NCERT Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग
Ex 9.1
प्रश्न 1.
एक सर्कस कलाकार 20 मीटर लंबी रस्सी पर चढ़ रहा है, जिसे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के शीर्ष से जमीन तक कसकर खींचा और बांधा गया है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, यदि रस्सी द्वारा जमीन के स्तर से बना कोण 30° है (आकृति देखें)।
हल:
इस आकृति में, AB खंभे की ऊँचाई है और AC रस्सी की लंबाई है। जमीन के साथ रस्सी का झुकाव 30° है।
अब, ∆ABC में
sin 30° =
या,
AB =
इसलिए, खंभे की ऊँचाई AB = 10 मीटर है।
प्रश्न 2.
तूफ़ान के कारण एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ हिस्सा इस तरह झुक जाता है कि पेड़ का शीर्ष ज़मीन को छूता है और उसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी जहाँ शीर्ष ज़मीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि AB एक बिंदु C पर टूटा हुआ पेड़ है जिससे टूटा हुआ हिस्सा CB, CO की स्थिति ले लेता है और ज़मीन पर O पर टकराता है। यह दिया गया है कि OA = 8 मीटर और ∠AOC = 30° है।
वास्तविक पेड़ की ऊँचाई = (x + y) मीटर
अतः पेड़ की ऊँचाई 8
प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों के खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलन-पट्टी लगाने की योजना बना रही है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए, वह एक ऐसी फिसलन-पट्टी लगाना चाहती है जिसका शीर्ष 1.5 मीटर ऊँचा हो और ज़मीन से 30° के कोण पर झुका हो, जबकि बड़े बच्चों के लिए, वह 3 मीटर ऊँची और ज़मीन से 60° के कोण पर झुकी हुई एक खड़ी फिसलन-पट्टी लगाना चाहती है। प्रत्येक स्थिति में फिसलन-पट्टी की लंबाई कितनी होनी चाहिए?
हल:
I – स्थिति (5 वर्ष से कम उम्र के बच्चे)
प्रश्न 4.
ज़मीन पर स्थित एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से 30 मीटर दूर है, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए A और B मीनार AB के शीर्ष और पाद हैं, मान लीजिए BC क्षैतिज ज़मीन है। यह दिया गया है कि BC = 30 मीटर, ∠ACB = 30° और ∠B = 90° है।
मान लीजिए x मीनार AB की ऊँचाई है, अर्थात AB = xm है।
cos 30° = \(\frac { BC }{ AC }\) अतः, मीनार की ऊँचाई 10\(\sqrt{3}\) मीटर है।
प्रश्न 5.
एक पतंग ज़मीन से 60 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। पतंग से जुड़ी डोरी अस्थायी रूप से ज़मीन पर एक बिंदु से बंधी है। ज़मीन के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानते हुए कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, AB पतंग की ऊँचाई है और AB डोरी की लंबाई है जो ज़मीन पर बिंदु C पर बंधी है। बिंदु C पर डोरी का ज़मीन के साथ झुकाव 60° है।
अब, ∆ABC में,
इसलिए, डोरी की लंबाई = 40\(\sqrt{3}\) मीटर है।
प्रश्न 6.
1.5 मीटर लंबा एक लड़का 30 मीटर ऊँची इमारत से कुछ दूरी पर खड़ा है। जैसे-जैसे वह इमारत की ओर चलता है, उसकी आँखों से इमारत के शिखर तक का उन्नयन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है। इमारत की ओर उसके द्वारा चली गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, AB इमारत की ऊँचाई है और CD लड़के की ऊँचाई है। लड़के की आँखों से इमारत के शिखर तक का उन्नयन कोण 30° है और इमारत की ओर मेरे चलने के बाद उन्नयन कोण 60° हो जाता है।
प्रश्न 7.
ज़मीन के एक बिंदु से, 20 मीटर ऊँची इमारत के शीर्ष पर स्थित एक संचार मीनार के तल और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, AB उस मीनार की ऊँचाई है जो 20 मीटर ऊँची मीनार BC पर रखी गई है। ज़मीन पर एक बिंदु D से मीनार के शीर्ष और तल के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं।
अतः मीनार की ऊँचाई 20(\(\sqrt{3}\) – 1) मीटर है।
प्रश्न 8.
एक 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति एक चबूतरे के शीर्ष पर स्थापित है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से चबूतरे के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, AB मूर्ति की ऊँचाई है और BC चबूतरे की ऊँचाई है। भूमि पर बिंदु D पर मूर्ति के शीर्ष और चबूतरे के शीर्ष का उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° है।
अतः चबूतरे की ऊँचाई BC = 2.19 मीटर (लगभग) है।
प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद से एक इमारत के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और इमारत के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची है, तो इमारत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, ABC मीनार की ऊँचाई है और CD इमारत की ऊँचाई है। एक मीनार के पाद से इमारत के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और एक इमारत के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है।
प्रश्न 10.
