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 bihar board class 10th maths | Coordinate Geometry

Bihar Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry

प्रश्नावली 7.1 (NCERT Page 177)

प्र. 1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
हल
(i) दिए हुए बिन्दु (2, 3) व (4, 1)
यहाँ x1 = 2, y1 = 3, x2 = 4, y2 = 1
बिन्दुओं (2, 3) व (4, 1) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 2√2 मात्रक

(ii) दिए हुए बिन्दु (-5, 7) व (-1, 3)
यहाँ x1 = -5, y1 = 7, x2 = -1, y2 = 3
बिन्दुओं (-5, 7) व (-1, 3) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 4√2 मात्रक

(iii) दिए हुए बिन्दु (a, b) व (-a, -b)
यहाँ x1 = a, y1 = b, x2 = -a, y2 = -b
बिन्दुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 2a2+b2−−−−−−√ मात्रक

प्र. 2. बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A व B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल
दिए हुए बिन्दु (0, 0) व (36, 15)
यहाँ x1 = 0, y1 = 0, x2 = 36, y2 = 15
बिन्दुओं (0, 0) व (36, 15) के बीच की दूरी

अत: दिए हुए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 39 मात्रक
हाँ, हम ज्ञात कर सकते हैं :

अनुच्छेद 7.2 में दिए गए शहरों के, कार्तीय निर्देशांक पद्धति के सापेक्ष निर्देशांक A = (0, 0) तथा B = (36, 15)
शहरों के बीच की दूरी

प्र. 3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5) (2, 3) और (-2, -11) संरेखी हैं?
हल
माना दिए हुए बिन्दु P = (1, 5), Q = (2, 3) तथा R = (-2, -11) हैं।
यहाँ x1 = 1, y1 = 5, x2 = 2, y2 = 3, x3 = -2, y3 = -11

PQ + QR = 2.23 + 14.56 = 16.79 ≠ RP
अतः दिए गए बिन्दु संरेख नहीं हैं।

प्र. 4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल
माना दिए हुए बिन्दु P = (5, -2), Q = (6, 4) और R = (7, -2) हैं, जो ΔPQR के शीर्ष हैं :
यहाँ x1 = 5, y1 = -2, x2 = 6, y2 = 4, x3 = 7, y3 = -2

ΔPQR में, PQ = QR
⇒ ΔPQR समद्विबाहु है।
अतः दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्र. 5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
हल
दी गई आकृति से बिन्दुओं A, B, C व D के निर्देशांक क्रमशः (3, 4), (6, 7), (9, 4), (6, 1) हैं।

∵ चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ AB, BC, CD, DA परस्पर बराबर हैं और चतुर्भुज के विकर्ण AC व BD भी बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। चम्पा सही है।

प्र. 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए-
(i) (-1, -2), (1, 0),(-1, 2),(-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3),(-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल
(i) माना P = (-1, -2), Q = (1, 0), R = (-1, 2), S = (-3, 0)

∵ PQ2 + QR2 = (2√2)2 + (2√2)2 = 8 + 8 = 16 = PR2
∴ ∠Q समकोण है और चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अत: उक्त बिन्दुओं से बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग है।

(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
माना P = (-3, 5), Q = (3, 1), R = (0, 3), S = (-1, -4)

QR + RP = √13 + √13 = 2√13 = PQ
बिन्दु P, Q, R एक रेखा में हैं।
अत: बिन्दुओं P, Q, R व S से चतुर्भुज नहीं बनेगा।

(iii) माना P = (4, 5), Q = (7, 6), R = (4, 3) तथा S = (1, 2)

∵ बिन्दुओं P, Q, R, S से बने चतुर्भुज PQRS में PQ = RS तथा QR = SP अर्थात् सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अत: चतुर्भुज PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्र. 7. X-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल
माना X-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु के निर्देशांक (h, 0) हैं (क्योंकि x-अक्ष के लिए y-निर्देशांक शून्य होता है)।

प्र. 8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल
दिए हुए बिन्दु P = (2, -3) और Q = (10, 1)

