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 NCERT Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज

Ex 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठक में दिए गए सही शब्द का प्रयोग कर रिक्त स्थान भरें।
(i) सभी वृत्त …………….. हैं (सर्वांगसम/समान)
(ii) सभी वर्ग ……………. हैं (समान/समानुपाती)
(iii) सभी …………….. त्रिभुज समान हैं। (समद्विबाहु/समबाहु)
(iv) समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समान होते हैं, यदि (a) उनके संगत कोण ……………. हैं और (b) उनकी संगत भुजाएँ ……………. हैं (बराबर/आनुपातिक)
हल:
(i) सभी वृत्त समान होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समान होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समान होते हैं।
(iv) समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समान होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण बराबर हों और
(b) उनकी संगत भुजाएँ आनुपातिक हों।

प्रश्न 2. 
(i) समान आकृतियों के युग्मों के दो अलग-अलग उदाहरण दीजिए । 
(ii) असमान आकृतियों के युग्मों के दो अलग-अलग उदाहरण दीजिए। 
हल: 
(i) समान आकृतियाँ: दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हैं, इसलिए वे समरूप हैं। दोनों वर्गों की भुजाएँ समान हैं, इसलिए वे समरूप हैं।

(ii) असमान आकृतियाँ

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं।

हल:
ये समरूप नहीं हैं क्योंकि दोनों आकृतियों की भुजाएँ अलग-अलग हैं।

Ex 6.2

प्रश्न 1.
दी गई आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 2.
E और F एक ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु हैं। निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:
(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी
(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी
(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी

हल:
हमें दिखाना है कि EF || QR है।
यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी और FR = 2.4 सेमी

अनुपात समान नहीं हैं, इसलिए EF, QR के समानांतर नहीं है।

(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी और RF = 9 सेमी

इसलिए, अनुपात समान हैं, इसलिए EF || QR.

(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी और PF = 0.36 सेमी

अनुपात समान हैं, इसलिए EF || QR.

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।
हल:
त्रिभुज PQD में, ED || OQ है।
अतः थेल्स प्रमेय का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं कि,

समीकरण (iii) दर्शाता है कि EF, PQ और PR को क्रमशः E और F पर समान अनुपात में प्रतिच्छेद करता है। अतः, मूल समानुपातिकता प्रमेय (या थेल्स प्रमेय) के विलोम के अनुसार, EF || QR है। फलन सिद्ध।

प्रश्न 4.
BPT का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
हल:
दिया गया है: A ∆ABC जिसमें D, AB का मध्य बिंदु है और DE || BC
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य बिंदु है।

प्रमाण : हमें सिद्ध करना है कि E, AC का मध्य बिंदु है। मान लीजिए, E, AC का मध्य बिंदु नहीं है। मान लीजिए E', AC का मध्य बिंदु है। DE' को मिलाइए।
अब, ∆ABC में, D, AB का मध्य बिंदु है और E', AC का मध्य बिंदु है। अतः, प्रमेय (6.1) से।
DE || BC … (1)
साथ ही DE || BC … (2)
(1) और (2) से, हम पाते हैं कि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ DE और DE' दोनों रेखा BC के समांतर हैं। यह समांतर रेखा अभिगृहीत का विरोधाभास है।
अतः, हमारी धारणा गलत है। अतः E, AC का मध्य बिंदु है।

प्रश्न 5.
BPT के विलोम का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
हल:
दिया है: एक ΔABC जिसमें D और E क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध कीजिए: DE || BC
रचना: DE को F तक इस प्रकार बढ़ाइए कि DE = EF हो। FC को मिलाइए।

