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 BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | दो चरों वाले रैखिक समीकरण

BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण

प्रश्न 1.
एक नोटबुक की कीमत एक कलप की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों बाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।
उत्तर:
माना, एक नोटबुक की कीमत = Rs x
तथा एक कलम की कीमत = Rs y
प्रश्नानुसार, एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है, अत: दो चरों वाला रैखिक समीकरण, x – 2y अर्थात्, x – 2y = 0 है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में और का मान बनाइए-
(i) 2x + 3y = 9.35¯¯¯¯¯
(ii) x – y5 – 10 = 0
(i) -2x + 3y = 6
(iv) x = 3y
(v) 2x = -5
(vi) 3x + 2 = 0
(vii) y – 2 = 0
(viii) 5 = 2x
उत्तर:
(i) 2x + 3y = 9.35¯¯¯¯¯
⇒ 2 + 3y = 9.35¯¯¯¯¯ = 0
इसको समी. ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2 b = 3 तथा c = -9.35¯¯¯¯¯

(ii) x – y5 – 10
इसकी समी. ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1 b = 1/5 तथा c = -10.

(iii) -2x + 3y = 6
⇒ -2x + 3y – 6 = 0
इसकी समी. ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = -2, b = 3 तथा c = -6.

(iv) x = 3y
⇒ x – 3y = 0
इसकी समी. ax + by + c = 0 से शुलना करने पर,
a = 1, b = -3 तथा c = 0.

(v) 2x = -5y
⇒ 2x + 5y = 0
इसकी समी ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = 5 तथा c = 0.

(vi) 3x + 2 = 0
इसकी समी. ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 3, b = 0 तथा c = 2.

(vii) y – 2 = 0
इसकी समी. ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 0, b = 1 तथा c = -2.

(viii) 5 = 2x
2x -5 = 0
इसकी समी. ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = 0 तथा c = -5.

प्रश्न 1.
निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है और क्यों?
y = 3x + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है
(ii) केवल दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
उत्तर:
दिया गया समीकरण] = 3x +5, दो घरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
अतः के विभिन्न मानों के लिए के विभिन्न मान प्राप्त करते।
जैसे- यदि x = 0 तो y = 3 × 0 + 5 = 5 होगा।
यदि x = 1 तो y = 3 × 1 + 5 = 8 होगा।
अत: दिये गये रैखिक समीकरण के अपिरिमित रूप से अनेक हल है। विकल्प (i) सही है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए।
(i) 2x + y = 7
(ii) πx + y = 9
(iii) x = 4y
उत्तर:
(i) 2x + y = 7
अतः y = 7 – 2x
यदि x = 0 है तो, y = 7 – 2 × 0 = 7
यदि x = 1 है तो. y = 7 – 2 × 1 = 5
यदि x = 2 है तो. y = 7 – 2 × 2 = 3
यदि x = 3 है तो, y = 7 – 2 × 3 = 1
∴दिए गए समीकरण के चार हल है. (0, 7), (1, 5), (2, 3) और (3, 1)

(ii) πx + y = 9
अतः y = 9 – πx
यदि x = 0 है तो, y = 9 – π × 0 = 9
यदि x = 1 है तो. y = 9 – π × 1 = 9 – π
यदि x = 2 है तो. y = 9 – π × 2 = 9 – 2π
यदि x = 3 है तो, y = 9 – π × 3 = 9 – 3π
∴दिए गए समीकरण के चार हल है. (0, 9), (1, 9 – π), (2, 9 – 2π) और (3, 9 – 3π)

(iii) x = 4y
अतः y = x/4
यदि x = 0 है तो, y = 0/4 = 0
यदि x = 1 है तो. y = 1/4
यदि x = 2 है तो. y = 2/4 = 1/2
यदि x = 3 है तो, y = 3/4
∴ दिए गए समीकरण के चार हल है. (0, 0), (1, 1/4), (2, 1/2) और (3, 3/4)

प्रश्न 3.
अताइए कि निम्नलिखित हालों में कौन-कौन समीकरण x – 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं है-
(i) (0, 2)
(ii) (2, 0)
(iii) (4, 0)
(iv) √2.4√2
(v) (1, 1)
उत्तर:
(i) (0, 2)
x = 0 तथा y = 2 समीकरण x – 2y = 4 के बाएँ पक्ष में रखाने पर,
बायाँ पक्ष = x – 2y
= 0 – 2 × 2 = -4 ≠ दायाँ पक्ष
अत: (0, 2) समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(ii) (2, 0)
x = 2 तथा y = 0 समीकरण x – 2y = 4 के बाएँ पक्ष में रखने पर.
बायाँ पक्ष x = x – 2y
= 2 – 2 × 0
= 2 ≠ दायाँ पक्ष
अत: (2, 0) समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(iii) (4, 0)
x = 4 तथा y = 0 समीकरण x – 2y = 4 के बाएँ पक्ष में रखने पर.
बायाँ पक्ष = x – 2y
= 4 – 2 × 0 = 4 = दायाँ पक्ष
अतः (4, 0) समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(iv) √2.4√2
x = √2 तथा y = 4√2 समीकरण x – 2y = 4 के बाएँ पक्ष में रखने पर.
बायाँ पक्ष = x – 2y
= √2 – 2 × 4√2
= √2 – 8√2 = -7√2 ≠ दायाँ पक्ष
अतः (√2.4√2) समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

