BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | बीजीय व्यंजक
BIHAR BOARD CLASS 8TH MATH | बीजीय व्यंजक
बीजीय व्यंजक
बीजीय व्यंजकों में समस्त पद जिसमें बीजांक सजातीय पद या समपद कहलाते हैं।
बीजीय व्यंजकों में समान पदों में जोड़ने घटाने की क्रिया होती है।
जैसे- 5x–7x = 5x–7x
= (5 – 7)x = –2x
प्रश्नावली-9.1
1. जोड़िए―
(a) xy, 3xy (b) x² +3x,2x +9 (C) x², y²
(d) 7x–8x (e) 8a,–2a,7a,2b (f) 8x,–2x,–6x
(g) 2.3x, 1.7x (h) 2/3x,1/3x,–x
उत्तर–(a) xy + 3xy =(3+ 1)xy
= 4xy
(b) x² + 3x + (2x + 9) = x² + 3x + 2x + 9
= x² + (3+2)x +9
=x²+5x+9
(c) x²+y² = x²+y²
(d) 7x+ (–8x) =7x–8x
=(7–8)x=–x
(e) 8a+-2a+7a+2b = 8a+7a+2b-2b
=(8+7)a=15a
(f) 8x + (–2x) +(–6x) = 8x – 2x – 6x
= (8–2–6)x
= (8–8)x
= 0x = 0
(g) 2.3x + 1.7x = (2.3+1.7)x
= (4.0)x = 4x
(h)2/3x + 1/3x +(–x) = (2/3+1/3–1)x
= (2+1–1/3)x
= (3–1/3)x = 2/3x
2. पहले व्यंजक में से दूसरे को घटाइए-
(a) 22x, 10x (b) 17xy, 19xy (c) a²+1,–2a
(d)8x,–8x (e) 7xy, 7xy (f) 7.3x, 1.3x
(g) –6x+y+4z–8,–2y+x–5z+8
(h) x/2–x/4,x/3
उत्तर-(a) 22x – 10x = (22 – 10)x
= 12x
(b) 17xy – 19xy = (17–19)xy
=–2xy
(c) a²+1–2a =a²–2a+1
(d) 8x–(–8x) = 8x+8x
= 16x
(e) 7xy–7xy = (7–7)xy
=0×xy = xy
(f) 7.3x–1.3x = (7.3–1.3)x
=(6.0)x=6x
(g) –6x + y +4z–8–(–2y+x–5z+8)
=–6x +y+4z–8+2y–x+52–8
=–6x–x+y+2y+4z+52–8–8
=–7x+3y+9z–16
(h) x/2–x/4–x/3 = x(1/2–1/4–1/3)
= x(6–3–4/12)
= x(6–7/12)
= x×(–1)/12 = –x/12
3. सरल कीजिए-
(a) 2x–3y–7x+2x–y+2
(b) 5y³ – 3y² + 2y –1+2y² + 6y – 5
(c) 6a–3b+c–6a+3b+7c
(d) 8x² + 5xy +3y² +3x² + 2xy–6y²
उत्तर–(a) 2x–3y–7x+2x–y+2 = 2x–7x+ 2x – 3y–y+2
=4x–7x–4y+2
=–3x–4y+2
(b) 5y² – 3y² + 2y – 1 + 2y² + 6y – 5
= 5y²–3y² +2y² +2y +6y–5–1 = 5y³– y² + 8y–6 Ans.
(c) 6a –3b + c–6a + 3b + 7c
=6a–6a–3b+3b+c+7c=8c
(d) 8x²+5xy + 3y² + 3x² + 2xy–6y2
= 8x²+ 3x² + 3y²–6y² + 5xy + 2xy = 11x²–3y² +7xy
4. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ x + 1, x + 2 एवं x + 3 हैं तो इसकी परिमिति
क्या होगी?
