BIHAR BOARD CLASS 9TH MATH | युक्लिड के ज्यामिति का परिचय
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कञ्चन असत्य हैं? अपने उतारों के लिए कारण दीजिए।
(i) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) आकृति 5.1 में, यदि AB = PQ और PQ= XY है, तो AB = XY होगा।
उत्तर:
(i) असत्य, हम एक बिन्दु से अनन्त रेखाएं लांच सकते है।
(ii) असत्य, दो भिन बिन्दुओं से केवल एक ही रेखा खींनी जा सकती है।
(iii) सत्य, बढ़ाई जा सकती है।
(iv) सत्य. दो बराबर चूतों की त्रिज्यार हमेश बराबर होती
(v) सत्य,
∴ AB = PQ = XY
अत: AB = XY
प्रश्न 2.
निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद है.जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इनें कैसे परिभाषित कर पाएंगे?
(i) समांतर रेखाएँ
(ii) लम्ब रेखाएँ
(i) रेखाखंड
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग।
उत्तर:
(i) यदि दो रेखाएँ आपस में कभी प्रतिच्छेद न करें तो वह समांतर रेखार होती हैं।
(ii) यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को केवल एक ही समकोण पर प्रतिक्छेद करती है तो वे लम्ब रेखाएँ होती हैं।
(iii) यदि हम एक रेखा पर दो बिन्दु लेते हैं तो दोनों बिन्दुओं के मध्य भाग को रेखाखंड कहते हैं।
(iv) वृत्त के केन्द्र से उसकी परिधि के बीच की दूरी त्रिज्या कहलाती है।
(v) वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण हो, वर्ग कहलाता है।
इनमें प्रयोग हुए पद हम पहले ही पड़ चुके है अतः इन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है। यदि किसी विद्यार्थी को कोई पद नहाँ जात है तो वह अपने सहपाठी से चर्चा करके जात करे।
प्रश्न 3.
नीचे दी ईदो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए
(i) दो भिन्न बिन्दु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा C बिन्दु ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता
(ii) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिन्दु विद्यमान है कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं।
क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द है? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं? क्या ये चूक्लिड की अविधारणाओं से प्राप्त होती हैं? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
यहाँ कुछ अपरिभाषित शब्द है जिन्हें विद्यार्थी स्वयं लिखें। ये अभिधारणाएँ विरोधी नहीं हैं। अतः अविरोधी है। ये यूबिलड की अभिधारणाओं से प्राप्त नहीं है। फिर भी ये मभिगृहीतों का अनुसरण करती हैं।
प्रश्न 4.
यदि दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिन्दु C ऐसा स्थित है कि AC = RC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC =
हल :
माना बिंदु C, AB के मध्य में स्थित है।
अत:
दोनों तरफ AC जड़ने पर
AC + AC = AC + BC
⇒ 2AC = AB
अतः AC =
प्रश्न 5.
प्रश्न 4 में C रेखाखंड AB का एक मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-विन्दु होता है।
हल :
माना AB का एक और मध्य विन्दु है
अतः AD = DB ………(1)
दिया है : C, AB का मध्य बिन्दु है।
AC = CB ……..(2)
समो. (1) को समो. (2) से घटाने पर,
AC – AD = CB – DB
DC = DC
2DC = 0
DC = 0
∴ C तथा सम्पाती हैं। अत: प्रत्येक रेखाखंड का केवल एक ही मध्य बिंदु होता है। इति सिद्धम्
प्रश्न 6.
आकृति 5.4 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
उत्तर:
दिया है, AC = BD
दोनों तरफ से BC घटाने पर,
⇒ AC – BC = BD- BC
अतः AD = CD इति सिद्धम्
प्रश्न 7.
यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से संबंधित नहीं है।)
उत्तर:
हमें ज्ञात है कि अभिगृहीत-5’पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है। ब्रह्माण्ड की किसी भी वस्तु के लिए सत्य है। अत: यह सर्वव्यापी सत्य है।
प्रश्न 1.
आप यूक्लिड की पाँच: अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि वह सरलता से समझी जा सके?
उत्तर:
किसी रेखा के समांतर किसी अन्य बिंदु (जो रेखा पर स्थित न हो) से केवल एक समांतर रेखा स्त्रीची जा सकती है।
प्रश्न 2.
क्या यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा से समांतर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
हाँ, अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है। प्रत्येक l रेखा और उस पर न स्थित प्रत्येक बिंदु p के लिए, एक अद्वितीय रेखा m ऐसी होती है जो p से होकर जाती है और l के समांतर होती है।