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 Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 4 in Hindi

Bihar Board 12th Maths Model Question Paper 4 in Hindi

समय : 3 घंटे 15 मिनट
अंक : 100

परिक्षार्थियों के लिए निर्देश

1. परीक्षार्थी यथासंभव अपने शब्दों में ही उत्तर दें।
2. दाहिनी ओर हाशिये पर दिये हुए अंक पूर्णांक निर्दिष्ट करते हैं।
3. उत्तर देते समय परीक्षार्थी यथासंभव शब्द-सीमा का ध्यान रखें।
4. इस प्रश्न पत्र को ध्यानपूर्वक पढ़ने के लिए पन्द्रह मिनट का अतिरिक्त समय दिया गया है।
5. यह प्रश्न-पत्र के दो खण्डों में है, खण्ड-अ एवं खण्ड-ब।
6. खण्ड-अ में 1-50 तक वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं, सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। (प्रत्येक प्रश्न के लिए 1 अंक निर्धारित है), इनके उत्तर उपलब्ध कराये गये OMR शीट में दिये गये वृत्त को काले / नीले बॉल पेन से भरें। किसी भी प्रकार के व्हाइटनर/तरल पदार्थ/ब्लेड/नाखून आदि का OMR-शीट में प्रयोग करना मना है, अन्यथा परीक्षा परिणाम अमान्य होगा।
7. खण्ड-ब में 25 लघुउत्तरीय प्रश्न हैं (प्रत्येक प्रश्न के लिए 2 अंक निर्धारित है) जिनमें से किन्ही 15 प्रश्नों के उत्तर देना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त खण्ड में 08 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक प्रश्न के लिए 05 अंक निर्धारित हैं) जिनमें से किन्हीं 4 प्रश्नों के उत्तर देना है।
8. किसी तरह के इलेक्ट्रॉनिक-यंत्र का इस्तेमाल वर्जित है।

खण्ड-अ : वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 50 तक के प्रत्येक प्रश्न के साथ चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। अपने द्वारा चुने गए सही विकल्प को OMR शीट पर चिह्नित करें। (50 × 1 = 50)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में R = {(1, 2),(2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा परिभाषित संबंध R है। नि्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए :
(a) R स्वतुल्य त? एपित है किन्तु संक्रमक नहीं है।
(b) R स्वत: य तथा पंक्रमक है किंतु सममित नहीं है।
(c) R सपपिन रया संक्रमक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(d) R एक तुल्यता संबंध है।
उत्तर:
(b) R स्वत: य तथा पंक्रमक है किंतु सममित नहीं है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि f(x) = 3x द्वारा परिभाषित फल f : R → R है।
(a) f एकैको आच्छादक है
(b) f बहुएक आच्छादक है
(c) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
उत्तर:
(a) f एकैको आच्छादक है

प्रश्न 3.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रिया की संख्या है:
(a) 10
(b) 16
(c) 20
(d) 8
उत्तर:
(b) 16

प्रश्न 4.
sec2 (tan-1 5) + cosec2 (cot-1 5) बराबर है :
(a) 10
(b) 50
(c) 51
(d) 52
उत्तर:
(d) 52

प्रश्न 5.

उत्तर:
(b) 2π3

प्रश्न 6.

उत्तर:
(d) 1 है

प्रश्न 7.

उत्तर:
(c) 3π4

प्रश्न 8.
tan-1 x + cot-1 x बराबर है :
(a) -π
(b) π2
(c) π3
(d) π4
उत्तर:
(c) π3

प्रश्न 9.
यदि ω समीकरण x3 – 1 = 0 का एक अवास्तविक मूल हो, तो :
∣∣∣∣1ω6⋅2ωω21ω21ω∣∣∣∣=
(a) 0
(b) 1
(c) ω
(d) ω2
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 10.
एक मैट्रिक्स A = [aij]n×n सममित है यदि :
(a) aij = 0
(b) aij= -aji
(c) aij = aji
(d) aij = 1
उत्तर:
(c) aij = aji

प्रश्न 11.
यदि A=⎡⎣⎢111111111⎤⎦⎥ तो A2 है
(a) 27A
(b) 2A
(c) 3A
(d) I
उत्तर:
(c) 3A

प्रश्न 12.
एक मैट्रिक्स A = [aij]n×n विषम सममित है यदि :
(a) aij = 0
(b) aij = aji
(c) aij = -aji
(d) aij = 0
उत्तर:
(c) aij = -aji