उत्तर– त्रिभुज की परिमिति = भुजाओं का योग
= a + b + c
a=x+1, b = x+2, c=x+3
त्रिभुज की परिमिति =x+1+x+2+x+3
= 3x + 6 = 3(x+2)
5. यदि किसी वर्ग की एक भुजा x–7 है तो उसकी परिमिति ज्ञात कीजिए।
उत्तर– वर्ग की परिमिति = 4 × भुजा
= 4×(x–7)
= 4x–28
6. रहीम की उम्र x+6 वर्ष और महेश की उम्र y वर्ष है, दोनों की उम्र का योग और
अंतर क्या होगा ?
उत्तर– रहीम की उम्र =1–6
महेश की उम्र = y
उम्र का योग =x–6+y
उम्र का अंतर =x–y–y
7. किसी आयत की दो आसन्न भुजाएँ क्रमशः x² + 2x +1 एवं x²–2x +1 हैं तो
आयत की परिमिति क्या होगी?
उत्तर– आयत की परिमिती =2 (ल०+ चौ०)
= 2(x² + 2x + 1 + x²– 2x + 1)
= 2(2x² + 2)
= 4x² + 4 = 4(x²+1)
8. किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमशः x² ,y² हैं। यदि परिमिति x²+y²+z² हो तो
त्रिभुज की तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
उत्तर– ∆ की परिमिती = भुजाओं का योग
=x² + y² + z²
प्रश्न से,
पहली भुजा =x²
दूसरी भुजा =y²
∆ की तीसरी भुजा =x² +y² + z²–(x²+y²)
=x² + y² + z²–x² – y² = 2²
बहुपद
यदि किसी व्यंजक में पदों की संख्या निश्चित हो व पदों की घात एक पूर्ण संख्या हो, बहुपद
कहलाता है।
प्रश्नावली-9.2
1. गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(a) 8x× (–2) (b) –3x×–3x²y (c) 6mm × 7np
(d) 4p³×3p³ (e) x²y × xyz (f)2.5x × 4x
(g) 2.5x × 2.5y (h) 1/2x × 1/2y (i) 1/2xy × 2xy
(j) 2x × 2x² × 2x³ (K) –3x²y × (–6) × 7xy
उत्तर–(a) 8x × (–2) =–16x
(b) –3x × (–3x²y) = –9x³y
(c) 6mn × 7np = 6 ×7 × m × n × n × p
= 42mn²p
(d) 4p³ × 3p³ = 4 × 3 × p⁹ × p³
= 12p⁶
(e) x²y × xy² = x² × x × y × y × z
= x³y²z
(f) 2.5x × 4x= 2.5 × 4 × x × x
= 10x²
(g) 2.5x × 2.5y = 2.5 × 2.5 × x × y
= 6.25xy
(h) 1/2x ×1/2y = 1/2 × 1/2 × x × y
= 1/4xy
(i) 1/2xy × 2xy = 1/2 × 2 × xy × xy
= x²y²
(j) 2x × 2x² × 2x² = 2 × 2 × 2 × x × x² × x²
= 8x⁵
(k) –3x²y × (–6) × 7xy = –3 ×(-6) × 7 × x² × x × y × y
= +126x²y²
2. किसी आयत की आसन्न भुजाएँ क्रमशः 6p²q² एवं 2pq हैं तो आयत का क्षेत्रफल
क्या होगा?
उत्तर– आयत का क्षेत्रफल = ल. × चौ.
= 6p²q² × 2pq
= 6 × 2 × p² × p × q² × q
= 12p³q³
3. यदि किसी वर्ग को भुजा √2x²y² है तो वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा ?
उत्तर–वर्ग की भुजा = √2x²y²
वर्ग का क्षे.= (भुजा)²
= (√2x²y²)²
= √2 × √2 × x² × x² × y² × y²
= 2x⁴y⁴
4. किसी त्रिभुज का आधार 7xyz एवं संगत शीर्षलंब 2x है तो त्रिभुज का क्षेत्रफल
क्या होगा?
उत्तर– ∆ का आधार = 7xy²
शीर्षलंब =2x
∆ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × शीर्ष
= 1/2 × 7xyz × 2x
=7x²yz
5. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसकी भुजा 3x² है।
उत्तर– समबाहु ∆ का क्षे. = √3/4 × भुजा²
= √3/4 × (3x)²
= √3/4 × 9x²
= 9√3/4x²
6. उस घन का आयतन क्या होगा जिसकी कोर 6a हो?
