NCERT Class 10 Maths Chapter 15 प्रायिकता

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 प्रायिकता

Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा करें:
(i) एक घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = ………
(ii) एक ऐसी घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती है ……… ऐसी घटना को ……… कहा जाता है। (
iii) एक ऐसी घटना की प्रायिकता जो घटित होने के लिए निश्चित है ……… है। ऐसी घटना को ……… कहा जाता है।
(iv) एक प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ……… है।
(v) एक घटना की प्रायिकता ………… से अधिक या उसके बराबर और …………… से कम या उसके बराबर होती है।
हल:
(i) एक घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = 1।
(ii) एक ऐसी घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती है 0 है। ऐसी घटना को असंभव घटना कहा जाता है।
(iii) एक ऐसी घटना की प्रायिकता जो घटित होने के लिए निश्चित है 1 है। ऐसी घटना को निश्चित घटना कहा जाता है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से अधिक या उसके बराबर तथा 1 से कम या उसके बराबर है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से कौन से प्रयोग के परिणाम समान रूप से संभावित हैं? व्याख्या करें।
(i) एक ड्राइवर कार स्टार्ट करने का प्रयास करता है। कार स्टार्ट होती है या स्टार्ट नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल शूट करने का प्रयास करता है। वह शॉट मारता है या चूक जाता है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का उत्तर देने के लिए एक प्रयास किया जाता है। उत्तर सही या गलत होता है।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। यह लड़का है या लड़की।
हल:
(i) परिणाम समान रूप से संभावित नहीं है क्योंकि कार सामान्य रूप से तभी स्टार्ट होती है जब कोई खराबी होती है, कार स्टार्ट नहीं होती है।
(ii) परिणाम समान रूप से संभावित नहीं है क्योंकि परिणाम खिलाड़ी के प्रशिक्षण पर निर्भर करता है।
(iii) सत्य-असत्य प्रश्न के परीक्षण में परिणाम या तो सत्य या असत्य होता है। इसलिए, दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं।
(iv) एक बच्चा लड़का या लड़की हो सकता है और दोनों परिणामों के समान रूप से संभावित मौके हैं।

प्रश्न 3.
फुटबॉल खेल की शुरुआत में किस टीम को बेल मिलनी चाहिए, यह तय करने के लिए सिक्का उछालना एक उचित तरीका क्यों माना जाता है?
उत्तर:
जब हम सिक्का उछालते हैं, तो चित और पट दोनों ही समान रूप से संभावित होते हैं। इसलिए, किसी भी सिक्के के उछाल का परिणाम पूरी तरह से अप्रत्याशित होता है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन सी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?
(A)23
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
हल:
हम जानते हैं कि किसी घटना की संभावना 0 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकती।
सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?
हल:
P(E) + P(E नहीं) = 1
दिया है: P(E) = 0.05
P(E नहीं) = 1 – 0.05 = 0.95

प्रश्न 6.
एक बैग में केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडी हैं। मालिनी बैग में देखे बिना एक कैंडी निकालती है। क्या प्रायिकता है कि वह
(i) एक संतरे के स्वाद वाली कैंडी निकालती है?
(ii) एक नींबू के स्वाद वाली कैंडी?
हल:
(i) एक बैग में केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडी हैं।
P (एक संतरे के स्वाद वाली कैंडी) = 0
(ii) P (एक नींबू के स्वाद वाली कैंडी) = 1

प्रश्न 7.
यह दिया गया है कि 3 छात्रों के एक समूह में, 2 छात्रों का जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। दोनों छात्रों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
P (E) + P (E नहीं) = 1
⇒ P (E) + 0.992 = 1
⇒ P (E) = 1 – 0.992 = 0.008

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल गेंदें और 5 काली गेंदें हैं। थैले से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद
(i) लाल है?
(ii) लाल नहीं है?
हल:
(i) लाल गेंदों की संख्या = 3
काली गेंदों की संख्या = 5
गेंदों की कुल संख्या = 3 + 5 = 8
∴ प्रायिकता (लाल गेंद निकलने की) =38

(ii) P (लाल नहीं) = 1 – P(E)
= 1 –38
=8 – 38
=58

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफ़ेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल होगा?
(ii) सफ़ेद होगा?
(iii) हरा नहीं होगा?
हल:
कंचों की कुल संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
(i) P (लाल कंचा) =517
(ii) P (सफ़ेद संगमरमर) =817
(iii) P (हरा मार्बल नहीं) =1317

