NCERT Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय
Ex 8.1
प्रश्न 1.
∆ABC में B समकोण है, AB = 24 सेमी, BC = 7 सेमी। निर्धारित करें:
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
हल:
हमने दिया है कि,
∆ABC एक समकोण ∆ है, B समकोण है और AB = 24 सेमी, BC = 7 सेमी
∴ पाइथागोरस प्रमेय से
प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, tan P – cot R ज्ञात कीजिए।
हल:
हमने दिया है कि ∆PQR एक समकोण A है, Q पर समकोण है और PQ = 12 सेमी, PR = 13 सेमी है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय से, हम जानते हैं कि
प्रश्न 3.
यदि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\) है, तो cos A और tan A की गणना कीजिए।
हल: दिया गया है
प्रश्न 4.
15 cot A = 8 दिया गया है, sin A और sec A ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 5.
यदि ∠A और ∠B न्यून कोण इस प्रकार हों कि cos A = cos B, तो दर्शाइए कि ∠A = ∠B है।
हल:
प्रश्न 6.
ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 सेमी और PQ = 5 सेमी है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Ex 8.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मूल्यांकन करें:
हल:
प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनें और अपनी पसंद का औचित्य सिद्ध करें:
(i)
(A) sin 600 (B) cos 60°
(C) tan 60° (D) sin 300
(ii)
(ए) tan 90° (बी) 1
(सी) पाप 450 (डी) ओ
(iii) sin 2A = 2 sin A सत्य है जब A =
(A) 00 (B) 30°
(C) 45° (D) 60°
(iv)
(A) cos 60° (B) cos 60°
(C) tan 60° (D) sin 300
हल:
(i) हमने दिया है,
(ii) हमने दिया है,
(iii) हमने दिया है,
इसलिए,
sin 2 A = 2 sin A केवल तभी सत्य है जब A = 0°
∴ सही विकल्प (A) है
(iv) हमने दिया है,
प्रश्न 3.
यदि tan (A + B) = √3 और tan (A – B) =
हल:
हमने दिया है
tan (A + B) = √3
⇒ tan (A + B) = tan 60°
⇒ A + B = 60° … (i)
tan (A – B) =
⇒ tan (A – B) = tan 30°
⇒ A – B = 30° … (ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम पाते हैं
2A = 90° ⇒ A = 45°
समीकरण (i) में A का मान रखने पर, हम पाते हैं
45° + B = 60° ⇒ B = 60° – 45° = 15°
इसलिए A = 45° और B = 15°
प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ बढ़ने पर sin θ का मान बढ़ता है।
(iii) θ बढ़ने पर cos θ का मान बढ़ता है।
(iv) θ के सभी मानों के लिए sin θ = cos θ है।
(v) A = 0° के लिए cot A परिभाषित नहीं है।
हल:
(i) असत्य, क्योंकि यदि A = 60° और B = 30° तो
sin (A + B) = sin (60° – 30°)
= sin 90° = 1
sin A + sin B = sin 60° + sin 30°
=
∴ sin (A + B) ≠ sin A + sin B, जब A = 60° और B = 30°
(ii) सत्य, क्योंकि θ से 90° तक बढ़ने पर sin θ का मान बढ़ता है, लेकिन जब θ 90° से 180° तक बढ़ता है तो sin 0 का मान घटता है।
(iii) असत्य, क्योंकि cos θ का मान θ के 0 से 90° तक बढ़ने पर घटता है।
(iv) असत्य, क्योंकि sin θ = cos θ केवल तभी सत्य है जब θ = 45° हो। यह θ के सभी मानों के लिए सत्य नहीं है।
(iv) सत्य, क्योंकि cot 0° =
Ex 8.3
प्रश्न 1.
(i)
(ii)
(iii) cos 48° – syn 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
हल:
प्रश्न 2.
दर्शाइए कि:
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल:
(i) बायाँ पक्ष = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° tan (90° – 48°) tan (90° – 23°)
= tan 48° tan 23° cot 48° cot 23° = tan 48° tan 23° .
