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 NCERT Class 7 Maths Chapter 5 रेखाएँ और कोण

NCERT Solutions for Class 7 Maths Chapter 5 रेखाएँ और कोण

Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक कोण का पूरक कोण ज्ञात कीजिए:

हल:
चूँकि, किसी कोण और उसके पूरक कोण के मापों का योग 90° होता है, इसलिए,

1. 20° माप के कोण का पूरक कोण (90° – 20°), fe, 70° है।
2. 63° के कोण का पूरक कोण (90° – 63°) अर्थात 27° होता है।
3. 57° के कोण का पूरक कोण (90° – 57°) अर्थात 33° होता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रत्येक कोण का संपूरक कोण ज्ञात कीजिए:

हल:

1. कोण 105° का पूरक = 180° – 105° = 75°
2. कोण 87° का पूरक = 180° – 87° = 93°
3. कोण 154° का पूरक = 180° – 154° = 26°

प्रश्न 3.
पहचानें कि निम्नलिखित कोणों के कौन से युग्म पूरक हैं और कौन से संपूरक हैं।

1. 65°, 115°
2. 63°, 27°
3. 112°, 68°
4. 130°, 50°
5. 45°,45°
6. 80°, 10°.

समाधान:

1. चूँकि, 65° + 115° = 180°
   इसलिए, कोणों का यह युग्म संपूरक है।
2. चूँकि, 63° + 27° = 90°
   इसलिए, कोणों का यह युग्म पूरक है।
3. चूँकि, 112° + 68° = 180°
   इसलिए, कोणों का यह युग्म संपूरक है।
4. चूँकि, 130°+50° = 180°
   इसलिए, कोणों का यह युग्म संपूरक है।
5. चूँकि, 45° + 45° = 90°
   इसलिए, कोणों का यह युग्म पूरक है।
6. चूँकि, 80° + 10° = 90°
   इसलिए, कोणों का यह युग्म पूरक है।

प्रश्न 4.
वह कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के बराबर हो।
हल:
मान लीजिए कोण का माप x° है। तो, इसके पूरक का माप x° दिया गया है।
चूँकि, एक कोण और उसके पूरक के मापों का योग 90° होता है, इसलिए,
x° + x° = 90°
⇒ 2x° = 90°
⇒ x° = 45°
इस प्रकार, अभीष्ट कोण 45° है।

प्रश्न 5.
वह कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के बराबर हो।
हल:
मान लीजिए कोण का माप x° है। तो,
इसके पूरक का माप = x°
चूँकि, एक कोण और उसके पूरक के मापों का योग 180° होता है, इसलिए,
x° + x° = 180°
⇒ 2x° = 180°
⇒ x° = 90°
अतः, अभीष्ट कोण 90° है।

प्रश्न 6.
दी गई आकृति में, ∠1 और ∠2 संपूरक कोण हैं।

यदि ∠1 घटा दिया जाए, तो ∠2 में क्या परिवर्तन होने चाहिए ताकि दोनों कोण अभी भी संपूरक बने रहें?
हल:
∠2 उतना ही बढ़ेगा जितना ∠1 घटेगा।

प्रश्न 7.
क्या दो कोण संपूरक हो सकते हैं यदि वे दोनों हैं:

1. तीव्र?
2. कुंठित?
3. सही?

समाधान:

1. नहीं! दो न्यून कोण एक दूसरे के पूरक नहीं हो सकते।
2. नहीं! दो अधिक कोण संपूरक नहीं हो सकते।
3. हाँ! दो समकोण सदैव संपूरक होते हैं।

प्रश्न 8.
एक कोण 45° से बड़ा है। क्या इसका पूरक कोण 45° से बड़ा है या 45° के बराबर है या 45° से छोटा है?
हल:
चूँकि किसी कोण के माप और उसके पूरक का योग 90° होता है।
∴ 45° + x° माप वाले कोण का पूरक कोण,
जहाँ x > 0, [90° – (45° + x°)] = 90° – 45° – x° = 45° – x° है।
स्पष्टतः, 45° + x° > 45° – x°
अतः, 45° से अधिक कोण का पूरक कोण 45° से छोटा होता है।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में:

1. क्या ∠1, ∠2 के निकट है?
2. क्या ∠ AOC, ∠ AOE के निकट है?
3. क्या ∠ COE और ∠ EOD एक रैखिक युग्म बनाते हैं?
4. क्या ∠BOD और ∠DOA पूरक हैं?
5. क्या ∠ 1, ∠ 4 के ऊर्ध्वाधर विपरीत है?
6. ∠ 5 का ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण क्या है?