प्रमाण: ΔAED और CEF में, हमारे पास
AE = CE
[∵ E, AC का मध्य-बिंदु है]
∠AED = ∠CEF
[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]
या DE = EF
तो SAS सर्वांगसमता से
ΔAED ≅ ΔCEF
⇒ AD = CF … (1)
[सर्वांगसम त्रिभुज के संगत]
और ∠ADE = ∠CEF … (2)
अब, D, AB का मध्य-बिंदु है,
AD = DB
DB = CF … (3) [(1) से]
अब, DF, AD और FC को D और F पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है जिससे
∠ADE = ∠CFE [(2) से]
अर्थात, एकांतर आंतरिक कोण बराबर हैं
∴ AD || FC
DB || CF … (4)
(3) और (4) से, DBCF एक चतुर्भुज है जिसमें भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर है।
∴ DBCF एक समांतर चतुर्भुज है
⇒ DF || BC और DC = BC [समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजा]
लेकिन, D, E, F संरेख हैं और DE = EF
∴ DE || BC

Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि दी गई आकृतियों में त्रिभुजों के कौन-से युग्म समरूप हैं। प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपके द्वारा प्रयुक्त समानता मानदंड लिखिए और समरूप त्रिभुजों के युग्मों को प्रतीकात्मक रूप में भी लिखिए:


हल:

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 3.
AB || DC वाले समलम्ब चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों के लिए समानता मानदंड का उपयोग करते हुए, दर्शाइए कि OAOC = OBOD
हल:

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में, QRQS = QTPR तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR है।

हल:

प्रश्न 5.
S और T, ∆PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु हैं जिससे ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS है।
हल:

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC है।

हल:

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, ∆ABC के शीर्षलंब AD और CE एक दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC
हल:

प्रश्न 8.
E एक समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित एक बिंदु है और BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB।
हल:
दिया गया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा AD को E तक बढ़ाया गया है। BE को मिलाया गया है जो CD को F पर प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करना: ∆ABE ~ ∆CFB
प्रमाण: ∆ABE और ∆CFB में
∠A = ∠C [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
∠AEB = ∠EBC [एकांतर कोण]
इस प्रकार, AA-समानता मानदंड से
∆ABE ~ ∆CFB
अतः सिद्ध।

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण क्रमशः B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:

(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) CAPA = BCMP
हल:

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के समद्विभाजक हैं जिससे D और H क्रमशः ∆ABC और ∆EFG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ∆ABC ~ ∆FEG है, तो दर्शाइए कि
हल:

प्रश्न 11.
दी गई आकृति में, E, AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।

हल:

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD क्रमशः ∆PQR की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (चित्र देखें)। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆bPQR।

हल:

प्रश्न 13.
D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर स्थित एक बिंदु है जिससे ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।
हल:

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD क्रमशः एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल:

प्रश्न 15.
6 मीटर लंबाई का एक ऊर्ध्वाधर खंभा जमीन पर 4 मीटर लंबी छाया बनाता है और उसी समय एक मीनार 28 मीटर लंबी छाया बनाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:

DE एक ऊर्ध्वाधर खंभा है जिसकी लंबाई = 6 मीटर है
इसकी छाया की लंबाई = 4 मीटर
माना मीनार AB की ऊँचाई = hm
इसकी छाया की लंबाई = 28 मीटर
∆ABC और ∆DEC में,
∠ABC = ∠DEC [प्रत्येक 90°]
∠C = ∠C [उभयनिष्ठ]
∆ABC ~ ∆DEC [AA]
ABDE = 6x = 428
⇒ x = 42 सेमी.

प्रश्न 16.
यदि AD और PM क्रमशः त्रिभुज ABC और PQR की माध्यिकाएँ हैं, जहाँ ∆ABC ~ ∆PQR सिद्ध कीजिए कि ABPQ = ADPM
हल:

Ex 6.4

प्रश्न 1.
मान लीजिए ∆ABC ~ ∆DEF है और उनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी² और 121 सेमी² हैं। यदि EF = 15.4 सेमी है, तो BC ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि, ∆ABC ~ ∆DEF है, इसलिए
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

प्रश्न 2.
AB || DC वाले एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD के विकर्ण एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2 CD है, तो त्रिभुज AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC और AB = 2 CD है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करता है, तो दर्शाइए कि 

हल:

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे सर्वांगसम हैं।
हल:
दिया गया है: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
सिद्ध कीजिए: त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संबंधित भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
उपपत्ति: मान लीजिए ∆ABC और ∆PQR दो त्रिभुज हैं।

अतः, SSS सर्वांगसमता प्रमेय से
∆ ABC ≅ ∆PQR (सिद्ध)