उत्तर– घन का कोर = 6a
घन का आयतन = (कोर)³
= (6a)³ = 216 a³
7. यदि एक कलम का मूल्य x²y हो तो y²x कलम का मूल्य क्या होगा ?
उत्तर– एक कलम का मू. = x²y
y²x का मू. =x²y × y²x
= x³y³
यदि कोई व्यक्ति x²/2 km/h की चाल से चल रहा हो तो 2 घंटे में वह कितनी
दूरी तय कर लेगा?
उत्तर– व्यक्ति की चाल = x²/2 km/h
समय = 2 घंटे
दूरी = चाल × समय
= x²/4 × 4 km
= x² km
एकपदी का द्विपदी से गुणा
एकपदी का द्विपदी से गुणा करने पर हम एकपदी से द्विपदी के प्रत्येक पद में गुणा करते
है तथा गुणनफल को उनके चिन्हों के अनुसार संयोजित करते हैं।
जैसे― 3a² × (a+b+c) = 3a² × a+3a² × b+3a² × c
= 3a³ + 3a²b+3a²c
प्रश्नावली-9.3
1. दिए गए बीजीय व्यंजकों का गुणा कीजिए-
(a) (4a–5b) × (2a–6b)
(b) (1.5x–0.5y) × (1.5x+0.5y)
(c) (1/2pq–3/2q) × (pq–q)
(d) (a+b) × (3x–y)
(e) (a²b²–c²d²) × (a²b²+c²d²)
(d) (2a+2b+c) (a+b–c²)
उत्तर–(a) (4a–5b) × (2a–6b) = 4a × 2a–4a × 6b–5b × 2a+5b × 6b
=8a²–24ab–10ba+30b²
=8a²–34ab+30b²
(b) (1.5x–0.5y) × (1.5x+0.5y)
= 1.5x × 1.5x+ 1.5x × 0.5y–0.5y × 1.5x–0.5y × 0.5y
= 2.25x² + 0.75xy–0.75xy–0.25y²
= 2.25x²–0.25y²
= (1.5x)² – (0.5y)²
(c) (1/2pq–3/2q) × (pq–q)
= 1/2pq × pq–1/2pq × q–3/2q × pq+3/2q × q
= 1/2p²q²–1/2pq²–3/2pq²+3/2q²
= 1/2p²q²–(1/2+3/2)pq²+3/2q²
= 1/2p²q²–(4/2)pq²+3/2q²
= 1/2p²q²–2pq²+3/2q²
(d) (a+b) × (3x – y) = a × 3x – a × y + b × 3x–b×y
= 3ax – ay + 3bx – by
= 3ax – ay + 3bx – by
(e) (a²6² – c²d²) × (a²b² + c²d²)
= a²b² × a²b² + a²b² × c²d²–c²d² × a²b²–c²d² × c²d²
= a⁴6⁴ + a²b²c²d²–c²d²a²b² – c⁴d⁴
= a⁴b⁴ – c⁴d⁴
(f) (2a + 2b + c)(a + b –c²)
= 2a × a + 2a × b–2a × c² + 2b × a +2b × b–2b × c² + c × a+c × b
–c × c²
= 2a² + 2ab – 2ac² + 2ab +2b² – 2bc² + ac + bc – c³
= 2a² +4ab–2ac² + 2b² – 2bc² + ac + bc –c³
2. सरल कीजिए-
(a) (a – b)(a + b)–(a + b)(a + b)
(b) (a² – b) (a – b²)+(a – b)²
(C) (2.3x – 1.7y) (2.3x + 1.7y + 5) – 5.29x² + 2.89y²
(d) (a + b)² – (a – b)²
(e) (x+y+z) × (x +y+z)
(f) (a – b) (b–c)+(b –c) (c–a)+(c–a) (a – b)
उत्तर—(a) (a – b)(a+b)–(a + b)(a + b)
=a × a+a × b–b×a–b × b–(a × a + a×b+b × a + b×b)
= a² + ba – ab – b² – (a² + ab + ba + b²)
= a²–b²–a² + ab + ba + b² = 2ab
(b) (a²–b) (a–b²) + (a–b)²
= a² × a–a² × b²–b × a + b × b² +a² –2ab+b²
=a³–a²b²–ab + b³ + a²–2ab + b²
=a³–a²b²–3ab+a²+b²+b³
(c) (2.3x – 1.7y) (2.3x + 1.7y + 5)–5.29x² + 2.89y²
=(2.3x × 2.3x) + (2.3x × 1.7y) + (2.3x × 5)–(7.7y × 2.3x)
– (1.7y × 1.7y)–(1.7y × 5)–5.29x² + 2.89y²
=5.29x² +3.91xy + 11.5x–5.29xy–2.89y²–8.5y–5.