प्रश्न 13.
सारणिक ∣∣∣∣352105723∣∣∣∣ के मान =
(a) 124
(b) 125
(c) 134
(d) 144
उत्तर:
(c) 134

प्रश्न 14.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो सारणिक ∣∣∣∣x+2x+3x+4x+3x+4x+5x+2ax+2bx+2c∣∣∣∣ है :
(a) 1
(b) x
(c) 0
(d) 2x
उत्तर:
(c) 0

प्रश्न 15.
PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबन्य होगा?
(a) k = 3, p = n
(b) k स्वेच्छ है, p = 2
(c) p स्वेच्छ है, k = 3
(d) k = 2, p = 3
उत्तर:
(a) k = 3, p = n

प्रश्न 16.

उत्तर:
(a) ⎡⎣⎢x−1000y−1000z−1⎤⎦⎥

प्रश्न 17.
यदि y = log(log x) तब dydx का मान होगा।
(a) x log x
(b) xlogx
(c) logx
(d) 1x
उत्तर:
(b) xlogx

प्रश्न 18.
यदि f(x) = sin (x2) तब dfdx बराबर होगा:
(a) 2x sin x2
(b) 2x cos x2
(c) 2 cos x
(d) 2x sin x
उत्तर:
(b) 2x cos x2

प्रश्न 19.

उत्तर:
(d) 12

प्रश्न 20.
रोले प्रमेय का प्रयोग कर वक्र f(x) = (x – 1) (x – 2) का [-1, 2] का वह बिन्दु जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है :
(a) (-1, 0)
(b) (2, 0)
(c) (12,−94)
(d) (12,94)
उत्तर:
(a) (-1, 0)

प्रश्न 21.
एक उत्पाद की इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपये में R(x) = 3x2 + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तब सीमांत आय है :
(a) 116 रु.
(b) 96 रु.
(c) 90 रु.
(d) 126 रु.
उत्तर:
(d) 126 रु.

प्रश्न 22.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/sec की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर होगी जब r = 4.9 cm हो
(a) 0.7π cm/sec
(b) π cm/sec
(c) 2.1π cm/sec
(d) 1.4π cm/sec
उत्तर:
(d) 1.4π cm/sec

प्रश्न 23.
यदि θ+ϕ=π3 तो sinθ.sinφ का अधिकतम मान होगा जब θ का मान होगा:
(a) π4
(b) π3
(c) π6
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) π6

प्रश्न 24.
एक वृत्त के त्रिज्या r = 6 सेमी पर r के सापेक्ष वृत्त के क्षेत्रफल की परिवर्तन की दर है:
(a) 10π सेमी2/सेमी
(b) 12π सेमी2/सेमी
(c) 8π सेमी2/सेमी
(d) 11π सेमी2/सेमी
उत्तर:
(b) 12π सेमी2/सेमी

प्रश्न 25.
∫π/40sin2xdx का मान है :
(a) 1
(b) 12
(c) 13
(d) 14
उत्तर:
(b) 12

प्रश्न 26.
∫1.dx =
(a) x + k
(b) 1 + k
(c) x22+k
(d) log x + k
उत्तर:
(a) x + k

प्रश्न 27.
∫dxx√=
(a) √x + k
(b) 2√x + k
(c) x + k
(d) 23x3/2+k
उत्तर:
(b) 2√x + k

प्रश्न 28.
∫bax5dx=
(a) b5 – a5
(b) b6−a66
(c) a6−b66
(d) a5 – b5
उत्तर:
(b) b6−a66

प्रश्न 29.
∫ logx dx बराबर है :
(a) x log x + x + C
(b) x log x – x + C
(c) log x + x + C
(d) log x – x + C
उत्तर:
(b) x log x – x + C

प्रश्न 30.
∫10tan−1(2x−11+x−x2)dx का मान है :
(a) 1
(b) 0
(c) -1
(d) π4
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 31.
वक्र |x| + |y| = 1 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(a) 4
(b) 8
(c) 2
(d) 1
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 32.
अवकल समीकरण (d2ydx2)3+(dydx)2+sin(dydx)+1=0 की घात है:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) परिभाषित नहीं
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 33.
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
उत्तर:
(d) 4

प्रश्न 34.
अवकल समीकरण dydx=xy का हल है
(a) x – y = k
(b) x2 – y2 = k
(c) x3 – y3 = k
(d) xy = k
उत्तर:
(b) x2 – y2 = k

