन का आयतन = πr²h = π(8)² (60) सेमी³ = 64 x 60π सेमी³ = 64 x 60 x 3.14 सेमी³ = 12057.6 सेमी³ … (ii) ठोस का कुल आयतन = 1 का आयतन पहला बेलन + दूसरे बेलन का आयतन = 99475.2 सेमी³ + 12057.6 सेमी³ = 111532.8 सेमी³ दिया गया है: 1 सेमी³ लोहे का द्रव्यमान = 8 ग्राम ∴ 111532.8 सेमी³ लोहे का द्रव्यमान = 111532.8 x 8 ग्राम = 892262.4 ग्राम = 892.262 किग्रा

प्रश्न 5.
120 सेमी ऊँचाई और 60 सेमी त्रिज्या वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु से बना एक ठोस, 60 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर खड़ा है, इसे पानी से भरे एक लम्ब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा रखा गया है कि यह तली को छूता है। यदि बेलन की त्रिज्या 60 सेमी और ऊँचाई 180 सेमी है, तो बेलन में बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = 120 सेमी
और अर्धगोले तथा शंकु की त्रिज्या = 60 सेमी।
बेलन की त्रिज्या = 60 सेमी और ऊँचाई = 180 सेमी।

बेलन में बचे पानी का आयतन = बेलन का आयतन – (शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन)

तो बेलन में बचा पानी = 1.31 वर्ग मीटर (लगभग)।

Ex 13.3

जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 227 लें

प्रश्न 1.
4.2 सेमी त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाले बेलन के आकार में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है: धातु के गोले की त्रिज्या = 4.2 सेमी

∴ आयतन = 43π(4.2)³ …. (i)
∵ गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या और h ऊँचाई वाले बेलन के आकार में ढाला जाता है।
∴ बेलन का आयतन =πr²h = π(6)² xh … (ii)
प्रश्न के अनुसार,
बेलन का आयतन = गोले का आयतन
310.464 cm³ = 22×367 h
310.464 cm³ = 113.142 cm³h
h = 310.464113.142 cm³
h = 2.74 cm.
बेलन की ऊँचाई = 2.74 cm.

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्याओं वाले धात्विक गोले पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया जाता है। परिणामी गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले की त्रिज्या (r 1 ) = 6 सेमी।

अतः आयतन = 43π x (r 1 )³
= 43π (6)³ सेमी।
गोले की त्रिज्या (r 2 ) = 8 सेमी।

अतः आयतन = 43π x (r 2 )²
= 43π (6)² सेमी।
गोले की त्रिज्या (r 3 ) = 10 सेमी।

तो आयतन = 43π x (r 3 )²
= 43π (10)² सेमी.
अब, गोले पिघलाए जाते हैं और त्रिज्या R का एक एकल
गोला बनाते हैं. एकल गोले का आयतन = 43πR³

एकल गोले की त्रिज्या = 12 सेमी.

प्रश्न 3.
12 सेमी व्यास और 15 सेमी ऊँचाई वाला एक लंबवृत्तीय बेलन जैसा बर्तन आइसक्रीम से भरा है। आइसक्रीम को 12 सेमी ऊँचाई और 6 सेमी व्यास वाले शंकुओं में भरना है, जिनका ऊपरी भाग अर्धगोलाकार हो। ऐसे शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिन्हें आइसक्रीम से भरा जा सकता है।
हल: बेलन की त्रिज्या = 6 सेमी बेलन की ऊँचाई = 15 सेमी ∴ बेलन का आयतन = πr²h
= π x 6² x 15 सेमी. = 540π सेमी³ आइसक्रीम कोन की त्रिज्या = 3 सेमी आइसक्रीम कोन की ऊँचाई = 12 सेमी

प्रश्न 4.
एक किसान एक नहर से 20 सेमी आंतरिक व्यास का एक पाइप अपने खेत में एक बेलनाकार टैंक से जोड़ता है, जिसका व्यास 10 मीटर और गहराई 2 मीटर है। यदि पाइप से 3 किमी/घंटा की दर से पानी बहता है, तो टैंक कितने समय में भर जाएगा?
हल:
मान लीजिए टैंक x घंटे में भर जाता है। चूंकि पानी 3 किमी/घंटा की दर से बह रहा है। इसलिए, x घंटे में जल स्तंभ के पानी की लंबाई - 3x किमी = 3000x मीटर। स्पष्ट रूप से, जल स्तंभ त्रिज्या r = \(\frac { 20 }{ 2 }\) सेमी = 10 सेमी = \(\frac { 1 }{ 10 }\) मीटर और h = ऊंचाई (लंबाई) = 300x मीटर का एक बेलन बनाता है।202सेमी = 10 सेमी =110m और h = ऊँचाई (लंबाई) = 300x मीटर।
∴ x घंटे में टैंक में बहने वाले पानी का आयतन