परन्तु प्रश्न में दिया है कि दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी (PQ) = 10 मात्रक
82+(y+3)2−−−−−−−−−−√=10
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
82 + (y + 3)2 = 102
⇒ (y + 3)2 = 102 – 82 = 100 – 64
⇒ (y + 3)2 = 36
⇒ (y + 3)2 = ±6
यदि y + 3 = +6 तो y = +6 – 3 = 3
और यदि y + 3 = -6 तो y = – 6 – 3 = -9
अतः y के अभीष्ट मान = 3, -9

प्र. 9. यदि Q(0, 1) बिन्दुओं P(6, -3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल
Q = (0, 1), P = (5, -3) और R = (x, 6)
बिन्दु Q(0, 1) बिदुओं (5, -3) व R(x, 6) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = QR

प्र. 10. x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y)बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4)से समदूरस्थ हो।
हल
माना बिन्दु P = (x, y), Q = (3, 6) तथा R = (-3, 4)
बिन्दु P(x, y) बिन्दुओं Q (3, 6) व R(-3, 4) से समदूरस्थ है।
अर्थात् PQ = PR

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(x – 3)2 + (y – 6)2 = [x – (-3)]2 + (y – 4)2
⇒ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = (x + 3)2 + (y – 4)2
⇒ x2 + y2 – 6x – 12y + 45 = x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16
⇒ x2 + y2 – 6x – 12y + 45 = x2 + y2 + 6x – 8y + 25
⇒ -6x – 12 y = 6x – 8 y + 25 – 45
⇒ -6x – 12y – 6x + 8y = -20
⇒ -12x – 4y = -20
⇒ 3x + y = 5 [∵ (-4) से दोनों पक्षों में भाग देने पर]
अत: अभीष्ट सम्बन्ध : 3x + y = 5

प्रश्नावली 7.2 (NCERT Page 183)

प्र. 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल
दिए गए बिन्दु (-1, 7) और (4, -3)
यहाँ x1 = -1, y1 = 7, x2 = 4, y2 = -3
तथा m1 : m2 = 2 : 3
माना विभाजक बिन्दु P(x, y) है।

अत: अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3)

प्र. 2. बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
माना A = (4, -1) तथा B = (-2, -3) दिए गए बिन्दु हैं।
माना बिन्दु P (x, y) तथा Q (x’, y’) AB को समत्रिभाजित करते हैं।
तब, AP : PB = 1 : 2 और AQ : QB = 2 : 1,
यहाँ x1 = 4, y1 = -1, x2 = -2, y2 = -3
तथा m1 : m2 = 1 : 2
तब, बिन्दु P के लिए :

प्र. 3. आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 14 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 15 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना न हो तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना चाहिए?

हल
भुजा AD पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं।
AD = 100 m
निहारिका के झण्डे की स्थिति = दूसरी पंक्ति में AD का 14 भाग के बराबर दूरी
= दूसरी पंक्ति में 100 का 14
= 25 m
= (2, 25)
प्रीत के झण्डे की स्थिति = आठवीं पंक्ति में AD का 15 भाग के बराबर दूरी
= आठवीं पंक्ति में 100 का 15
= 20 m
= (8, 20)

रश्मि को इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य-बिन्दु पर झण्डा गाड़ना है, तब (2, 25) और (8, 20) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक
= (2+82,25+202)
= (5,452)
अत: रश्मि को पाँचवीं पंक्ति में AD के अनुदिश 452 m दूरी पर झण्डा गाड़ना चाहिए।

प्र. 4. बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल
माना बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-1, 6), m1 : m2 में विभक्त करता है, तब

दोनों ही निर्देशांकों से, m1 : m2 = 2 : 7
अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्र. 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1, -5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल
दिए हुए बिन्दु A = (1, -5) और B = (-4, 5)
यहाँ x1 = 1, y1 = -5, x2 = -4, y2 = 5
माना रेखाखण्ड AB का X-अक्ष से अनुपात m1 : m2 में विभाजित होता है।
X-अक्ष के लिए y = 0 होता है।
विभाजक बिन्दु (x, 0) होगा जिसके लिए

