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 NCERT Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 7.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बिंदुओं के युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
हल:
(i) मान लीजिए P (2, 3) और Q (4, 1) दो बिंदु हैं। इसलिए, दूरी सूत्र से हम जानते हैं कि

इसलिए बिंदुओं (2, 3) और (4, 11) के बीच की दूरी 2\(\sqrt{2}\) इकाई है।2–√इकाई।

(ii) मान लीजिए P (- 5, 7) और Q (- 1, 3) दो बिंदु हैं।
अतः दूरी सूत्र से हम जानते हैं कि,

अतः, बिंदुओं (- 5, 7) और (- 1, 3) के बीच की दूरी 4\(\sqrt{2}\) इकाई है।2–√इकाई।

(iii) मान लीजिए P (a, b) और Q (-a, – b) बिंदु हैं।
अतः, दूरी सूत्र से हम जानते हैं कि,

बिंदुओं (a. b) और (- a, – b) के बीच की दूरी 2\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) इकाई है।ए2+बी2−−−−−−√इकाई।

प्रश्न 2.
बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदुओं (0,0) और (36,15) के बीच की दूरी, बिंदु P (x 1 , y 1 ) से (0, 0) की दूरी है।

दो शहरों के बीच की दूरी 39 किमी है।

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेख हैं।
हल:
मान लीजिए बिंदु A (1, 5), B (2, 3) और C (-2, -11) हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
मान लीजिए बिंदु A(5, -2), B (6, 4) और C (7, -2)

हैं। अतः, बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेख नहीं हैं।

प्रश्न 5.
एक कक्षा में, 4 सहेलियाँ बिंदु A, B, C और D पर बैठी हैं जैसा कि दी गई आकृति में दिखाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा में आती हैं और कुछ मिनट देखने के बाद चंपा, चमेली से पूछती है, "क्या तुम्हें नहीं लगता कि ABCD एक वर्ग है?" चमेली इससे सहमत नहीं होती। दूरी के सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए कि उनमें से कौन सा सही है।
हल:
बिंदु A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) और D (6, 1)।

दूरी के सूत्र से हम जानते हैं कि चंपा सही है। चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है
क्योंकि AB = BC = CD = DA = 3\(\sqrt{2}\)2–√

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा गठित चतुर्भुज के प्रकार का नाम, यदि कोई हो, बताएं और अपने उत्तर के लिए कारण दें।
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल:
(i) माना बिंदु A (-1, -2), B (1, 0), C (-1, 2) और D (-3, 0) चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
इसलिए, दूरी के सूत्र से, हम जानते हैं कि

AB = BC = CD = AD और विकर्ण AC = BD
इसलिए, बिंदु (-1, -2), (1, 0), (-1,2) और (-3, 0) द्वारा गठित चतुर्भुज एक वर्ग है।

(ii) मान लीजिए A (-3, 5), B (3, 1), C = (0, 3) और D = (-1, -4) चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
अतः दूरी सूत्र से हम जानते हैं कि

दिए गए बिंदुओं से कोई चतुर्भुज नहीं बनता है।

(iii) मान लीजिए A (4, 5), B (7, 6), C (4,3) और D (1,2) चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं।
अतः, दूरी सूत्र से, हम जानते हैं कि


बिंदु (4,5), (7,6), (4,3) और (1,2) एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर है।
हल:
मान लीजिए P (x, 0) x-अक्ष पर एक बिंदु है जो बिंदुओं A (2, -5) और B (-2, 9) से समान दूरी पर है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम

पाते हैं कि x-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु P (x, 0) = P (-7, 0) है।

प्रश्न 8.
y के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए बिंदुओं P (2, -3) और Q (10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है।
हल:
दूरी सूत्र से हम जानते हैं कि

इसलिए, y के मान - 9 और 3 हैं।

प्रश्न 9.
यदि Q (0, 1), P (5, -3) और R (x, 6) से समान दूरी पर है, तो x का मान ज्ञात कीजिए। साथ ही, QR और PR की दूरियाँ भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दूरी सूत्र से हम जानते हैं कि।