= 3.91xy + 11.5x–5.29xy–8.5y
= 11.5x–8.5y–1.38xy
(d) (a+b)²–(a–b)² = a²+2ab+b²–(a²–2ab+b²)
=a²+2ab+b²–a²+2ab–b²
=4ab
(e) (x+y+z) (x+y+z)
=x × x + x × y + x × z + y × x + y × y + y × z + z × x + z × y + 2 × z
=x² + xy + xz + yx + y² + y² + xz + zy + z²
=x² + 2xy + 2xz + 2zy + y² + z²
(f) (a–b)(b–c)+ (b–c)(c–a) + (c–a)(a–b)
=a×b–a×c–b×b+b×c+b×c–b×a–c×c+
×b–a×a+a×b
=ab–ac–b² + bc + bc – ba–c² + ac + ac–cb–a²+ab
=ab + bc + ac–b²–c²–a²
3. किसी त्रिभुज का आधार एवं संगत शीर्षलम्ब क्रमशः (x +y)² एवं (x +y)² हैं तो
उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
उत्तर–क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × शीर्ष
= 1/2 ×(x+y)² × (x–y)²
= 1/2 × x² + 2xy+y² (x² – 2xy+y²)
= 1/2 × (x² × x²–x² × 2xy+x² × y² + 2xy × x²–2xy × 2xy + 2xy × y² × x²
–2xy × y² + y² × y²)
= 1/2 (x⁴–2x³y + x²y² + 2x³y–4x²y² + 2xy³ + x²y² – 2xy³ + y⁴)
= 1/2 (x⁴ + 2x²y²–4x²y² + y⁴)
= 1/2 (x⁴–2x²y² + y⁴)
4. आयत की लम्बाई उसकी चौड़ाई से (x+y) इकाई अधिक है। यदि चौड़ाई z इकाई
हो तो आयत की लम्बाई व क्षेत्रफल के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर– आयत की चौ० = z
आयत की ल० = x+y+z
आयत का क्षे० = ल० × चौ०
= (x+ y+z) × z
= x² + y² + z²
5. यदि किसी लड़की ने (x + y) रु. प्रति किलो की दर से (m+n) किलोग्राम आलू एवं
y रुपये प्रति किलोग्राम की दर से (m–n) किलो टमाटर खरीदे तो उसके कुल कितनी
राशि देनी होगी?
