bihar board class 10th maths | Introduction to Trigonometry

Bihar Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 Introduction to Trigonometry

प्रश्नावली 8.1 (NCERT Page 200)

प्र. 1. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है| निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C

हलः
समकोण ΔABC में ∠B = 90°
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = (24)2 + (7)2 = 576 + 49 = 625
AC = √625 = 25 सेमी

प्र. 2. आकृति में, tan P cot R का मान ज्ञात कीजिए|

हलः
एक समकोण ΔPQR में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।
PQ2 + QR2 = PR2
⇒ (12)2 + QR2 = (13)2
⇒ QR2 = (13)2 – (12)2 = 169 – 144 = 25
⇒ QR = 5 सेमी


प्र. 3. यदि sin A = 34, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।


हल
दिया है, किसी समकोण त्रिभुज में, sin A = 34

प्र. 4. यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।

हलः 

प्र. 5. sec θ = \frac { 13 }{ 12 }, हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

हलः 

प्र. 6. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.

हल
माना त्रिभुज ABC में ∠C समकोण है।
दिया है, ∠A तथा ∠B न्यूनकोण हैं।


प्र. 7. यदि cot θ = 78, तो (i) (1+sinθ)(1−sinθ), (ii) cot2θ का मान निकालिए।
हल

प्र. 8. यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि 1−tan2A = cos2 A – sin2 A है या नही।
हल

प्र. 9. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = \frac { 1 }{ \surd 3 }, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) c0s A cos C sin A sin C
हल

प्र. 10. ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 सेमी. और PQ = 5 सेमी. है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, समकोण ΔPQR में, ∠Q = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से,
PQ2 + QR2 = PR2
⇒ (5)2 + QR2 = PR2
⇒ 25 = PR2 – QR2
⇒ 25 = (PR + QR) (PR – QR) [∵ a2 – b2 = (a + b)(a – b)]
⇒ 25 = 25 (PR – QR) (∵ PR + QR = 25, दिया है)
⇒ PR – QR = 1 ……..(1)
और PR + QR = 25 ……(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
PR = 13 सेमी तथा QR = 12 सेमी
समकोण ΔPQR में,

प्र. 11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A को मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \frac { 12 }{ 5 }
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण 8 के लिए sin θ = \frac { 4 }{ 3 }
हलः
(i) असत्यः [चूकि, समकोण त्रिभुज में कर्ण के अतिरिक्त अन्य दो भुजाओं का अनुपात 1 के समान या असमान हो सकता है।] (ii) सत्यः [ cos A का मान सदैव 1 से कम होता है।
\frac { 1 }{ cos A }अर्थात् sec A का मान 1 से सदैव बड़ा होता है।] (iii) असत्यः [cosine A को संक्षिप्त रूप ‘cos A’ होता है।] (iv) असत्यः [अकेले ‘cot’ का कोई अर्थ नहीं है। cot A एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।] (v) असत्यः [का मान 1 से अधिक है, जबकि sin 8 का मान 1 से अधिक नहीं हो सकता]

प्रश्नावली 8.2 (NCERT Page 206)

प्र. 1. निम्नलिखित के मान निकालिएः
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2 Q1
हल

प्र. 2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :

(i) 2tan30∘1+tan230∘=
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°

(ii) 1−tan245∘1+tan245∘=
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0

(iii) sin 2A = 2sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°

हल


प्र० 3. यदि tan (A + B) = √3 और tan (A B) = \frac { 1 }{ \surd 3 }; 0° < A + B ≤ 90°; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हलः तालिका से, हमें प्राप्त होता है:
tan 60° = √3 …(1)
चूंकि tan (A + B) = √3 [ज्ञात है] …(2)
(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है।
A + B = 60° ………(3)
इसी प्रकार,
A B = 30° ………. (4)
(3) और (4) को जोड़ने पर, 2A = 90° ⇒ A = 45°
(3) में से (4) को घटाने पर, 2B = 30° ⇒ B = 15°