प्रश्न के अनुसार,

अब दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदु Q (0,1), P (5, -3) और R (4, 6) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 10.
x और y के बीच ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए जिससे बिंदु (x, y), बिंदुओं (3, 6) और (3, 4) से समान दूरी पर हो।
हल:
मान लीजिए बिंदु P (x, y), Q (3, 6) और R (- 3, 4) हैं। दूरी सूत्र का उपयोग करके।

Ex 7.2

प्रश्न 1.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो (-1, 7) और (4, -3) के जोड़ को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल:

प्रश्न 2.
(4, -1) और (-2, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिभुजाकार बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए P (x 1 , y 1 ) और Q (x 2 , y 2 ) बिंदु A (4, -1) और B (- 2, -3) हैं।


अतः P, AB को 1.2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। अतः, अनुभाग सूत्र द्वारा P के निर्देशांक हैं

अब, Q भी AB को 2 : 1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, इसलिए Q के निर्देशांक हैं

इसलिए, A और B को मिलाने वाले रेखाखंड के त्रिभुजाकार बिंदुओं के निर्देशांक (2, 53) और (0, 73) हैं

प्रश्न 3.
खेल दिवस की गतिविधियों को संचालित करने के लिए, आपके आयताकार स्कूल के मैदान ABCD में, 1 मीटर की दूरी पर चाक पाउडर से रेखाएँ खींची गई हैं। AD के साथ एक दूसरे से 1 मीटर की दूरी पर 100 फूलों के गमले रखे गए हैं, जैसा कि नीचे दी गई आकृति में दिखाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति पर AD की दूरी 14 दौड़ती है और एक हरा झंडा लगाती है। प्रीत आठवीं पंक्ति पर AD की दूरी 15 दौड़ती है और एक लाल झंडा लगाती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को दो झंडों को जोड़ने वाले रेखाखंड के ठीक बीच में एक नीला झंडा लगाना है , तो उसे अपना झंडा कहाँ लगाना चाहिए?
समाधान:
यदि निहारिका की स्थिति M और प्रीत की स्थिति N है तो बिंदु M के निर्देशांक (2, 25) हैं और बिंदु N के निर्देशांक (8, 20) हैं

मान लीजिए यह बिंदु 0 है। तब O, रेखा MN को 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः बिंदु O के निर्देशांक (x 1 , x 2 )

हैं। O के निर्देशांक (5, 22.5) हैं
। ∴ नीले झंडे की स्थिति 22.5 मीटर की दूरी पर 5वीं पंक्ति में है।

प्रश्न 4.
बिंदुओं (-3, 10) और (6, -8) को मिलाने वाले रेखाखंड को (-1, 6) से विभाजित करने का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि अभीष्ट अनुपात k : 1 है।

प्रश्न 5.
A (1, -5) और B (-4, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को x-अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित किया जाता है, ज्ञात कीजिए। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
यदि (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
एक बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, -3) है और B (1, 4) है।
हल:

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हैं, तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिससे AP = 37 AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।
हल:

प्रश्न 9.
उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो A (-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
हल:

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसके शीर्ष क्रमशः (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।
[संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 12 (इसके विकर्णों का गुणनफल)]
हल:

Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
हल:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में 'k' का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु संरेख हैं।
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल:

प्रश्न 3.
उस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (0, -1), (2, 1) और (0, 3) हैं। इस क्षेत्रफल का दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष क्रमशः (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल:

प्रश्न 5.
आपने कक्षा 9 में पढ़ा है कि एक त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इस परिणाम को ∆ABC के लिए सत्यापित कीजिए जिसके शीर्ष A (4, -6), B (3, -2) और C (5, 2) हैं।
हल:

Ex 7.4

प्रश्न 1.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें रेखा 2x + y – 4 = 0, बिंदुओं A(2, -2) और B(3, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है।
हल:
दी गई रेखा 2x + y – 4 = 0 है... (i)
बिंदु A (2, – 2) दिया गया है।
समीकरण (i) में x = 2 और y = 2 रखने पर
4 – 2 – 4 = 0 = 0
बिंदु B (3, 7) दिया गया है।
समीकरण (i) में x = 3, y = 7 रखने पर
6 + 7 – 4 = 9 = 9
अनुपात = 29 = 2 : 9

प्रश्न 2.
यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेख हैं, तो x और y के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि

x और y के बीच अभीष्ट संबंध क्या है।

प्रश्न 3.
बिंदुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि वृत्त का समीकरण
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है
जहाँ (- g, - f) वृत्त का केंद्र हैं।
(6, - 6) वृत्त से होकर गुजरता है
36 + 36 + 12g + 2f(- 6) + r = 0
72 + 12g – 12f + c = 0 … (1)
(3, - 7) वृत्त से होकर गुजरता है
(3)² + (- 7)² + 2g (3) + 2f (- 7) + c = 0
9 + 49 + 6g – 14f+ c = 0
58 + 6g – 14f + c = 0 …. (2)
(3, 3) वृत्त से होकर गुजरता है
(3)² + (3)² + 2g (3) + 2f(3) + c = 0
18 + 6g + 6f + c = 0 … (3)
(2) और (3) से,

प्रश्न 4.
एक वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक वर्ग है।
AB = BC
(AB)² = (BC)²

अतः निर्देशांक (1, 0) और (1, 4) हैं।

प्रश्न 5.
कृष्णानगर के दसवीं कक्षा के छात्रों को बागवानी गतिविधि के लिए भूमि का एक आयताकार भूखंड आवंटित किया गया है। गुलमोहर के पौधे एक दूसरे से 1 मीटर की दूरी पर सीमा पर लगाए गए हैं। भूखंड में त्रिकोणीय घास का लॉन है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। छात्रों को भूखंड के शेष क्षेत्र पर फूलों के पौधों के बीज बोने हैं।

(i) A को मूल के रूप में लेते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि C मूल है, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही, इन स्थितियों में त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की गणना करें। आप क्या देखते हैं?
हल:
(i) निर्देशांक
P (4, 6), Q (3, 2), R (6, 5) हैं, AD और AB को निर्देशांक अक्ष के रूप में लेते हुए।
∆PQR का क्षेत्रफल

(ii) CB और CD को निर्देशांक अक्ष मानकर निर्देशांक (12, 2) (13, 6) (10, 3) हैं। ∆PQR का
क्षेत्रफल

दोनों क्षेत्रों में समान है।

प्रश्न 6.
मान लीजिए A(4, 2), B(6,5) और C(1, 4) ∆ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से BC पर माध्यिका D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिससे AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर क्रमशः बिंदु Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिससे BQ : QE = 2 : 1 और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट: वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में उभयनिष्ठ हो, केन्द्रक कहलाता है और यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है]
(v) यदि A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) और C(x 3 , y 3 ) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो त्रिभुजों के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) D, A से माध्यिका है।

(ii) मान लीजिए बिंदु P का निर्देशांक (x 1 , y 1 ) है

(iii) E का निर्देशांक

(iv) बिंदुओं के निर्देशांक हैं
P(113, 113), Q(113, 113), R(113, 113)
P, Q और R एक ही बिंदु हैं

(v) दिया गया है A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) और C(x 3 , y 3 ) ∆ ABC के शीर्षों के निर्देशांक हैं

प्रश्न 7.
ABCD बिंदुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से बना एक आयत है। P, Q, R और S क्रमशः AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? एक आयत है? या एक समचतुर्भुज है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
हल:
P, AB का मध्य बिंदु है।

चतुर्भुज PQRS में प्रत्येक भुजा 61√2 है और विकर्ण भिन्न है। अतः यह एक समचतुर्भुज है।