अत: X-अक्ष से रेखाखण्ड AB बिन्दु (−32, 0) पर 1 : 1 में विभाजित है।

प्र. 6. यदि बिन्दु (1, 2), (4, 3), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिनमें A = (1, 2), B = (4, y), C = (x, 6) तथा D = (3, 5)
इसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर समद्विभाजित करेंगे।
AC का मध्य-बिन्दु = बिन्दुओं (1, 2) तथा (x, 6) का मध्य-बिन्दु

BD का मध्य-बिन्दु = बिन्दुओं (4, 3) तथा (3, 5) का मध्य-बिन्दु

∵ AC और BD परस्पर समद्विभाजित करते हैं
∵ AC का मध्य-बिन्दु वही होगा जो BD का है।
1+x2=72
⇒ 1 + x = 7
⇒ x = 6
और y+52=4
⇒ y + 5 = 8
⇒ y = 3
अत: x = 6, और y = 3

प्र. 7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

हल
केन्द्र के निर्देशांक = (2, -3)
तथा बिन्दु B के निर्देशांक = (1, 4)
माना बिन्दु A के निर्देशांक (x1, y1) हैं।
x1 = 2, y1 = -3, x2 = 1, y2 = 4
माना केन्द्र O के निर्देशांक (x, y) = (2, -3) व्यास AB के मध्य-बिन्दु पर है।
x=x1+x22 तथा y=y1+y22
⇒ 2=x1+12 तथा −3=y1+42
⇒ x1 + 1 = 4 तथा y1 + 4 = -6
⇒ x1 = 4 – 1 = 3 तथा y1 = – 6 – 4 = -10
अत: बिन्दु A के निर्देशांक = (3, -10)

प्र. 8. यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 37 AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
हल
दिया है, A = (-2, -2), और B = (2, -4)
यहाँ x1 = – 2, y1 = -2, x2 = 2, y2 = -4
AP = 37 AB
⇒ AP = 37 (AP + PB)
⇒ 7AP = 3AP + 3PB
⇒ 4AP = 3PB
⇒ AP : PB = 3 : 4
⇒ m1 : m2 = 3 : 4
यदि P के निर्देशांक (x, y) हो तो

प्र. 9. बिन्दुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
माना बिन्दु A = (-2, 2) और B = (2, 8)
तब, रेखाखण्ड AB को दो बराबर भागों में बाँटने वाले बिन्दु Q के निर्देशांक = बिन्दुओं (-2, 2) तथा (2,8) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक
= (−2+22,2+82)
= (0, 5)
Q = (0, 5)

तब, रेखाखण्ड AQ के मध्य-बिन्दु P के निर्देशांक
=(−2+02,2+52)=(−1,72)
और रेखाखण्ड QB के मध्य-बिन्दु R के निर्देशांक
=(0+22,5+82)=(1,132)
अत: दिए हुए बिन्दुओं को 4 बराबर भागों में बाँटने वाले बिन्दुओं P, Q व R के निर्देशांक क्रमशः (-1, 72),(0, 5) व (1, 132) हैं।

प्र. 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं।

हल
माना A = (3, 0), B = (4, 5), C = (-1, 4) और D = (-2, -1)
समचतुर्भुज ABCD का विकर्ण

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 12 × एक विकर्ण × दूसरा विकर्ण
= 12 × AC × BD
= 12 × 4√2 × 6√2
= 12 × 24 × 2
= 24 वर्ग मात्रक
अतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक

प्रश्नावली 7.3 (NCERT Page 188)

प्र. 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं-
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
हल
(i) त्रिभुज के शीर्ष (2, 3), (-1, 0) तथा (2, -4) हैं।
यहाँ x1 = 2, x2 = -1, x3 = 2, y1 = 3, y2 = 0, y3 = -4
∆ का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [{(2 × 0) + (-1 × -4) + (2 × 3)} – {(3 × -1) + (0 × 2) + (-4 × 2)}}
= 12 [{0 + 4 + 6} – {-3 + 0 – 8}]
= 12 [{10} – {-11}]
= 12 [10 + 11]
= 212 वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 212 वर्ग मात्रक