= 1 = दायाँ पक्ष [सत्यापित]
(ii) एलएचएस = कोस 38° कोस 52° - पाप 38° पाप 52°
= कोस 38° क्योंकि (90° - 38°) - पाप 38° पाप (90° - 38°)
= कोस 38° पाप 38° - पाप 38° क्योंकि 38° = 0 = आरएचएस [सत्यापित]
प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 2A = cot (A – 18°)
⇒ cot (90° – 2A) = cot (A – 18°) [∵cot (90° – θ) = tan θ]
⇒ 90° – 2A = A – 18° ⇒ 3A = 108° ⇒ A =
∴ ∠ A = 36°
प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B है, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90° है।
समाधान:
tan A = cot B ⇒ tan A = tan (90° - B) [∵ tan (90° - θ) = cot θ]
⇒ A = 90° - B ⇒ A + B = 90° सिद्ध
प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A – 20°) है, जहाँ 4A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sec 4A = cosec (A – 20°)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°) [cosec (90° – θ) = sec θ]
⇒ 90° – 4A = A – 20° ⇒ 5A = 110°
A =
A = 22°
∴ ∠ A = 22°
प्रश्न 6.
यदि त्रिभुज ABC के आंतरिक कोण A, B और C हैं, तो दर्शाइए कि: sin (
हल:
हमने दिया है कि,
A, B और C त्रिभुज ABC के आंतरिक कोण हैं
प्रश्न 7.
sin 61° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
sin 67° + cos 75°
या sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
या cos 23° + sin 15° (∵ sin (90° – θ) = cos θ
और cos (90° – θ) = sin θ)
अब, sin 67° + cos 75° 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
(cos 90° – 67°) + (sin 90° – 75°)
= cos 23° + sin 15°
Ex 8.4
प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपात sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि
प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल:
हम जानते हैं कि
प्रश्न 3.
मूल्यांकन करें:
(i)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल:
(i) हम जानते हैं कि
(ii) हम जानते हैं कि
पाप 25° cos 65° + cos 25° पाप 65°
= पाप 25° cos (90° – 25°) + cos 25° पाप (90° – 25°)
= पाप 25° पाप 25° + cos 25° cos 25°
= पाप² 25° + cos² 25° = 1 (sin² θ + cos² θ)
प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनें। अपनी पसंद का औचित्य सिद्ध करें।
(i) 9 sec² A – 9 tan² A =
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ ) =
(ए) 0
(बी) 1
(सी) 2
(डी) -1
(iii) (सेकंड ए + टैन ए) (1 - पाप ए) =
(ए) सेकंड ए
(बी) पाप ए
(सी) कोसेक ए
(डी) कॉस ए
(iv)
(A) sec² A
(B) -1
(C) cot² A
(D) tan² A
हल:
(i) हम जानते हैं कि
9 sec² A – 9 tan² A = 9(sec² A – tan² A)
= 9 x 1 = 9
सही विकल्प (B) है
(ii) हम जानते हैं कि
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ )
अतः, सही विकल्प (C) है
(iii) हमने दिया है,
अतः सही विकल्प (D) है
(iv) हमने दिया है,
अतः सही विकल्प (D) है
प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाओं को सिद्ध कीजिए, जहाँ सम्मिलित कोण न्यून कोण हैं जिनके लिए व्यंजक परिभाषित हैं।
हल
(vi) बायाँ पक्ष
अंश और हर दोनों को
(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A।
हल:
LHS
(sin A + cosec A)² (cos A + sec A)²
= (sin² A + cosec² A + 2sin A + cosec A) + (cos²A + sec² A + 2cos. A sec A)
= syn² A + cosec² A + ²) + (cos² A + sec² A + 2) [∵sin A cosec A = 1 और cos A सेकंड A = 1]
= (sin² A + cos² A) + 4 + sec² A + cosec² A
= 5 (1 + tan² A) + 1 + cot² A) [∵ sec² A = (1 + tan² A) और cosec² A = (1 + cot² A)]
= 7 tan² A + cot² A = RHS
(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) =
[संकेत: LHS और RHS को अलग-अलग सरल कीजिए]
हल:
LHS