प्रश्न 5.
D, E और F क्रमशः ∆ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु हैं। ∆DEF और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
ABC एक त्रिभुज है और D, E, F क्रमशः भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु हैं।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
हल:
दिया गया है ∆ ABC ~ ∆ DEF, तथा AP और DQ उनकी माध्यिकाएँ हैं।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की एक भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके एक विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर होता है।
हल:
एक वर्ग ABCD दिया गया है। समबाहु ABCE और AACF क्रमशः भुजा BC और विकर्ण AC पर बने हैं।

प्रश्न 8.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज हैं जिससे D, BC का मध्य-बिंदु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात _________ है।
(a) 2 : 1
(b) 1 : 2
(c) 4 : 1
(d) 1 : 4
हल:
(c) 4 : 1

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 4:9 है। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात __________ है।
(a) 2 : 3
(b) 4 : 9
(c) 81 : 16
(d) 16 : 81
हल:
(d) 16 : 81

Ex 6.5

प्रश्न 1.
नीचे त्रिभुजों की भुजाएँ दी गई हैं। निर्धारित करें कि उनमें से कौन सा समकोण त्रिभुज है। समकोण त्रिभुज की स्थिति में, इसके कर्ण की लंबाई लिखें।
(i) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी
(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी
(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी
(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी
हल:
(i) 7 सेमी, 24 सेमी, -25 सेमी
(7) 2 + (24) 2 = 49 + 576 = 625 = (25) 2 = 25
∴ दी गई भुजाएँ 25 सेमी कर्ण वाला एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं

(ii) 3 सेमी, 8 सेमी, 6 सेमी (8) 2 = 64
(3) 2 + (6) 2 = 9 + 36 = 45
64 ≠ 45
बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर नहीं है।
∴ दिया गया त्रिभुज समकोण नहीं है।

(iii) 50 सेमी, 80 सेमी, 100 सेमी
(100) 2 = 10000
(80) 2 + (50) 2 = 6400 + 2500
= 8900
बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर नहीं है।
∴दिया गया त्रिभुज समकोण नहीं है।

(iv) 13 सेमी, 12 सेमी, 5 सेमी
(13) 2 = 169
(12) 2 + (5) 2 = 144 + 25 = 169
= (13) 2 = 13
भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं जिसका कर्ण 13 सेमी है।

प्रश्न 2.
PQR एक त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है और M, QR पर एक बिंदु इस प्रकार है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM² = QM है। MR है।
हल:
PQR एक समकोण त्रिभुज है और PM ⊥ QR है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, ABD एक त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है और AC ⊥.BD है। दर्शाइए कि
(i) AB 2 = BC.BD
(ii) AC 2 = BC.DC
(iii) AD 2 = BD.CD
हल:

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB 2 = 2AC 2 है ।
हल:

दिया गया है: ∆ABC में, ∠C = 90° और AC = BC
सिद्ध करना है: AB 2 = 2AC 2
प्रमाण: ∆ABC में,
AB 2 = BC 2 + AC 2
AB 2 = AC 2 + AC 2 [पाइथागोरस प्रमेय]
= 2AC 2

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB 2 = 2AC 2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
हल:
दिया गया है कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है और दिया गया है कि AB² = 2AC²
अब हमारे पास है AB² = 2AC²
AB² = AC² + AC²
लेकिन AC= BC (दिया गया है)
AB² = AC² + BC²
अतः पाइथागोरस प्रमेय से ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जहाँ AB, ∆ABC का कर्ण है।

प्रश्न 6.
ABC भुजा la वाला एक समबाहु त्रिभुज है। इसके प्रत्येक शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है: ∆ABC में, AB = BC = AC = 2a

हमें AD की लंबाई ज्ञात करनी है
। ∆ABC में,
AB = BC = AC = 2a
और AD ⊥ BC
BD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2 a = a समकोण त्रिभुज ADB में, AD 2 + BD 2 = AB 2 ⇒ AD 2 = AB 2 – BD 2 = (2a) 2 – (a) 2 = 4a 2 – a 2 = 3a 2 AD = √3a12x 2 a = a