प्रश्न 10.
एक गुल्लक में 50 पैसे के सौ सिक्के, ₹1 के पचास सिक्के, ₹2 के बीस सिक्के और ₹5 के दस सिक्के हैं। यदि यह समप्रायिक है कि गुल्लक को उल्टा करने पर उनमें से एक सिक्का बाहर गिर जाए, तो क्या प्रायिकता है कि वह सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा?
(ii) ₹5 का नहीं होगा?
हल:
(i) गुल्लक में कुल सिक्के = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
पैसे (50 पैसे का सिक्का प्राप्त करना) =100180
=1018
=59

(ii) मान लीजिए घटना F “₹ का सिक्का नहीं होगा”। घटना
F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 180 – 10 = 170 [∵ दस ₹ 5 के सिक्के हैं]
∴ संभावित परिणामों की संख्या = 180
∴ P(F) =170180=1718.

प्रश्न 11.
गोपी अपने एक्वेरियम के लिए एक दुकान से एक मछली खरीदता है। दुकानदार 5 नर और 8 मादा मछलियों वाले एक टैंक से यादृच्छिक रूप से एक मछली निकालता है (चित्र देखें)। निकाली गई मछली के नर होने की क्या प्रायिकता है?
हल:
नर मछलियों की संख्या = 5
मादा मछलियों की संख्या = 8
मछलियों की कुल संख्या = 5 + 8 = 13
P (एक नर मछली) =513

प्रश्न 12.
एक भाग्य के खेल में एक तीर घुमाया जाता है जो 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (चित्र देखें) में से किसी एक पर निशाना साधते हुए रुक जाता है, और ये समसंभाव्य परिणाम हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह
(i) 8 पर निशाना साधेगा?
(ii) एक विषम संख्या पर?
(iii) 2 से बड़ी संख्या पर?
(iv) 9 से छोटी संख्या पर?

हल:
(i) P (8 प्राप्त करना) =18
(ii) P (एक विषम संख्या) =48=12(विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7 हैं)
(iii) P (2 से बड़ी संख्या) =68=34
(iv) P (9 से छोटी संख्या) =88= 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार उछाला जाता है। निम्नलिखित प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
: (i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच की एक संख्या
(iii) एक विषम संख्या
हल:
(i) पासे पर अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5
P (एक अभाज्य संख्या) =36=12

(ii) 2 और 6 के बीच की संख्या = 3, 4, 5
P(2 और 6 के बीच की संख्या) =36=12

(iii) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5
P (एक विषम संख्या) =36=12

प्रश्न 14.
52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
: (i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक अंकित पत्ता
(iii) एक लाल अंकित पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) एक हुकुम का पत्ता
(vi) ईंट की बेगम
हल:
अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में पत्तों की संख्या = 52.
(i) P (लाल रंग का एक बादशाह) =252=126
(ii) P (एक फेस कार्ड) =1252=313
(iii) P (एक लाल फेस कार्ड) =652=326
(iv) P (दिल का गुलाम) =152
(v) P(एक हुकुम) =1352=14
(vi) P (ईंट की रानी) =152

प्रश्न 15.
ईंट के पाँच पत्ते - दहाई, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का, उनके मुख नीचे की ओर रखते हुए अच्छी तरह से फेंटे गए हैं। फिर एक पत्ता यादृच्छिक रूप से उठाया जाता है।
(i) इस पत्ते के बेगम होने की क्या प्रायिकता है?
(ii) यदि बेगम निकालकर अलग रख दी जाए, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि दूसरा पत्ता
(a) इक्का हो?
(b) बेगम हो?
हल:
5 पत्तों में से केवल एक बेगम है।
(i) P (बेगम निकलना) =15[जब रानी खींची जाती है, तो चार कार्ड बचते हैं]
(ii) (a) P (एक इक्का) =14
(b) P (एक रानी) =04= 0

प्रश्न 16.
12 खराब पेन गलती से 132 अच्छे पेनों के साथ मिल गए हैं। किसी पेन को देखकर यह बताना संभव नहीं है कि वह खराब है या नहीं। इस समूह में से एक पेन यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। निकाले गए पेन के अच्छे होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
खराब पेनों की संख्या = 12
अच्छे पेनों की संख्या = 132
कुल पेनों की संख्या = 12 + 132 = 144
P (पेन अच्छा है) =132144=1112