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
यहाँ x1 = -5, x2 = 3, x3 = 5, y1 = -1, y2 = -5, y3 = 2
∆ का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [{(5 × -5) + (3 × 2) + (5 × -1)} – {(-1 × 3) + (-5 × 5) + (2 × -5)}]
= 12 [{25 + 6 – 5} – {-3 – 25 – 10}]
= 12 [{26} – {-38}]
= 12 [26 + 38]
= 12 × 64
= 32 वर्ग मात्रक
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक

प्र. 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘k’ का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु संरेखी हों-
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल
(i) माना बिन्दु A = (7, -2); B = (5, 1) तथा C = (3, k)
यहाँ x1 = 7, x2 = 5, x3 = 3, y1 = -2, y2 = 1, y3 = k
∆ABC का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [7 × 1 + 5 × k + 3 × -2} – {-2 × 5 + 1 × 3 + k × 7}]
= 12 [{7 + 5k + (-6)} – {-10 + 3 + 7k}]
= 12 [(1 + 5k) – (-7 + 7k]
= 12 [1 + 5k + 7 – 7k]
= 12 [8 – 2k]
= 22 (4 – k)
= 4 – k
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
4 – k = 0 ⇒ k = 4
अत: k का मान = 4

(ii) माना बिन्दु A = (8, 1), B = (k, -4) तथा C = (2, -5)
यहाँ x1 = 8, x2 = k, x3 = 2, y1 = 1, y2 = -4, y3 = -5
∆ABC का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [8 × -4 + k × -5 + 2 × 1) – (1 × k – 4 × 2 – 5 × 8)]
= 12 [{-32 – 5k + 2} – {k – 8 – 40}]
= 12 [{-30 – 5k} – {k – 48}]
= 12 [-30 – 5k – k + 48]
= 12 [-6k + 18]
= 22 (-3k + 9)
= -3k + 9
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
-3k + 9 = 0 ⇒ k = 3
अत: k का मान = 3

प्र. 3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना ∆ABC के शीर्ष A = (0, -1), B = (2, 1) और C = (0, 3)
यहाँ x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, y1 = -1, y2 = 1, y3 = 3
∆ABC का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [{0 × 1 + 2 × 3 + 0 × -1} – {-1 × 2 + 1 × 0 + 3 × 0}]
= 12 [{0 + 6 + 0} – {-2 + 0 + 0}]
= 12 [6 – (-2)]
= 12 × 8
= 4 वर्ग मात्रक
भुजा AB का मध्य-बिन्दु D = (0+22,−1+12) = (1, 0)
भुजा BC का मध्य-बिन्दु E = (2+02,1+32) = (1, 2)
भुजा CA का मध्य-बिन्दु F = (0+02,−1+32) = (0, 1)
तब, ∆DEF के शीर्ष D = (1, 0), E = (1, 2), F = (0, 1)
यहाँ, x1 = 1, y1 = 0, x2 = 1, y2 = 2, x3 = 0, y3 = 1
∆DEF का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [{1 × 2 + 1 × 1 + 0 × 0} – {0 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1}]
= 12 [{2 + 1 + 0} – {0 + 0 + 1}]
= 12 [3 – 1]
= 12 × 2
= 1 वर्ग मात्रक
∴ शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक
पुनः दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4

प्र. 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
हल
माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A = (-4, -2), B = (-3, -5), C = (3, -2) तथा D = (2, 3) हैं।
यहाँ x1 = -4, x2 = -3, x3 = 3, x4 = 2, y1 = -2, y2 = -5, y3 = -2, y4 = 3
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x4 + y4x1}]
= 12 [{(-4 × -5) + (-3 × -2) + (3 × 3) + (2 × -2)} – {(-2 × -3) + (-5 × 3) + (-2 × 2) + (3 × -4)}]
= 12 {20 + 6 + 9 – 4} – {6 – 15 – 4 – 12}]
= 12 [(31) – (-25)]
= 12 [31 + 25]
= 12 [56]
= 28 वर्ग मात्रक
अत: अभीष्ट चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्र. 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
हल
दिए हुए, ∆ABC के शीर्ष A = (4, -6), B = (3, -2) और C = (5, 2)
माना BC का मध्य-बिन्दु D है।
तब, D = (3+52,−2+20) = (4, 0)