प्र० 4. बताइए कि निम्नलिखित में कौनकौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हलः (i) माना
A = 30° और B = 60°
L.H.S. = sin (30° + 60°) = sin 90° = 1
R.H.S. = sin 30° + sin 60° = \frac { 1 }{ 2 } +\frac { \surd 3 }{ 2 } =\frac { 1+\surd 3 }{ 2 }
L.H.S. ≠ R.H.S.
कथन “sin (A+ B) = sin A + sin B” असत्य है।
(ii) चूँकि “जब θ का मान 0° से 90° तक बढ़ता है तो sin θ का मान 0 से 1 तक बढ़ता है।”
दिया गया कथन सही है।
(iii) चूँकि “जब θ का माप 0° से 90° तक बढ़ता है, तो cos θ का मान 1 से 0 तक घटता है।”
दिया गया कथन असत्य है।
(iv) माना θ = 30° है।
तालिका से हमें प्राप्त होता है: sin 30° = \frac { 1 }{ 2 }और cos 30° = \frac { \surd 3 }{ 2 }
sin 30° ≠ cos 30°
अतः दिया गया कथन असत्य है।
(v) तालिका से हमें प्राप्त है: cot 0° = अपरिभाषित
अतः दिया गया कथन सत्य है।

प्रश्नावली 8.3 (NCERT Page 209)

प्र. 1. निम्नलिखित का मान निकालिए :
(i) cos 48° – sin 42°
(ii) cosec 31° – sec 59°
हल
(i) cos 48° – sin 42°
= cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0 [∵ cos (90° – A) = sin A]
अतः cos 48° – sin 42° = 0

(ii) cosec 31° – sec 59°
= cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0 [∵ cosec (90° – A) = sec A]
अतः cosec 31° – sec 59° = 0

प्र. 2. दिखाइए कि
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल
(i) L.H.S. = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° tan (90° – 48°) tan (90° – 23°)
= tan A tan B tan (90° – A) tan (90° – B) [माना A = 48°, B = 23°]
= tan A tan B cot A cot B
= tan A tan B . 1tanA⋅1tanB [∵ cot A = tanA, cot B = tanB]
= 1
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

(ii) L.H.S. = cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos A cos (90° – A) sin A sin (90° – A) [यदि 38° = A हो]
= cos A sin A – sin A cos A [∵ cos (90° – A) = sin A और sin (90° – A) = cos A]
= sin A cos A – sin A cos A
= 0
= R.H.S.
L.H.S.= R.H.S.

प्र. 3. यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए|
हल: tan 2A = cot (A – 18°),
⇒ cot (90° – 2A) = cot(A – 18°)
दोनों पक्षों में तुलना करने पर
⇒ 90° – 2A = A – 18°
⇒ 90° + 18° = A + 2A
⇒ 3A = 108°
⇒ A = 36°

प्र. 4. यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°
हल: tan A = cot B दिया है |
⇒ tan A = tan (90° – B)
तुलना करने पर
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°
Proved.

प्र. 5. यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए|
हल: sec 4A = cosec(A – 20°)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec(A – 20°) [sec q = (90°- q)] तुलना करने पर
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 90° + 20° = A + 4A
⇒ 5A = 110°
⇒ A = 22°

प्र. 6. यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हों, तो दिखाइए कि sin(B+C2)=cosA2
हल
हम जानते हैं कि त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग = 180°
A + B + C = 180°
⇒ (B + C) = 180° – A


प्र. 7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल
दिया है, sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अत: sin 67° + cos 75° = cos 23° + sin 15°

प्रश्नावली 8.4 (NCERT Page 213)

प्र. 1. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल
हम जानते हैं कि cot A और cosec A में सम्बन्ध ‘cosec2 A = 1 + cot2 A’ है और cosec A और sin A में सम्बन्ध प्रतिलोम का है।


प्र. 2. ∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल

प्र. 3.
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4 Q3
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल


(ii) दिया है, sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
= sin 25° cos (90° – 25°) + cos 25° sin (90° – 25°)
= sin 25° sin 25° + cos 25° cos 25°
[∵ cos (90° – 25°) = sin 25° तथा sin(90° – 25°) = cos 25°]
= sin2 25° + cos2 25°
= 1 [∵ sin2 A+ cos2 A = 1]
अतः sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = 1

प्र. 4. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:
(i) 9 sec2 A – 9 tan2 A बराबर है-
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(C) 0

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है-
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1

(iii) (sec A + tan A)(1 – sin A) बराबर है-
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A

हल
(i) यहाँ 9 sec2 A – 9 tan2 A
= 9 (sec2 A – tan2 A)
= 9 (1 + tan2 A – tan2 A) [∵ sec2 A = 1 + tan2 A]
= 9 × (1)
= 9
अत: विकल्प (B) सही है।

(ii) यहाँ (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)

प्र. 5. निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :


हल



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