(v) (1, 1)
x = 1 तथा y = 1 समीकरण x – 2y = 4 के बाएँ पक्ष में रखने पर.
बायाँ पक्ष = x – 2y
= 1 – 2 × 1 = -1 ≠ दायाँ पक्ष
अतः (1, 1) समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है।

प्रश्न 4.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।
उत्तर:
यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है तो ये समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे।
2 × 2 + 3 × 1 = k
k = 4 + 3
k = 7

प्रश्न 1.
दो चारों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए
(i) x + y = 4
(ii) x – y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
उत्तर:
(i) x + y = 4
⇒ y = 4 – x
यदि: x = 0 है, तो y = 4 – 0 = 4
यदि x = 4 है. तो y = 4 – 4 = 0

अत: हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-

उपयुका मानों से आलेख बोचने पर निम्न आकृति 4.2 जैसी रेखा प्राप्त होती है।

(ii) x – y = 2 ⇒ y = x – 2
यदि x = 0 है, तो y = 0 – 2 = -2
यदि x = 2 है, ते y = 2 – 2 = 0
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-

उपयुक्त मानों से आलेख खौचने पर निम्म आवृति 4-3 जैसी रेखा प्राप्त होती है।

(iii) y = 3
यदि x = 0 है तो y = 30 × 0 = 0
यदि x = 1 है तो 1 = 3 × 1 = 3
अत: हमारे पास अनलिखित सारणी है-

जपर्युक्त मानों से आलेख सींचने पर निम्न आकृति 44 जैसी रेखा प्राप्त होती है।

(iv) 3 = 2x + y ⇒ y = 3 – 2x
यदि x = 0 है, तो y = 3 – 2 × 0 = 3
यदि x = 2 है, ते y = 3 – 2 × 1 = 1
अत: हमारे पास निम्नलिरिकता सारणी है-

उपयुक्त मानों से आलेख खोचने पर निम्न आकृति 4-5 जैसी रेशा प्राण होती है।

प्रश्न 2.
बिंदु (2,14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं, और क्यों?
उत्तर:
यहाँ हमें पता है कि बिन्दु (2, 14), समीकरण 7x – y = o, x + y – 16 = 0, x – y + 12 = 0 आदिको सन्तुष्ट करेगा।
अत: बिन्दु (2, 14) से अनन्त रेखाएँ गुजर सकती हैं।

प्रश्न 3.
बदि बिन्दासमीकरण 3y = ax + 7 के आलेखा पर स्थित है, तो का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो वह इसे सन्तुष्ट करेगा।
अत: 3 × 4 = a × 3 + 7
12 = 3a + 7
12 – 7 = 3a
5 = 3a
a = 5/3

प्रश्न 4.
एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया Rs 8 है और आके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया Rs 5 है यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया Rs y हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख बीबिए।
उत्तर:
कुल तय की गई दूरी = x किमी
पहले किलोमीटर का किराया = Rs 8
बाकी बची हुई दूरी का किराया = Rs(x – 1)5
अत: कुल किराम = Rs [8 + 5(x – 1)]
∴ y = 8 + 5x – 5
⇒ y = 5x + 3
⇒ 5x – y + 3 = 0
यदि x = 0 है, तो y = 5 × 0 + 3 = 3
यादि x = 1 है, तो y = 5 × 1 + 3 = 8
अत: हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-

उपर्युक्त मानों से आलेख खाँचने पर हमें आकृति 4.6 जैसी रेखा प्राप्त होती है-

प्रश्न 5.
निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों में से सही समीकरण का चयन कीजिए

उत्तर:
(i) रेखा पर बिन्दु (-1, 1), (0, 0) तथा (1, -1) दिए गए ई अत: यह दिए गए विकल्पों में से समीकरण x + y = 0 को सन्तुष्ट करते है।
आत: आकृति (a) समीकरप x + y = 0 का आलेख है।
(ii) रेखा पर बिन्दु (-1, 3), (0, 2) तथा (2, 0) दिए गए है अत: यह दिए गए विकल्पों में से समीकरण y = -x + 2 को सन्तुष्ट करते है।
अतः आकृति (b) समाकरण y = -x + 2 का आलेख है।

प्रश्न 6.
एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की दूरी के अनुक्रमानुपाती है। इस कधन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बलमात्रक लेकर इसका आलेख बाँधिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी (i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञान कीजिए।
उत्तर:
माना कि तय की गई दूरी तथा किया गया काय क्रमशः x और y हैं।
y = 5x
आलेख खौचने के लिए,
यदि x = 0 है, तो y = 5 × 0 = 0
यदि x = 1 है, ते y = 5 × 1 = 5
यदि x = 2 है, ते y = 5 × 2 = 10
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-

उपर्युक्त मानों से आलेख खींचने पर आकृति 4.8 जैसा आलेख प्राप्त होता है।

आलेख में देखने पर,
(i) यदि तय की गयी दूरी = 2 इकाई
तो किया गया कार्य = 10
(ii) यदि तय की गयी दूरी = 0 इकाई
तो किया गया कार्य = 0.