उत्तर– आलू की कीमत = (x+y) × (m+n)
= xm + xn + ym + yn
टमाटर की कीमत = y × (m–n)
= ym–yn
कुल कीमत = xm + xn + ym + yn + ym–yn
= xm + xn + 2ym
6. पिता की उम्र उसके पुत्र की उम्र के (m +n) गुणा है। यदि पुत्र की उम्र (x²–y²)
वर्ष हो तो पिता की उम्र के लिए व्यंजक लिखिए।
उत्तर– पुत्र की उम्र = (x²–y²)
.: पिता की उम्र = (m+n) (x²–y²)
=x²m – my² + nx²– ny²
सर्वसमिकाएँ
कुछ महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ-
(a+b)² =a²+2ab+b²
(a–b)² =a²–2ab+b²
(a–b)(a + b)=a²–b²
प्रश्नावली-9.4
1. उचित सर्वसमिकाओं का उपयोग कर दिए गए व्यंजकों का गुणनफल प्राप्त कीजिए–
(a) (5x + 7y)² (b) (a+a/2)² (c) (1.5x + 2.5y)²
(d) (x+1/x)² (e) (0.4a–0.5b)(0.4a–0.5b)
(f) (1/3a+2/3b)(1/3a+2/3b) (g) (y²–y)(y²–y)
(h) (pqr–3) (pqr +3) (i) (2x + 3) (2x – 5)
(j) (3.5x – y) (3.5x – y) (k) (x/2–y/2)²
(l) (1/x–1/y)² (m) (x–1/x)²
उत्तर–(a) (5x + 7y)² = (a + b)² = a² + 2ab + b²
(5x + 7y)² = (5x)² + 2 × 5x × 7y + (7y)²
= 25x² + 70xy + 49y² Ans.
(b) (a+a/2)² = a²+2×a×a/2+(a/2)²
= a² + a² +a²/4
(c) (1.5x + 2.5y)² = (1.5x)² + 2 × 1.5x × 2.5y + (2.5y)²
= 2.25x² + 7.5xy + 6.25 y²
(d) (x+1/x)² = x²+2×2×1/2+(1/x)²
= x²+2+1/x²
(e) (0.4a –0.5b) (0.4a –0.5b)
= 0.4a × 0.4a –0.4a × 0.5b–0.5b × 0.4a –0.56 × 0.5b
=0.1.6a² – 0.2ab – 0.2ab –0.25b²
= 0.16a²– 0.4ab –0.25b²
(f) (1/3a+2/3b)(1/3a+2/3b)
= 1/3a × 1/3a+1/3a×2/3b+2/3b×1/3a+2/3b×
= 1/9a²+2/9ab+2/9ab+4/9b²
= 1/9a²+4/9ab+4/9b²
(g) (y²–y) (y²–y) = y²×y²–y²×y–y×y²+y×y
= y⁴–y³+y² = y⁴–2y³–y³
(h) (pqr–3) (pqr + 3)
(a + b)(a – b) = a²– b²
(pqr–3) (pqr + 3) = (pqr)² – 3²
=p²q²r²– 9
(i) (2x + 3) (2x–5) = 2x × 2x – 2x × 5 + 3 × 2x – 3 × 5
= 4x² – 10x + 6x – 15
= 4x² – 4x – 15
(j) (3.5x – y) (3.5x – y) = 3.5x × 3.5x –3.5x × y – 3.5x × y + y × y
= 12.25x² – 3.5xy – 3.5xy + y²
= 12.25x² – 7xy + y²
(k) (x/2 – y/2)²
(a – b)² – a² – 2ab + b²
= (x/2)² – 2 × x/2 × y/2 +(y/2)²
= x²/4 – xy/2 + y²/4
(l) (1/x – 1/y)²
(a – b)² = a² – 2ab +b²
(1/x – 1/y)² = (1/x)² –2 × 1/x × 1/y + (1/y)²
= 1/x² – 2/xy + 1/y²
(m) (x – 1/x)²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(x –1/x)² = x² – 2 × x × 1/x + (1/x)²
= x² – 2 + 1/x²
2. सरल कीजिए–
(a) (x² + y²)² (b) (3a – 5b)² – (3a + 5b)²
(c) (xyz + xy)² –2x²y²z (d) (2x/5 – 3y/4) (2x/5 + 3y/4)
(e) (a + 1/a)² + (2a – 3/a)² (f) (x + 1/x)² – (x – 1/x)²