क्योंकि टैंक x घंटे में भर जाता है
∴ x घंटे में टैंक में बहने वाले पानी का आयतन = टैंक का आयतन

Ex 13.4

प्रश्न 1.
एक पीने का गिलास 14 सेमी ऊँचे एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। इसके दो वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 सेमी और 2 सेमी हैं। गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 सेमी और 2 सेमी हैं
। ∴ त्रिज्याएँ 2 सेमी और 1 सेमी हैं।
शंकु के छिन्नक का आयतन

प्रश्न 2.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है और इसके वृत्ताकार सिरों के परिमाप (परिधि) 18 सेमी और 6 सेमी हैं। छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए r 1 और r 1 छिन्नक के वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ हैं, l तिर्यक ऊँचाई है और h ऊँचाई है।
हमारे पास है, l = 4 सेमी, 2πr 1 = 18 और 2πr 2 = 6
⇒ l = 4 सेमी, r 1 = — और r 2 = —
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = l
= π(9π+3π) x 4 सेमी²
= π(9+3π) x 4 सेमी²
= (12 x 4) सेमी²
= 48 सेमी².

प्रश्न 3.
तुर्कों द्वारा इस्तेमाल की जाने वाली टोपी, फेज़, एक शंकु के छिन्नक के आकार की होती है (चित्र देखें)। यदि इसकी खुली भुजा की त्रिज्या 10 सेमी, ऊपरी आधार की त्रिज्या 4 सेमी और इसकी तिर्यक ऊँचाई 15 सेमी है, तो इसे बनाने में प्रयुक्त सामग्री का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
खुली भुजा की त्रिज्या (r 1 ) = 10 सेमी
ऊपरी आधार की त्रिज्या (r 2 ) = 4 सेमी
तिर्यक ऊँचाई (l) = 15 सेमी
बनाने में प्रयुक्त सामग्री का क्षेत्रफल = शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बंद भुजा का क्षेत्रफल

टोपी के लिए प्रयुक्त सामग्री का क्षेत्रफल = 710\(\frac { 2 }{ 3 }\) सेमी²23सेमी².

प्रश्न 4.
एक बर्तन, जो ऊपर से खुला है और धातु की चादर से बना है, 16 सेमी ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है, जिसके निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 20 सेमी हैं। ₹20 प्रति लीटर की दर से, बर्तन को पूरी तरह से भरने वाले दूध की लागत ज्ञात कीजिए। बर्तन बनाने में प्रयुक्त धातु की चादर की लागत भी ज्ञात कीजिए, यदि इसकी लागत ₹8 प्रति 100 वर्ग सेमी है। (π = 3.14 लें)
हल:
निचले सिरे की त्रिज्या (r 1 ) = 8 सेमी
ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r 2 ) = 20 सेमी
छिन्नक की ऊंचाई (h) = 16 सेमी

₹ 20 प्रति लीटर की दर से दूध की कीमत = ₹(20 x 10.45) = ₹ 209
अब, छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r 1 ) + r 2 ) l + πr 2 ² [∵ शीर्ष खुला है]
= [3.14 (20 + 8) x 20 + 3.14 x 8²] सेमी²
= 3.14 x (560 + 64) सेमी²
= 3.14 x 624 सेमी²
= 1959.36 सेमी²
प्रयुक्त धातु की कीमत = ₹\(\left(\frac{1959.36 \times 8}{100}\right)\) = ₹ 156.75(1959.36 × 8100)= ₹ 156.75

Ex 13.5

प्रश्न 1.
3 मिमी व्यास वाला एक तांबे का तार, 12 सेमी लंबे और 10 सेमी व्यास वाले एक बेलन में इस प्रकार लपेटा गया है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को ढक ले। तांबे का घनत्व 8.88 ग्राम प्रति वर्ग सेमी मानते हुए, तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल:
तार का एक गोला बेलन के पृष्ठ की मोटाई 3 मीटर = \(\frac { 3 }{ 10 }\) सेमी तय करता है।310बेलन की सतह की मोटाई सेमी है।
बेलन की लंबाई = 12 सेमी
12 सेमी को कवर करने वाले चक्करों की संख्या