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 खराब बल्ब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब है?
(ii) मान लीजिए कि (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और उसे बदला नहीं गया है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं है?
हल:
(i) बल्बों की कुल संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
P (निकाला गया बल्ब खराब है) =420=15
(ii) शेष बल्ब = 19
P (निकाला गया बल्ब ख़राब नहीं है) =1519

प्रश्न 18.
एक बॉक्स में 90 डिस्क हैं जिन पर 1 से 90 तक अंक अंकित हैं। यदि बॉक्स से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उस पर
(i) एक दो अंकों की संख्या हो।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या हो।
(iii) एक संख्या जो 5 से विभाज्य हो।
हल:
डिस्क की कुल संख्या = 90
(i) P (एक दो अंकों की संख्या) =8190=910

(ii) यहाँ, पूर्ण वर्ग संख्याएँ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 हैं।
P (पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करना) =990=110

(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90
P (5 से विभाज्य संख्या प्राप्त करना) =1890=15

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास एक पासा है जिसके छह फलकों पर नीचे दिए गए अक्षर अंकित हैं:

पासे को एक बार उछाला जाता है।
(i) A आने की प्रायिकता क्या है?
(ii) D आने की प्रायिकता क्या है?
हल:
(i) P (A आने की प्रायिकता) =26=13
(ii) P (D प्राप्त करना) =16

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप आकृति में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र पर एक पासा यादृच्छिक रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह 1 मीटर व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?

हल:
आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 1 x b
= 3 x 2 = 6 वर्ग मीटर
1 व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

प्रश्न 21.
एक लॉट में 144 बॉल पेन हैं, जिनमें से 20 खराब हैं और बाकी अच्छे हैं। अगर नूरी का पेन अच्छा है, तो वह उसे खरीद लेगी, लेकिन अगर वह खराब है, तो वह उसे नहीं खरीदेगी। दुकानदार एक पेन यादृच्छिक रूप से निकालकर उसे देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) वह उसे खरीदेगी?
(ii) वह उसे नहीं खरीदेगी?
हल:
बॉल पेन की कुल संख्या = 144
खराब पेन की संख्या = 20
अच्छे पेन की संख्या = 144 – 20 = 124

प्रश्न 22.
दो पासे, एक नीला और एक स्लेटी, एक साथ फेंके जाते हैं। अब
(i) निम्नलिखित तालिका को पूरा कीजिए:

(ii) एक छात्र तर्क देता है कि 11 संभावित परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। इसलिए, उनमें से प्रत्येक की एक प्रायिकता है।111क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
हल:
(i) संभावित परिणामों की कुल संख्या = 36
(1, 2) और (2, 1) योग 3 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P(योग 3) =236=118
(1, 3), (2, 2) और (3, 1) योग 4 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P(योग 4) =336=112
(1, 4), (2, 3), (3, 2) और (4, 1) योग 5 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P(योग 5) =436=19
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) और (5, 1) योग 6 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P (योग 6) =536
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) और (6, 1) योग 7 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P(योग 7) =636=16
(3, 6), (4, 5), (5, 4) और (6, 3) योग 9 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P(योग 9) =436=19
(4, 6), (5, 5) और (6, 4) योग 10 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P(योग 10 =336=112
(5,6) और (6,5) योग 11 प्राप्त करने की अनुकूल घटनाएँ हैं।
P(योग 11) =236=118

(ii) नहीं, क्योंकि 11 विभिन्न योगों के परिणाम समान रूप से संभावित नहीं हैं।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और हर बार उसका परिणाम नोट किया जाता है। यदि सभी उछालों का परिणाम समान हो, अर्थात तीन चित या तीन पट, तो हनीफ जीत जाता है, अन्यथा हार जाता है। हनीफ के खेल हारने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल:
संभावित परिणाम
HHH, TTT, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT = 8
P (खेल जीतना) =28=14
P (खेल हारना) = 1 –14=34

प्रश्न 24.
एक पासा दो बार फेंका जाता है। क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार नहीं आएगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?
[संकेत: एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है।]
हल:
कुल परिणाम = 36
5 के पक्ष में परिणामों की संख्या है (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 6) = 11
(i) P (5 किसी भी बार नहीं आएगा) =2536
(ii) P (5 कम से कम एक बार आएगा) =1136