80 मीटर चौड़ी एक सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई के दो खंभे आमने-सामने लगे हैं। सड़क पर उनके बीच स्थित एक बिंदु से, खंभों के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, 80 मीटर चौड़ी एक सड़क के दोनों ओर AB और CD समान ऊँचाई के खंभे हैं। सड़क पर एक बिंदु P है जिसमें खंभों का उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है।
मान लीजिए बिंदु P और पहले खंभे के बीच की दूरी xm है
∴ बिंदु P और दूसरे खंभे के बीच की दूरी 80 – xm है।
इसलिए, प्रत्येक खंभे की ऊँचाई 20\(\sqrt{3}\) मीटर है और पहले खंभे से बिंदु की दूरी x = 20 मीटर और (80 – x) = (80 – 20) = 60 मीटर है।
प्रश्न 11.
एक टीवी टावर नहर के किनारे पर लंबवत खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे किनारे पर एक बिंदु से, टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। इस बिंदु से 20 मीटर दूर, इस बिंदु को टावर के पाद से मिलाने वाली रेखा पर एक अन्य बिंदु से, टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है (दी गई आकृति देखें)। टावर की ऊँचाई और CD की चौड़ाई ज्ञात कीजिए और खंभे AB से 20 मीटर दूर है।
हल:
इस आकृति में, AB केबल टावर की ऊँचाई है और CD इमारत की ऊँचाई है। इमारत के शीर्ष से केबल टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और इमारत के शीर्ष से केबल टावर के पाद का अवनमन कोण 45° है।
∆ABC में,
इसलिए, तीनों की ऊँचाई = AB = 10\(\sqrt{3}\) मीटर और नदी की चौड़ाई = BC = 10 मीटर
प्रश्न 12.
एक 7 मीटर ऊँचे भवन के शीर्ष से एक केबल टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, AB केबल टावर की ऊँचाई है और CD भवन की ऊँचाई है। भवन के शीर्ष से केबल टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और भवन के शीर्ष से केबल टावर के पाद का अवनमन कोण 45° है।
अतः टावर की ऊँचाई AB = AE + EB = 7\(\sqrt{3}\) + 7 = 7(\(\sqrt{3}\) + 1)
प्रश्न 13.
समुद्र तल से 75 मीटर ऊँचे एक लाइटहाउस के शिखर से देखने पर, दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि एक जहाज लाइटहाउस के एक ही ओर दूसरे जहाज के ठीक पीछे है, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
इस आकृति में, AB लाइटहाउस की ऊँचाई है और बिंदु C और D पर एक दूसरे के ठीक पीछे दो जहाज हैं। लाइटहाउस के शिखर से जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं।
अतः, दोनों जहाजों के बीच की दूरी
CD = BD – BC है।
प्रश्न 14.
1.2 मीटर लंबी एक लड़की ज़मीन से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा के साथ चलते हुए एक गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँखों से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद, उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (चित्र देखें)। अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रारंभिक ऊँचाई = 88.2 - लड़की की ऊँचाई
= 88.2 - 1.2 = 87 मीटर
इसलिए, अंतराल CQ \(\frac{296 \sqrt{3}}{5}\) मीटर के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी।
प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शीर्ष पर खड़ा एक व्यक्ति 30° के अवनमन कोण पर एक कार को देखता है, जो एक समान गति से मीनार के पाद की ओर आ रही है। छह सेकंड बाद, कार का अवनमन कोण 60° पाया जाता है। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना AB एक मीनार है और A पर एक व्यक्ति खड़ा है।
एक व्यक्ति D पर 30° के अवनमन कोण पर एक कार को देखता है,
अर्थात, ∠EAD = 30°
⇒ ∠EAD = 30° [दोनों एकांतर कोण हैं; AE || BD और AD एक दूसरे को A और D पर काटते हैं]
कार एक समान गति से B की ओर आ रही है। 6 सेकंड तक यात्रा करने के बाद कार को C पर मान लीजिए।
A से, C पर कार का अवनमन कोण 60° है।
यानी, ∠EAC= 60°
⇒ ∠EAC = ∠ACB
[दोनों एकांतर कोण हैं; AE || BD और AC उन्हें A और C पर काटता है]
समकोण त्रिभुज ABC में, हमारे पास है,
समीकरण (i) और (ii) से, हमें प्राप्त होता है
मान लीजिए V कार का वेग है
अब 6 सेकंड में तय की गई दूरी = CD
प्रश्न 16.
एक मीनार के आधार से 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर और एक ही सीधी रेखा में स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण पूरक हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
हल:
कोण पूरक हैं।
∠DAC = 9
और ∠DBC = 90° – 0
∆DBC में,
अतः मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है। अतः सिद्ध।