बेलन का व्यास = 10 सेमी
त्रिज्या = 5 सेमी
एक चक्कर पूरा करने में तार की लंबाई
= 2 x π x सेमी = 10π सेमी
पूरी सतह को कवर करने में तार की लंबाई = पूरी तरह से 40 चक्कर लगाने में तार की लंबाई
(10π x 40) सेमी = 400π सेमी
= (400 x 3.14) सेमी
= 1256 सेमी
= 125.6 मीटर
तांबे के तार की त्रिज्या = \(\frac { 3 }{ 20 }\) सेमी320सेमी
तार का आयतन = π x r²h
= π x \(\frac { 3 }{ 20 }\) x \(\frac { 3 }{ 20 }\) x 400π320एक्स320x 400π
= 9π² cm³.
अतः, तार का द्रव्यमान = 9π² x 8.88 प्रति cm³.
= 787.98 ग्राम
तार की लंबाई = 12.56 मीटर और तार का द्रव्यमान = 787.98 ग्राम.

प्रश्न 2.
एक टंकी, जिसका आंतरिक माप 150 सेमी x 120 सेमी x 110 सेमी है, में 129600 वर्ग सेमी पानी है। छिद्रयुक्त ईंटों को पानी में तब तक रखा जाता है जब तक कि टंकी किनारे तक न भर जाए। प्रत्येक ईंट अपने स्वयं के आयतन का 1/17वां भाग पानी सोख लेती है। पानी को बहाए बिना कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, प्रत्येक 22.5 सेमी x 7.5 सेमी x 6.5 सेमी है।
हल:
टंकी का क्षेत्रफल = 150 सेमी x 120 सेमी x 110 सेमी - 1980000 सेमी³।
टंकी का खाली आयतन = (1980000 - 129600) सेमी³।
माना पानी में गिराई गई ईंटों की संख्या n है
इसलिए ईंटों का आयतन = (22.5 × 7.5 x 6.5) n = 1096.875 सेमी³।
प्रत्येक ईंट द्वारा अवशोषित पानी की मात्रा = \(\frac { 1 }{ 17 }\) x (1096.S95) cm³.117x (1096.S95) सेमी³.
कुल ईंटों का आयतन = (1096.875) \(\frac { n }{ 17 }\) सेमी³.n17सेमी³.
तो, 1850400 सेमी³ = 1096.875
n = (1096.875) \(\frac { n }{ 17 }\)n17


∴ ईंटों की संख्या = 1792.

प्रश्न 3.
किसी दिए गए महीने के एक पखवाड़े में, एक नदी घाटी में 10 सेमी वर्षा हुई। यदि एक घाटी का क्षेत्रफल 97280 वर्ग किमी है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग 1072 किमी लंबी, 75 मीटर चौड़ी और 3 मीटर गहरी तीन नदियों के सामान्य जल के योग के बराबर थी।
हल:
एक नदी का आयतन = 1072 किमी x 75 मीटर x 3 मीटर
= 1072000 मीटर x 75 मीटर 3 मीटर
= 241200000 वर्ग मीटर
3 नदियों का आयतन
= 3 x 241200000
= 723600000 वर्ग मीटर।
अब घाटी में वर्षा का मान
= वर्षा की ऊँचाई x क्षेत्रफल
= 10 सेमी x 97280 किमी².
= \(\frac { 10 }{ 100 }\) मीटर x 97280 x (100)² वर्ग मीटर।10100mx 97280 x (100)² m².
= \(\frac { 10 }{ 100 }\) x 9728000000010100x 97280000000
= 9728000000 m³.
अब 9728000000 m³ > 73360000 m³.
अतः, अतिरिक्त जल, अर्थात् तीसरी नदी का जल, वर्षा के बराबर नहीं हो सकता।

प्रश्न 4.
अनुभाग 13.5 में दिए गए एक शंकु के छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए दिए गए प्रतीकों का प्रयोग करके सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल:
APO'B और APQR समान हैं

अब छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया गया है
= शंकु PQR (बड़ा) का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल - शंकु PAB (छोटा) का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
= πr 1 l 1 – πr 2 l 2 … (3)
∴ (2) और (3) से
छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π(r 1 + r 2 )l [(2) का प्रयोग करके]
∴ छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल।
= π(r 1 + r 2 ) l + πr² 1 + πr² 2
= π(r 1 + r 2 ) l + r² 1 + r² 2.

प्रश्न 5.
अनुच्छेद 13.5 में दिए गए एक शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र, व्याख्या किए गए प्रतीकों का प्रयोग करके, व्युत्पन्न कीजिए।
हल:
चूँकि ΔPO'B और ΔPQR समरूप हैं,


इसलिए छिन्नक का आयतन = शंकु PQR (बड़ा) का आयतन - शंकु PAQ (छोटा) का आयतन