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
दिया गया है: ABCD एक समचतुर्भुज है। विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिंदु O पर काटते हैं।
सिद्ध कीजिए: AB · + BC · + CD · + DA · = AC · + BD ·

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में, O एक त्रिभुज ABC के अभ्यंतर में स्थित एक बिंदु है, OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB। दर्शाइए कि
(i) OA 2 + OB 2 + OC 2 – OD 2 – OE 2 – OF 2 = AF 2 + BD 2 + CE 2
(ii) AF 2 + BD 2 + CE 2 = AE 2 + CD 2 + BF 2।
हल:
(i) दिया है: ∆ABC, O इसके अन्दर स्थित कोई बिंदु है,
OD, OE और OF क्रमशः BC, CA और AB पर लंब हैं। सिद्ध
कीजिए:

प्रश्न 9.
10 मीटर लंबी एक सीढ़ी ज़मीन से 8 मीटर ऊपर एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के पाद की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
पाइथागोरस प्रमेय से।

अतः दीवार के आधार से सीढ़ी के पाद की दूरी 6 मीटर है।

प्रश्न 10.
18 मीटर ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे से जुड़ा एक तार 24 मीटर लंबा है और इसके दूसरे सिरे पर एक खूँटा लगा हुआ है। खंभे के आधार से खूँटा कितनी दूर तक लगाया जाना चाहिए ताकि तार तना रहे?
हल:
मान लीजिए AB, 18 मीटर ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे से जुड़ा है और AC, 24 मीटर लंबा तार है। BC ऊर्ध्वाधर खंभे से उस स्थान तक की दूरी है जहाँ तार लगाया जाएगा।
पाइथागोरस प्रमेय से

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से रवाना होकर 1000 किमी प्रति घंटे की गति से उत्तर की ओर उड़ता है। उसी समय, एक और हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से रवाना होकर 1200 किमी प्रति घंटे की गति से पश्चिम की ओर उड़ता है। 1\(\frac { 1 }{ 2 }\) घंटे बाद दोनों हवाई जहाज एक-दूसरे से कितनी दूरी पर होंगे? हल:12घंटे?

प्रश्न 12.
समतल ज़मीन पर 6 मीटर और 11 मीटर ऊँचाई वाले दो खंभे खड़े हैं। यदि खंभों के आधारों के बीच की दूरी 12 मीटर है, तो उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: हमारे
पास दो खंभे हैं। BC = 12 मीटर AB = 11 – 6 AB = 5 मीटर समकोण त्रिभुज ABC में पाइथागोरस प्रमेय से AC² = AB² + BC² AC² = (12)² + (5)² AC² = 144 + 25 AC² = 169 AC = 13 मीटर अतः शीर्षों के बीच की दूरी 13 मीटर है।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E हैं, जिनका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AE 2 + BD 2 = AB 2 + DE 2 है।
हल:
दिया गया है: ∆ABC, CD पर समकोण है और E, भुजा CA और CB पर स्थित बिंदु हैं।
सिद्ध कीजिए: AE² + BD² = AB² + DE²
उपपत्ति: ∆ACE, C पर समकोण है।
AE² = AC² + CE²… (i)
(पाइथागोरस प्रमेय)

Ex 6.6

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में, PS, ∆PQR के ∠QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि QSSR=PQPR


हल:

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में, D, ∆ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है, DM ⊥ BC तथा DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि:
(i) DM 2 = DN . MC
(ii) DN ​​2 = DM . AN
हल:
दिया गया है कि ∆ABC, B पर समकोण है, DM ⊥ BC तथा DN ⊥ AB है।
रचना: BD को मिलाइए।
सिद्ध कीजिए: (i) DM² = DN. MC
(ii) DN² = DM. AN.
प्रमाण:
(i) ∆BDC पर विचार करें
∠BDC = 90°
⇒ BDM + MDC = 90° … (i)
AMCD में भी
∠MCD + ∠MDC = 90° … (ii)
(∵ DMB = 90° बाह्य प्रमेय द्वारा)
(i) और (ii) से ∠MCD = ∠BDM … (iii)
∆s BMD और CMD में
∠CMD = ∠BMD (प्रत्येक 90°)
∠MCD = ∠MDB ((iii) से
∴ BMD ~ DMC