उत्तर–(a) (x² + y²)² = (x²)² + 2(x² (y²) + (y²)² = x⁴ + 2x²2y² + y⁴
(b) (3a–5b)² – (3a + 5b)²
= (3a)²–2(3a) (5b) +(5b)² – {(3a)² + 2(3a) (5b) + (5b)²}
= 9a²–30ab + 25b²–{9a²+30ab + 25b²}
=9a²–30ab + 25b²–9a²–30ab–25b² =–60ab
(C) (xyz–xy)²–2x²y²z = (xyz)²–2(xyz) (xy) + (xy)²–2x²y²z
=x²y²z² + 2x²y²z+x²y²–2x²y²z
=x²y²z² + x²y²
(d) (2x/5 – 3x/4)(2x/5 + 3y/4)
(a + b) (a–b) = a²–b²
(2x/5 – 3y/4)(2x/5 + 3y/4) = (2x/5)² – (3y/4)²
= 4x²/25 – 9y²/16
(e) (a+1/a)² + (2a–3/a)²
= a² + 2 × a × 1/a + (1/a)² + (2a)² – 2 × 2a × 3/a + (3/a)²
= a² + 2 + 1/a² + 4a² – 12 + 9/a²
= 5a² + 1/a² + 9/a² – 10
= 5a² + 10/a²–10
= 5(a² + 2/a²–1)
(f) (x + 1/x)² – (x– 1/x)²
= x² + 2 × x × 1/x + (1/x)² –{x²–2 × x × 1/x +(1/x)²}
= x² + 2 +1/x² –(x²–2+1/x²)
= x² + 2 + 1/x² –x² + 2–1/x² = 4
3. सर्वसमिकाओं के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए–
(a) 81² (b) (999)² (c) (52)² (d) (498)²
(e) (5.5)² (f) 191 × 209 (g) 10.5 × 9.5. (h) (101)²–(99)²
(i) (1.5)² – (0.5)²
उत्तर–(a) 81² = (80+1)²
= (80)² + 2 × 80 × 1+1²
= 6400 + 160 + 1 = 6561
(b) (999)² = (1000 – 1)²
= (1000)²–2 × 1000 × 1+1²
= 1000000 – 2000 + 1
= 998001
(c) (52)² = (50 + 2)²
= (50)²+2 × 50 × 2 +2²
= 2500 + 200 + 4
= 2704
(d) (498)² = (500–2)²
= (500)²–2 × 50 × 2+2²
= 250000 – 2000 + 4
= 250000 – 1096 = 248904
(e) (5.5)² = (6 –0.5)²
=6²–2 × 6 × 0.5 +(0.5)²
= 36–6+0.25
= 36.25 – 6 = 30.25
(f) 191 × 209 = (200 –9) × (200 – 9)
= (200)²– 9²
= 40000–81 = 39919
(g) 10.5 × 9.5 =(10 +0.5) × (10–0.5)
= (10)²–(0.5)²
= 100 – 0.25 = 99.75
(h) (101)² – (99)² = (101+99) (101–99)
=(200) (2) = 400
(i) (1.5)²–(0.5)² = (1.5+0.5) (1.5–0.5)
= 2 × 1 = 2
4. सर्वसमिका (x +a) (x + b) = x²+ (a + b)x + ab का उपयोग कर निम्नलिखित का
गुणनफल एवं मान ज्ञात कीजिए―
(a) (x+3y)(x+5y) (b) (3x+7) (3x+5)
(c)(x–5)(x+4) (d) (2x–7) (2x–9)
(e)52×53 (f) 3.1 × 3.2
उत्तर–(a) (x +3y) (x + 5y) = x²+ (3y + 5y)x + 3y × 5y
= x² +(8y)x + 15y²
= x² + 8yx + 15y²
(b) (3x+7) (3x+5) = (3x)² + (7+5)3x +7×5
= 9x²+36x + 35
(c) (x – 5)(x + 4) = x²+(–5+4)x+(–5) (4)
= x²–x–20
(d) (2x – 7) (3x – 9) = (2x)² + (–7–9)2x+(–7)(–9)
= 4x² + 32x +63
(e) 52×53 = (50 + 2) (50 + 3)
= (50)² +(2+3) 50 + 2 × 3
= 2500+ 250 + 6 = 2756
(f) 3.1 × 3.2 = (3 +0.1) (3 +0.2)
= 3² +(0.1 +0.2)3 +0.1 × 0.2
=9+(0.3)3 + 0.02
= 9+0.9+.02=9.92
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