प्रश्न 35.
रैखिक अवकल समीकरण dydx = y sec2x = tan x sec2x का समाकलन गुणक है
(a) tan x
(b) etan x
(c) log tan x
(d) tan2 x
उत्तर:
(b) etan x

प्रश्न 36.
अवकल समीकरण ydx−xdyy=0 का व्यापक हल है :
(a) xy = c
(b) x = cy2
(c) y = cx
(d) y = cx2
उत्तर:
(c) y = cx

प्रश्न 37.
यदि |a⃗ ×b⃗ |=|a⃗ ⋅b⃗ | तो a⃗  और b⃗  के बीच का कोण होगा:
(a) 0
(b) π2
(c) π4
(d) π
उत्तर:
(c) π4

प्रश्न 38.

उत्तर:
(b) 3i⃗ −j⃗ +5k⃗ 

प्रश्न 39.

उत्तर:
(b) a⃗ ⊥b⃗ 

प्रश्न 40.
सदिश 2i⃗ −7j⃗ −3k⃗  का मापांक है :
(a) √61
(b) √62
(c) √64
(d) √32
उत्तर:
(b) √62

प्रश्न 41.
समतल 2x – 3y – 6z – 3 = 0 के अभिलम्ब की दिक्कोज्याएँ हैं :
(a) 27,−37,−67
(b) 27,37,67
(c) −27,37,−67
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) 27,−37,−67

प्रश्न 42.
यदि रेखा x−x1l=y−y1m=z−z1n तल ax + by + cz + d = 0 के समांतर हो, तो :
(a) al=bm=cn
(b) al + bm + cn = 0
(c) al2 + bm2 + cn2 = 0
(d) a2l2 + b2m2 + c2n2 = 0
उत्तर:
(b) al + bm + cn = 0

प्रश्न 43.
यदि एक सरल रेखा x, y और z अक्षों के साथ क्रमशः α, β और γ कोण बनाती है, तब
(a) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = -1
(b) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2
(c) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 2
(d) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
उत्तर:
(b) sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2

प्रश्न 44.
समतल 2x – 3y + 4z – 6 = 0 की मूल बिन्दु से दूरी है :
(a) 229√
(b) 429√
(c) 629√
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(c) 629√

प्रश्न 45.
एक रेखा की दिक् अनुपात 2, -1, -2 है तब इसकी दिक कोज्याएँ हैं :
(a) 23,−13,−23
(b) −13,23,−23
(c) 23,−23,13
(d) 13,23,−23
उत्तर:
(a) 23,−13,−23

प्रश्न 46.

उत्तर:
(b) 49

प्रश्न 47.
यदि A और B ऐसे हैं कि P(a) > 0 और P(b) ≠ 1 तब P(A/B) बराबर है:

उत्तर:
(c) 1−P(A∪B)P(B)

प्रश्न 48.
यदि P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 और P(E ∩ F) = 0.2 है तब P(EF) तथा P(FE) है:
(a) 23 तथा 13
(b) 13 तथा 23
(c) 43 तथा 23
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(a) 23 तथा 13

प्रश्न 49.
यदि A और B दो घटनाएँ एक ही यादृच्छिक प्रयोग से जुड़े हो ताकि P(a) = 0.4, P(b) = 0.8 और P(B/A) = 0.6 तब P(A/B) बराबर है:
(a) 0.3
(b) 0.4
(c) 0.5
(d) 0.6
उत्तर:
(a) 0.3

प्रश्न 50.
सुसंगत क्षेत्र कोई बिन्दु जो उद्देश्य फलन का उच्चतम या निम्नतम मान देता है, कहा जाता है
(a) अधिकतम मान
(b) इस्टतम मान
(c) निम्नतम मान
(d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(b) इस्टतम मान

खण्ड-ब : गैर-वस्तुनिष्ठ प्रश्न

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 1 से 25 तक लघु उत्तरीय कोटि के हैं। प्रत्येक के लिए 2 अंक निर्धारित हैं। इनमें से किसी 15 प्रश्न का उत्तर दें। (15 × 2 = 30)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल :
दिया है, f : N → N इस प्रकार परिभाषित है कि

1 और 2 का f-प्रतिबिम्ब 1 है
f एकैकी नहीं है।
सहप्रांत का प्रत्येक अवयव प्रांत के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
चूँकि 1, संख्या 1 और 2 का प्रतिबिम्ब है।
f आच्छादक है।
अतः f एकैकी नहीं परन्तु आच्छादक है।