प्रमाण (ii): अब समरूप त्रिभुज BND और AND पर विचार करें
हम
DNDM = ANDN
DN² = DM.MN (BN = DM का प्रयोग करते हुए)

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, ABC त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° है और AD ⊥ CB बढ़ाया गया है। सिद्ध कीजिए कि AC 2 = AB 2 + BC 2   + 2BC . BD

हल:
समकोण त्रिभुज ADC में, ∠D = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से।
AC² = AD² + DC²
या AC² = AD² + (BD + BC)² (DC – BD + BC)
या AC² = AD² + BD² + BC² + 2BD.BC
(a + b)² = a² + b² + 2ab)]
अब ∆ADB में, ∠D समकोण बनाया गया है।
AB² = AD² + BD²
AD² = AB² – BD² … (ii)
(i) और (ii) से
AC² = AB² – BD² + BD² + BC² + ²BC. BD
⇒ AC² = AB² + BC² + 2BC. BD

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में, ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC 90° और AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC = AB + BC – 2BC है। BD

हल:

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में, Ad एक त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है और AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि।

हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और AC तथा BD इसके विकर्ण हैं। समांतर चतुर्भुज ∆ODC ~ ∆OAB ∆OAD ~ ∆OCB
के गुणधर्म से

प्रश्न 7.
दी गई आकृति में, दो जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP . PB = CP . DP

दिया है: मान लीजिए AB और CD दो जीवाएँ हैं जो P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है: (i) ∆AFC ~ ∆DPB
(ii) AP. PB = CP. DP
प्रमाण:
(i) ∆PAC और ∆PDB में। हमारे पास है
∠PAC = ∠PDB (∠s एक ही खंड में)
∠APC = ∠BPD (ऊर्ध्वाधर रूप से ∠s के विपरीत)
∴ ∆APC ~ ∆DPB (सिद्ध)

(ii) ∆APC ~∆DPB
\(\frac { AP }{ DP }\) = \(\frac { CP }{ PB }\)APDP = CPPB
⇒ AP. PB = CP. DP (सिद्ध)

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में, एक वृत्त की दो जीवाएँ Ab और CD एक दूसरे को वृत्त के बाहर बिंदु P (बढ़ाने पर) पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA . PB = PC . PD

हल:

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, D, ∆ABC की भुजा BC पर एक बिंदु इस प्रकार है कि BDCD=ABAC सिद्ध कीजिए कि AD, ∆BAC का समद्विभाजक है।

हल:
दिया गया है: एक ∆ABC, जिसमें D, BC पर एक बिंदु इस प्रकार है कि
BDCD=ABAC
सिद्ध कीजिए: AD, ∠BAC का समद्विभाजक है।
रचना: BA को E तक इस प्रकार बढ़ाया कि AE = AC। EC को मिलाया।
उपपत्ति: ∆ACE में,

प्रश्न 10.
नाज़िमा एक धारा में मछली पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ी का ट्रिप पानी की सतह से 1.8 मीटर ऊपर है और डोरी के अंत में फ्लाई पानी पर 3.6 मीटर दूर और रॉड के ट्रिप के ठीक नीचे एक बिंदु से 2.4 मीटर की दूरी पर है। यह मानते हुए कि उसकी डोर (छड़ी के ट्रिप से फ्लाई तक) इतनी है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली है (आकृति देखें)? यदि वह 5 सेमी प्रति सेकंड की दर से डोरी अंदर डालती है, तो 12 सेकंड के बाद फ्लाई की उससे क्षैतिज दूरी क्या होगी?

हल:
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है
AB² = AC² + BC²
AB² = (1.8)² + (2.4)²
AB² = 9
AB = 3 मीटर।
अतः दूरी 3 मीटर है
अब खींचने के बाद ऊर्ध्वाधर दूरी 1.8 - 0.6 = 1.2 मीटर है
अब
∠ABC = ∠PRQ = 90°
∠B = ∠Q (पानी से कोण)
∆ABC ~ ∆PQR