प्रश्न 7.
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में Rs 100 अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप अका अंशदान Rs x और Rs y मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
उत्तर:
माना डात्राएँ यामिनी और फातिमा ने क्रमश: Rs x और Rs y का अंशदान प्रधानमंत्री राहत कोष को दिया। अत: उपरिलिखित आँकड़े के लिए रैखिक समीकरण
⇒ x + y = 100
अत: y = 100 – x
आलेख खाँचने के लिए,
यदि x = 0 है, जो y = 100 – 0 = 100
यदि x = 50 है, जो y = 100 – 50 = 50
यदि x = 100 है, जो y = 100 – 100 = 0
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है-

उपर्युक्त मानों से आलेख खोंचने पर आकृति 4.9 जैसा आलेल प्राप्त होता है।

प्रश्न 8,
अमेरिका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में नापमान सेरिलायस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है:
F = (95) C + 32
(i) मेल्मिषस को x – अक्ष और फारेनहाइट को y – अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खोंचने है।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0°C है तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F है, तो सेलिायम में तापमान क्या होगा?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) दिया गया समीकरण, F = (95) C + 32
यदि C = 0 है तो F = 95 × 0 + 32 = 32
यदि C = 10 है तो F = 95 × 10 + 32 = 50
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है

अत: सेल्सियस को x – अथ पर तथा फारेनहाइट को y – अक्ष पर लेकर उपर्युक्त मानों सहायता से आलेख खींचन पर आकृति 4.10 प्राप्त होती है।

(ii) यदि C = 30 है, तो F = 95 × 30 + 32
= 54 + 32 = 86°F.

(iii) यदि F = 95°F है, तो 95 = 95 × C + 32
= 63 = 95 × C ⇒ C = 35°C.

(iv) यदि तापमान 0°C है तो F = 95 × 0 + 32
= 32°F.
तथा यदि नापमान है तो 0 = 95 × C = 32
C = -17.8°C.

(v) आलेख देखने पर स्पष्ट है कि यह तापमान जो संख्यात्मक रूप से फारेनहाइट और सोस्किायस में बराबर है, वह -40°C अर्थात् -40°C = -40F है।

प्रश्न 1.
(i) एक चर वाले (ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
उतर:
(i) y = 3 को एक चर वाले समीकरण के रूप में लेते हुए संख्या रेखा पर इसका हल आकृति 4.11 में दर्शाया हैं।

(ii) हम जानते हैं कि चर x और y वाले रैखिक समीकरण के रूप में हम y = 3 को 0 x + y = 3 के रूप में लिख सकते है। अब x के सभी मान मान्य झेते हैं, क्योंकि सदा ही शून्य होता है। फिर भी y का संबंध y = 3 को अवश्य संतुष्ट करना चाहिए।
अतः दिए गये समीकरण के दो हल x = 0, y = 3 और x = 2, y = 3 हैं।
अतः हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है-

सारणी में दिए गए बिन्दुओं को मिलाने पर हमें एक रेखा प्राप्त होगी जो x-अक्ष के समान्तर होगी तथा x -अस से 3 इकाई ऊपर होगी (देखें आकृति 4.12)

प्रश्न 2.
(i) 1 एक चर वाले, (ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
उत्तर:
(i) 2x + 9 = 0 ⇒ x = -9/2
x = -9/2 को एक चर वाले समीकरण के रूप में लेते हुए संख्या रेखा पर इसका हल आकृति 4.13 में दर्शाया गया है-

(ii) हम जानते हैं कि चर और । बाले रैखिक समीकरण के रूप में हम x = -9/2 को x + 0. y = -9/2 के रुप में लिख सकते हैं। अब y के सभी मान मान्य होते हैं, क्योंकि 0.y सदा ही शून्य होता है। फिर भी x को संबंध x = -9/2 अर्थात् 2x + 9 = 0 को संतुष्ट करना चाहिए।

अतः दिए गए समीकरण के दो हल x = -9/2, y = 0 और x = -9/2 y= 2 है।
अत: हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होती है-

सारणी में दिए गए बिन्दुओं को मिलाने पर हमें एक रेखा प्राप्त होगी जो y – अक्ष के समानर होगी तथा y – अक्ष से वार्यों और 9/2 इकाई दूरी पर होगी (आकृति 4.14)।