प्रश्न 2.
ΔADC में, यदि A = tan-1 2 तथा B = tan-1 3 हो तो सिद्ध करें कि C = π/4.
हल :

प्रश्न 3.
सिद्ध करें कि 2tan−113+tan−117=π4
हल :

प्रश्न 4.
x के किस मान के लिए : [1211102201]⎡⎣⎢12x0⎤⎦⎥=0 होगा?
हल :

प्रश्न 6.
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :

प्रश्न 7.
बिना प्रसरण किए और सारणिको गुणधर्मो कर प्रयोग कर सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 8.
यदि y = log tan (π4+x2) तो सिद्ध करें कि dydx – sex = 0.
हल :

प्रश्न 9.
x के सापेक्ष अवकलन कीजिए : (log x)cos x
हल :
मान लिया कि y = (log x)cos x
log y = cos x log (log x)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
अवकलन कीजिए :
फलन f(x) = x2 + 2x – 8, x ∈ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए:
हल :
मान लिया कि फलन f(x) = x2 + 2x – 8 अन्तराल [-4, 2] में
(a) फलन अन्तराल [-4, 2] में संतत है क्योंकि यह एक बहुपद है और बहुपद फलन संतत होता है।
(b) f'(x) = 2x + 2, f'(x) का अन्तराल (-4, 2), में अस्तित्व है।
अतः फलन अवकलनीय है।
(c) f(-4) = 0 और f(2) = 0 ⇒ f(-4) = f(2)
इस प्रकार रोले प्रमेय सन्तुष्ट होता है, इसलिए एक बिन्दु c ∈ (4, 2) ऐसा होना चाहिए ताकि
f'(c) = 0 ⇒ 2c + 2 = 0 ⇒ c = -1.

प्रश्न 11.
समाकलन कीजिए : ∫tan4x dx
हल :

प्रश्न 13.
क्नमलिंखत का समाकलन ज़ात कीरिए : 1−x√1+x√−−−−√
हल :

प्रश्न 14.
व्यापक हल ज्ञात कीजिए : dydx=1−cosx1+cosx
हल :

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण (tan-1 y – x) dy = (1 + y2) dx को हल कीजिए।
हल :

प्रश्न 16.
किसी ΔABC में, सिद्ध कीजिए कि asinA=bsinB=csinC
हल :

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु a⃗ −2b⃗ +3c⃗ ,2a⃗ +3b⃗ −4c⃗  तथा −7b⃗ +10c⃗  सरेख हैं।
हल :
माना कि O मूल बिन्दु है तब प्रश्नानुसार

प्रश्न 18.
दर्शाइए कि बिंदु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7) सरेख हैं।
हल:
मान लिया कि दिए गए बिन्दुएँ A (2, 3, 4), B (-1, -2, 1), C(5, 8, 7) हैं।
रेखा AB की दिक् अनुपात x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1
अर्थात (-1 – 2), (-2 – 3), (1 – 4)
या, -3, -5, -3
और रेखा BC की दिक् अनुपात 5 – (-1), 8 – (-2), (7 – 1)
या, 6, 10,6 जो AB के-2 गुना हैं।
अर्थात AB और BC के समान दिक् अनुपात हैं।
AB || BC और ABतथा BC में बिन्दु B उभयनिष्ठ हैं।
अत: A, B, C सरेख हैं।

प्रश्न 19.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं P (1, -2, 3) और Q(4, 7, 8) को मिलाने वाली रेखा XY-तल को काटती है।
हल :
बिन्दुएँ P(1, -2, 3) और Q (4, 7, 8) से जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण

प्रश्न 20.
रेखा युग्म के बीच का कोण ज्ञात कीजिए :

हल :

प्रश्न 21.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लीजिए A घटना “सिक्के पर चित प्रकट होता है’ और B घटना ‘पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?
हल :
जब एक सिक्के को उछाला जाता है तब चित या पट आता है।
चित आने की प्रायिकता P(A) = 12
जब पासे को उछाला जाता है तब 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई एक आता है।
3 प्राप्त होने की प्रायिकता = P(B) = 16
जब एक सिक्के और पासे को उछाला जाता है तब संभव परिणाम
H1, H2, H3, H4, H5, H6
T1, T2, T3, T4, T5, T6
चित और 3 केवल एक ही बार प्राप्त होता है।
चित और 3 प्राप्त होने की प्राचिकता = 112
अर्थात P(A ∩ B) = 112
P(A) × P(B) = 12×16=112
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
अतः घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं।