समाधान:

1. हाँ! ∠ 1, ∠ 2 के निकट है।
2. नहीं! ∠AOC, ∠AOE के निकट नहीं है।
3. हाँ! ∠ COE और ∠ EOD एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
4. हाँ! ∠BOD और ∠DOA पूरक हैं।
5. हाँ! ∠ 1, ∠ 4 के ऊर्ध्वाधरतः विपरीत है।
6. ∠ 5 का ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण ∠ 2 + ∠ 3 है, अर्थात ∠ COB।

प्रश्न 10.
बताइए कि कोण के कौन से युग्म हैं:

1. ऊर्ध्वाधरतः विपरीत कोण.
2. रैखिक जोड़े.

समाधान:

1. ऊर्ध्वाधरतः सम्मुख कोणों का युग्म ∠1, ∠4; ∠5, ∠2 + ∠3 है।
2. रैखिक कोणों का युग्म ∠1, ∠5; ∠4, ∠5 है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित आकृति में, क्या ∠ 1, ∠ 2 का आसन्न है? कारण बताइए।

हल:
∠1, ∠2 का आसन्न नहीं है क्योंकि उनका कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में कोण x, y और z के मान ज्ञात कीजिए:

हल:

प्रश्न 13.
रिक्त स्थान भरें:

1. यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनके मापों का योग है
2. यदि दो कोण संपूरक हैं, तो उनके मापों का योग है
3. एक रैखिक युग्म बनाने वाले दो कोण हैं
4. यदि दो आसन्न कोण संपूरक हैं, तो वे एक कोण बनाते हैं
5. यदि दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण सदैव होते हैं
6. यदि दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और यदि ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों का एक युग्म न्यून कोण है, तो ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों का दूसरा युग्म न्यून कोण है

समाधान:

1. 90°
2. 180°
3. पूरक
4. रैखिक युग्म
5. बराबर
6. अधिक कोण

प्रश्न 14.
संलग्न आकृति में, कोणों के निम्नलिखित युग्मों के नाम लिखिए।

1. अधिक ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण
2. आसन्न पूरक कोण
3. समान संपूरक कोण
4. असमान संपूरक कोण
5. आसन्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते हैं।

समाधान:

1. अधिक ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण ∠AOD और ∠BOC हैं।
2. आसन्न पूरक कोण ∠BOA और ∠AOE हैं।
3. समान संपूरक कोण ∠BOE और ∠EOD हैं।
4. असमान संपूरक कोण ∠BOA और ∠AOD, ∠BOC और ∠COD, ∠EOA और ∠EOC हैं।
5. आसन्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते हैं वे हैं ∠AOB और ∠AOE, ∠AOE और ∠EOD; ∠EOD और ∠COD।

Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक कथन में प्रयुक्त गुणधर्म बताइए?

1. यदि a || b, तो ∠ 1 = ∠ 5.
2. यदि ∠ 4 = ∠ 6, तो a || b.
3. यदि ∠ 4 + ∠ 5 = 180°, तो a || b.

समाधान:

1. संगत कोण गुण.
2. वैकल्पिक आंतरिक कोण गुण.
3. तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण संपूरक होते हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आकृति में पहचानें:

1. संगत कोणों के जोड़े.
2. वैकल्पिक आंतरिक कोणों के जोड़े।
3. तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित आंतरिक कोणों के युग्म।
4. ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण.

समाधान:

1. ∠1, ∠5; ∠2, ∠6; ∠3, ∠7 और ∠4, ∠8 संगत कोणों के चार युग्म हैं।
2. ∠2, ∠8, और ∠3, ∠5 एकांतर आंतरिक कोणों के दो युग्म हैं।
3. ∠2, ∠5, और ∠3, ∠8 तिर्यक रेखा के एक ही ओर स्थित अंतः कोणों के दो युग्म हैं।
4. ∠1, ∠3; ∠2, ∠4; ∠5, ∠7 और ∠6, ∠8 ऊर्ध्वाधरतः विपरीत कोणों के चार युग्म हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में, p || q. अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
a = 55°, b = 125°, c = 55°, d = 125°, e = 55°, f = 55°.

प्रश्न 4.
निम्नलिखित आकृतियों में से प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए यदि l || m है।

हल:
(i) चूँकि, l || m और t एक तिर्यक रेखा है। ∴ ∠x = (180° – 110°) = 70° [संगत कोण, रैखिक युग्म]

(ii) यदि l || m है और a एक तिर्यक रेखा है।
तो, ∠x = 1000 [संगत कोण]

प्रश्न 5.
दी गई आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समान्तर हैं। यदि ∠ ABC = 70° है, तो

हल ज्ञात कीजिए:

1. 70°
2. 70°

प्रश्न 6.
नीचे दी गई आकृतियों में, तय कीजिए कि क्या l, m के समान्तर है।


हल:

1. l, m के समानांतर नहीं है
2. l, m के समानांतर नहीं है
3. एल || एम
4. l, m के समानांतर नहीं है