इस प्रकार माध्यिका AD, ∆ABC को दो त्रिभुजों (∆ABD व ∆ACD) में विभाजित करती है।
यहाँ, x1 = 4, y1 = -6, x2 = 3, y2 = -2, x3 = 5, y3 = 2
∆ABC का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [{4 × -2 + 3 × 2 + 5 × -6} – {-6 × 3 – 2 × 5 + 2 × 4}]
= 12 [{-8 + 6 – 30} – {-18 – 10 + 8}
= 12 [-32 – (-20)]
= 12 (-32 + 20)
= 12 × -12
= 6 वर्ग मात्रक
इसी प्रकार ∆ABD का क्षेत्रफल = 12 [{-8 + 0 – 24} – {-18 – 8 + 0}]
= 12 [{-32} – {-26}]
= 12 [-32 + 26]
= 3 वर्ग मात्रक
तब, ∆ACD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल – ∆ABD का क्षेत्रफल
= (6 – 3) वर्ग मात्रक
= 3 वर्ग मात्रक
अतः स्पष्ट है कि ∆ABC की माध्यिका AD, ∆ABC को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुज ABD व त्रिभुज ACD में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

प्रश्नावली 7.4 (NCERT Page 188)

प्र. 1. बिन्दुओं A (2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है, उसे ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बिन्दु A = (2, -2) तथा B = (3, 7)
यहाँ x1 = 2, y1 = -2, x2 = 3, y2 = 7
माना दिए हुए बिन्दुओं से बना रेखाखण्ड रेखा 2x + y – 4 = 0 को m1 : m2 के अनुपात में विभाजित करता है जबकि प्रतिच्छेद बिन्दु (x, y) है।

बिन्दु (x, 3) रेखा 2x + y – 4 = 0 पर स्थित होगा;
अतः इसके निर्देशांक रेखा 2x + y – 4 = 0 को सन्तुष्ट करेंगे।

अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 9

प्र. 2. x और y में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी है।
हल
माना बिन्दु A = (x, y), B = (1, 2) तथा C = (7, 0)
यहाँ, x1 = x, y1 = y, x2 = 1, y2 = 2, x3 = 7, y3 = 0
∆ का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [{x × 2 + 1 × 0 + 7 × y} – {y × 1 + 2 × 7 + 0 × x}]
= 12 [{2x + 0 + 7y} – {y + 14 + 0}]
= 12 [2x + 7y – y – 14]
= 12 [2x + 6y – 14]
= 22 (x + 3y – 7)
= x + 3y – 7
परन्तु यदि बिन्दु A, B, C संरेख हों तो ΔABC का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
x + 3y – 7 = 0
अतः x और में सम्बन्ध : x + 3y – 7 = 0

प्र. 3. बिन्दुओं (6, -6), (3, -7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल
माना A(6, -6), B(3, -7) तथा C(3, 3) बिन्दु एक वृत्त की परिधि पर हैं और वृत्त का केन्द्र O(h, k) है।
तब, OA, OB तथा OC वृत्त की त्रिज्याएँ होंगी।
अतः OA = OB = OC
⇒ OA2 = OB2 = OC2
OA2 = [ केन्द्र O(h, k) और बिन्दु A (6, -6) के बीच की दूरी]2
⇒ OA2 = (h – 6)2 + (k + 6)2
⇒ OA2 = h2 – 12h + 36 + k2 + 12k + 36
⇒ OA2 = h2 + k2 – 12h + 12k + 72 ……..(1)
OB2 = [केन्द्र O (h, k) और बिन्दु B (3, -7) के बीच की दूरी]2
⇒ OB2 = (h – 3)2 + (k + 7)2
⇒ OB2 = h2 – 6h + 9 + k2 + 14k + 49
⇒ OB2 = h2 + k2 – 6h + 14k + 58 ………(2)
OC2 = [केन्द्र O(h, k) और बिन्दु C(3, 3) की दूरी]2
⇒ OC2 = (h – 3)2 + (k – 3)2
⇒ OC2 = h2 – 6h + 9 + k2 – 6k + 9
⇒ OC2 = h2 + k2 – 6h – 6k + 18 ………(3)
समीकरण (2) में से समीकरण (3) को घटाने पर,
20k + 40 = OB2 – OC2 = 0
⇒ k = -2
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
-6h – 2k + 14 = OA2 – OB2 = 0
⇒ 6h + 2k = 14
⇒ 6h + (2 × -2) = 14 (∵ k = -2)
⇒ 6h – 4 = 14
⇒ 6h = 14 + 4 = 18
⇒ h = 3
अत: वृत्त का केन्द्र = (3, -2)