प्रश्न 22.
7 या 11 आने की क्या प्रायिकता होंगे यदि दो पासे फेंके जाते हैं?
हल :
चूँकि एक पासा में छ: फलक होते हैं, इसलिए दो पासे में 6 × 6 फलक होंगे।
इस प्रकार दो पासे को फेंकने पर कुल प्रतिदर्श
n(S) = 6 × 6 = 36
माना कि 7 आने की घटना A है, तब
A = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
⇒ n(a) = 6
फिर यदि 11 आने की घटना B हो,
तो B = {(5, 6), (6, 5)}
⇒ n(b) = 2

प्रश्न 23.
X और Y ज्ञात कीजिए यदि
X + Y = [7205] और X – Y = [3003]
हल :

प्रश्न 24.
यदि A = [34−2−2] और I = [1001] एवं A2 = kA – 2I. हो तो k का मान ज़ांत कीजिए।
हल :

हल :

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 33 तक दीर्घ उत्तरीय कोटि के प्रश्न हैं। प्रत्येक के लिए 5 अंक निर्धारित हैं। प्रत्येक प्रश्न के साथ “अथवा” का विकल्प दिया गया है। आपको प्रश्न या अथवा में से किसी एक का उत्तर देना है।

प्रश्न 26.
फलन f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 1 का अन्तराल [1, 5] पर निरपेक्ष महत्तम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल :
f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 1
⇒ f'(x) = 6x2 – 30x + 36
⇒ f'(x) = 6(x2 – 5x + 6) = 6(x – 3)(x – 2)
यदि f'(x) = 0 तब x = 2, x = 31
अब अन्तराल [1, 5] तथा x = 2, x = 3 पर fका मान करते हैं :
f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 1
⇒ f(1) = 2 – 15 + 36 + 1 = 39 – 15 = 24
f(2) = 2 × 23 – 15 × 22 + 36 × 2 + 1 = 16 – 60 + 72 + 1 = 89 – 60 = 29
f(3) = 2 × 33 – 15 × 32 + 36 × 3 + 1 = 54 – 135 + 108 + 1 = 163 – 135 = 28
f(5) = 2 × 53 – 15 × 52 + 36 × 5 + 1 = 250 – 375 + 180 + 1 = 56
इस प्रकार फलन fनिरपेक्ष महत्तम मान [1, 5] पर 56, x = 5 पर और न्यूनतम मान 2y, x = 1 पर है।

प्रश्न 27.
लैग्रांजे माध्यमान प्रमेय की सत्यता जाँचें जबकि फलन f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) अंतराल में [0, 4].
हल :
दिया गया फलन, f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), [0, 4]
अन्तराल में,
⇒ f(x) = (x2 – x – 2x + 2) (x – 3)
⇒ f(x) = (x2 – 3x + 2) (x – 3) = x3 – 3x2 + 2x – 3x + 9x – 6
⇒ f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6
चूँकि f(x) एक बहुपद फलन है और बहुपद फलन संतत होता है, अर्थात् f(x), [0, 4] में संतत है।
साथ ही, f'(x) = 3x2 – 2x + 11, का अन्तराल ]0, 4[ में अस्तित्व है।
इस प्रकार f(x), ]0, 4[ में अवकलनीय है।
अत: लेग्रांजे प्रमेय का दोनों शर्त सन्तुष्ट होता है।
c ∈ ]0, 4[ का अस्तित्व है।

स्पष्ट है कि c के दोनों मान अन्तराल ]0, 4[ के बीच स्थित है। इस प्रकार लेग्रांजे मध्यमान प्रमेय का जाँच हो जाता है।

प्रश्न 28.
मान ज्ञात कीजिए :

हल :

प्रश्न 29.
वक्रों (x – 1)2 + y2 = 1 एवं x2 + y2 = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया वृत्त x2 + y2 = 1 …(1)
और (x – 1)2 + y2 = 1 …(2)
वृत्त (1) का केन्द्र O (0, 0) और त्रिज्या = 1 है।
वृत्त (2) का केन्द्र O (1, 0) और त्रिज्या = 1 है।
दोनों वृत्त -अक्ष के परितः सममित है।
(1) और (2) को हल करने पर,

प्रश्न 30.
दर्शाइए कि बिंदु A, B और C जिनके स्थिति सदिश क्रमशः a⃗ =3i^−4j^−4k^,b⃗ =2i^−j^+k^ और c⃗ =i^−3j^−5k^, हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल :
मान लिया कि A,B और C के स्थिति सदिश क्रमशः

प्रश्न 31.