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन से तर्क सही हैं और कौन से गलत? अपने उत्तर के लिए कारण बताइए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाए, तो तीन संभावित परिणाम हो सकते हैं - दो चित, दो पट या दोनों में से एक। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम के लिए प्रायिकता है:13(ii) यदि
एक पासा फेंका जाता है, तो दो संभावित परिणाम होते हैं - एक विषम संख्या या एक सम संख्या। इसलिए, विषम संख्या आने की प्रायिकता है12हल
:
(i) तर्क गलत है।
संभावित परिणाम (HH), (HT), (TH), (TT) हैं।
P(HH) =14
पी(टीटी) =14
P(HT या TH) =24=12

(ii) तर्क सही है।
संभावित परिणाम = 1, 2, 3, 4, 5, 6
विषम संख्याएँ हैं = 1, 3, 5
P (एक विषम संख्या) =36=12.

Ex 15.2

प्रश्न 1.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार) में एक विशेष दुकान पर जाते हैं। प्रत्येक के किसी भी दिन दुकान पर जाने की संभावना किसी अन्य दिन के समान ही है। क्या संभावना है कि दोनों
(i) एक ही दिन दुकान पर जाएँगे?
(ii) क्रमागत दिन?
(iii) अलग-अलग दिन?
हल:
दिन मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार दिए गए हैं। दिनों का नमूना स्थान।

नमूना स्थान की कुल संख्या = 5 x 5
n(S) = 25
(i) माना कि E एक ही दिन की घटना है
E = (t, t), (w, w), (th, th), (f, f), (s, s)
एक ही दिन घटित घटनाओं की संख्या E = 5
P(E) = 525 = 12 [P(E) = n(E)n(S)]

(ii) मान लीजिए कि F लगातार दिनों की घटना है
n( F) = 8
n(S) = 25
P(F) = n(E)n(S) = 825

(iii) मान लीजिए G विभिन्न दिनों की घटना है
n(G) = 20
P(G) = 2025 = 425

प्रश्न 2.
एक पासे को इस प्रकार क्रमांकित किया गया है कि उसके फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3, 6 अंकित हैं। इसे दो बार उछाला जाता है और दोनों बार प्राप्त कुल अंक नोट किए जाते हैं। निम्नलिखित तालिका को पूरा कीजिए जिसमें दोनों बार प्राप्त कुल अंकों के कुछ मान दिए गए हैं: 

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल अंक कम से कम 6 हों?
(i) सम
(ii) 6
(iii) कम से कम 6

प्रश्न 3.
एक थैले में 5 लाल गेंदें और कुछ नीली गेंदें हैं। यदि नीली गेंद निकलने की प्रायिकता लाल गेंद निकलने की प्रायिकता की दोगुनी है, तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए नीली गेंदों की संख्या x है
। दिया है कि लाल गेंदों की संख्या 5 है।
थैले में गेंदों की कुल संख्या = x + 5
P (लाल गेंद निकलने की प्रायिकता) = \(\frac { x+5 }{ 5 }\)x + 55
P (नीली गेंद प्राप्त करना) = \(\frac { 5 }{ x+5 }\)5x + 5
प्रश्न 2 के अनुसार
(\(\frac { x+5 }{ 5 }\)) = \(\frac { 5 }{ (x+5) }\)x + 55) =5( x + 5 )
10 (x + 15) = x² + 5x
x² – 5x – 50 = 0
x² – 10x + 5x – 50 = 0
x[x – 10] – 5 (x – 10] = 0
(x – 10) (x + 5) = 0
x = – 5 जो संभव नहीं है।
x = 10
इसलिए, नीली गेंदों की संख्या 10 है।

प्रश्न 4.
एक जार में 24 कंचे हैं, जिनमें से कुछ हरे और कुछ नीले हैं। यदि जार से एक कंचा यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है, तो उसके हरे होने की प्रायिकता 23 है। जार में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
जार में कुल मार्बल्स की संख्या = 24
जार में हरे मार्बल्स की कुल संख्या x मान लें
तो नीले मार्बल्स की कुल संख्या = 24 – x
P (हरा मार्बल प्राप्त करना) = x24
प्रश्न के अनुसार
P (हरा मार्बल प्राप्त करना) = 23
x24 = 23
x = 24×23
नीले मार्बल्स की कुल संख्या = 34 – x
= 24 – 16 = 8
इसलिए, जार में 8 नीले मार्बल्स हैं।


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