प्र. 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) व (3, 2) हैं।
वर्ग के एक विकर्ण का मध्य-बिन्दु = (−1+32,2+22) = (1, 2)
वर्ग के विकर्ण की लम्बाई = (−1−3)2+(2−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√
= (−4)2+0−−−−−−−−√
= √16
= 4 मात्रक
तब, विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु E(मध्य बिन्दु) से प्रत्येक शीर्ष विकर्ण × 12 = 2 मात्रक दूरी पर होगा।

चित्र से स्पष्ट है कि शेष दोनों बिन्दु विकर्ण BD पर होंगे जो AC पर लम्ब होगा। तब प्रत्येक बिन्दु का भुज +1 होगा। माना कोटि y है।
तब, बिन्दु (1, 2) की बिन्दु (+1, y) से दूरी = 2 मात्रक
(1−1)2+(y−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=2
⇒ 0+(y−2)2−−−−−−−−−√=2
⇒ ±(y – 2) = 2
⇒ y – 2 = ±2
⇒ y = ±2 + 2
⇒ y = 0 या 4
अत: वर्ग के शेष दोनों शीर्ष (1, 0) व (1, 4) हैं।

प्र. 5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं |
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज ΔPQR के निर्देशांक क्या होंगे| साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| आप क्या देखते हैं ?

हलः
बिन्दुओं P, Q व R से सम्मुख अक्षों पर लम्ब खींचे गए हैं। (चित्र देखिए)

(i) A को मूल बिन्दु (origin) और AD तथा AB के निर्देशांक अक्ष लेने पर हमें प्राप्त होता है कि
P के निर्देशांक (4, 6), Q के निर्देशांक (3, 2), R के निर्देशांक (6, 5) ΔPQR के शीर्ष हैं।
(ii) बिन्दु C के मूल बिन्दु और CB तथा CD को निर्देशांक-अक्ष लेने पर ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P (12, 2), Q (13, 6) और R (10, 3)
अब, क्षे. (ΔPQR) [जबकि P(4, 6), Q(3, 2) और R(6, 5) हैं] = [4 (2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)] = [-12 – 3 + 24] = वर्ग इकाई
क्षे. (ΔPQR)
[जब P(12, 2), २(13, 6) और R(10, 3) हैं] = [12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6] = [36 + 13 – 40] = वर्ग इकाई
इस प्रकार, दोनों अवस्थाओं में ΔPQR का क्षेत्रफल एक ही है।

प्र. 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B(1, 5) और C (7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि ADAB=AEAC=14 है। ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ΔABC के क्षेत्रफल से कीजिए।

हल
दिया है, ΔABC के शीर्ष A (4, 6), B(1, 5) और C (7, 2) हैं।
ADAB=14
⇒ AB = 4AD
⇒ AD + DB = 4AD
⇒ DB = 3AD
⇒ ADDB=13
माना D के निर्देशांक यदि (x, y) हों तो

प्र. 7. मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C (1, 4)एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट – वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल

प्र. 8. बिन्दुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमश: भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल
दिए हुए बिन्दु A = (-1, -1), B = (-1, 4), C = (5, 4) और D = (5, -1)

∵ चतुर्भुज PQRS में, PQ = QR = RS = SP और विकर्ण PR ≠ विकर्ण QS
अत: चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।