प्रश्न 32.
न्यूनतमीकरण करें Z = x + 2y जबकि 2x + y ≥ 3, x + 2y ≥ 6, x, y ≥ 0.
हल :
दिए गए व्यवरोधों 2x + y ≥ 3 ⇒ 2x + y = 3 …. (1)
x + 2y ≥ 6 ⇒ x + 2y = 6 …… (2)
x, y ≥ 0 ⇒ x = 0, y = 0 …(3)
के अन्तर्गत उद्देश्य फलन Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण करना है। सर्वप्रथम असमीकरण (1) से (3) के संगत समीकरण का आलेख खींचते हैं।

आलेख से स्पष्ट है कि रेखा 2x + y = 3 क्वन्दु (32, 0) और (0, 3) से गुजरती है।
2x + y ≥ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 3 पाते हैं।
2x + y ≥ 3 का क्षेत्र रेखा पर और रेखा के ऊपर वाला भाग है।
इसी प्रकार रेखा x + 2y = 6 बिन्दुएँ A(6, 0) और B(0, 3) से गुजरती है।
x + 2y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 6 पाते हैं।
x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र रेखा पर और रेखा के ऊपर वाला भाग है।
x ≥ 0, y-अक्ष और y-अक्ष के दाहिने और स्थित है।
y ≥ 0, x-अक्ष और x-अक्ष के ऊपर की ओर स्थित है।
इस प्रकार रेखा AB के ऊपर वाला छायांकित भाग XABY सम्भाव्य क्षेत्र है।
अब रेखा AB के बिन्दुएँ A(6, 0) तथा B(0, 3) से उद्देश्य फलन Z = x + 2y न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
बिन्दुएँ Z = x + 2y
A(6, 0), Z = 6 + 2 × 0 = 6
A(0, 3), Z = 0 + 2 × 3 = 6
अतः उद्देश्य फलन Z का उभयनिष्ठ न्यूनतम मान 6 है।

प्रश्न 33.
एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है। जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs. 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों से 7.00 पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट
उत्पादित किए जाएं ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
हल :
मान लिया कि x पैकेट नट और y पैकेट का उत्पादन किया जाता है।
दिया है

मशीन A के उपयोग का समय = x + 3y घंटे
उपलब्ध समय = 12 घंटे
x + 3y ≤ 12
मशीन B के उपयोग का समय = 3x + y घंटे
उपलब्ध समय = 12 घंटे
3x + y ≤ 12
कुल लाभ = 17.50x + 7.00y
अर्थात उद्देश्य फलन = 17.5x + 7y
अवरोध है: x + 3y ≤ 12, 3x + y ≤ 12, x, y ≥ 0

x + 3y ≤ 12 के संगत रेखा का समीकरण x + 3y = 12 बिंदु A (12, 0) और B (0, 4) से होकर जाती है।
x + 3y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो सत्य है।
अर्थात x + 3y ≤ 12 क्षेत्र के बिंदु AB पर और उस के नीचे स्थित है।
3x + y ≤ 12 के संगत रेखा का समीकरण 3x + y = 12 बिंदु C (4, 0) और D (0, 12) से होकर जाती है।
3x + y ≤ 12 में x =0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो सत्य है।
अर्थात 3x + y ≤ 12 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर या उसके नीचे स्थित है।
x ≥ 0 क्षेत्र के बिंदु y-अक्ष पर और उस की दायीं ओर है।
y ≥ 0 क्षेत्र के बिंदु x-अक्ष पर और उस के ऊपर हैं।
रेखा AB : x + 3y = 12 और रेखा CD : 3x + y = 12 बिंदु P (3, 3) पर प्रतिच्छेद करती है।
इस प्रकार समस्या का सुसंगत क्षेत्र OCPB है।
उद्देश्य फलन Z = 17.5x + 7y है।
C (4, 0) पर Z = 17.5 × 4 + 0 = 7y
P(3, 3) पर Z = 17.5 × 3 + 7 × 3 = 73.5
B (0, 4) पर Z = 0 + 7 × 4 = 28
अतः अधिकतम लाभ Rs. 73.5 होगा जब 3 नट और 3 बोल्ट के पैकेट का उत्पादन किया जाए।