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 NCERT Class 8 Maths Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण

Ex 2.1

प्रश्न 1.
समीकरण हल करें: x – 2 = 7.
हल:
दिया गया है: x – 2 = 7
⇒ x – 2 + 2 = 7 + 2 (दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर)
⇒ x = 9 (आवश्यक हल)

प्रश्न 2.
समीकरण हल करें: y + 3 = 10.
दिया गया है: y + 3 = 10
⇒ y + 3 – 3 = 10 – 3 (प्रत्येक पक्ष से 3 घटाने पर)
⇒ y = 7 (आवश्यक हल)

प्रश्न 3.
समीकरण हल करें: 6 = z + 2
हल:
हमारे पास है 6 = z + 2
⇒ 6 – 2 = z + 2 – 2 (प्रत्येक पक्ष से 2 घटाना)
⇒ 4 = z
इस प्रकार, z = 4 अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
37+x=177
हल:
37+x=177
37 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर, हम पाते हैं
x = 177−37=17−37=147=2
∴ x = 2

प्रश्न 5.
6x = 12
हल:
6x = 12
दोनों तरफ 6 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है
6x6=126
∴ x = 2

प्रश्न 6.
t5=10
हल:
t5 = 10
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर, हमें
t5 × 5 = 10 × 5
∴ t = 50 प्राप्त होता है

प्रश्न 7.
2x3=18
हल:
2x3=18
दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
2x3 × 3 = 18 × 3
2x = 18 × 3
x = 18×32 = 9 × 3 = 27
∴ x = 27

प्रश्न 8.
1.6 = y1.5
हल:
1.6 = y1.5
दोनों पक्षों को 1.5 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
1.6 × 1.5 = y1.5 × 1.5
2.4 = y
∴ y = 2.4

प्रश्न 9.
7x – 9 = 16
हल:
7x – 9 = 16 (-9) को RHS में स्थानांतरित करने पर, हमें 7x = 16 + 9
मिलता है दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करने पर, हमें मिलता है ∴ x = 257

प्रश्न 10.
14y – 8 = 13
हल:
14y – 8 = 13
(-8) को RHS में स्थानांतरित करने पर, हमें प्राप्त होता है
14y = 13 + 8
14y = 21
दोनों पक्षों को 14 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है,
14y14 = 2114
∴ y = 32

प्रश्न 11.
17 + 6p = 9
हल:
17 + 6P = 9
17 को RHS में स्थानांतरित करने पर, हमें
6P = 9 – 17
6P = -8 मिलता है
दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर, हमें
6P6=−86 मिलता है
∴ P = −43

प्रश्न 12.
x3+1=715
हल:
x3+1=715
1 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर, हम पाते हैं
x3=715−1
x3=7−1515
x3=−815
दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
x3×3=−815×3
∴ x = −85

Ex 2.2

प्रश्न 1.
यदि आप किसी संख्या में से 12 घटाते हैं और परिणाम 12 को 18 से गुणा करते हैं तो आपको 18 प्राप्त होता है। संख्या क्या है?
हल।

प्रश्न 2.
एक आयताकार स्विमिंग पूल का परिमाप 154 मीटर है। इसकी लंबाई इसकी चौड़ाई के दोगुने से 2 मीटर अधिक है। पूल की लंबाई और चौड़ाई क्या है?
हल:
मान लीजिए पूल की चौड़ाई x मीटर है।
शर्त I: लंबाई = (2x + 2) मीटर।
शर्त II: परिमाप = 154 मीटर।
हम जानते हैं कि आयत का परिमाप = 2 × [लंबाई + चौड़ाई]
2 × [2x + 2 + x] = 154
⇒ 2 × [3x + 2] = 154
⇒ 6x + 4 = 154 (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ 6x = 154 – 4 [4 को (+) से (-) में स्थानांतरित करने पर]
⇒ 6x = 150
⇒ x = 150 ÷ ​​6 [6 को (×) से (÷) में स्थानांतरित करने पर]
⇒ x = 25
इस प्रकार, आवश्यक चौड़ाई = 25 मीटर
और लंबाई = 2 × 25 + 2 = 50 + 2 = 52 मीटर।

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 43 सेमी है। त्रिभुज का परिमाप 4215 सेमी है। शेष बराबर भुजाओं में से किसी एक की लंबाई क्या है?
हल:

प्रश्न 4.
दो संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना छोटी संख्या x है,
तो बड़ी संख्या = x + 15
दो संख्याओं का योग = 95
x + (x + 15) = 95
2x + 15 = 95
15 को दाएँ पक्ष में रखने पर, हम पाते हैं
2x = 95 – 15 = 80
दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर
x = \(\frac{80}{2}\) = 40 ∴ छोटी संख्या = 40 बड़ी संख्या = (40 + 15) = 55802= 40

प्रश्न 5.
दो संख्याएँ 5 : 3 के अनुपात में हैं। यदि उनका अंतर 18 है, तो वे संख्याएँ क्या हैं?
हल:
मान लीजिए दोनों संख्याएँ 5x और 3x हैं।
शर्तों के अनुसार, हम पाते हैं
: 5x – 3x = 18
⇒ 2x = 18
⇒ x = 18 ÷ 2 [(×) से (÷) में 2 का स्थानान्तरण]
⇒ x = 9.
इस प्रकार, अभीष्ट संख्याएँ 5 × 9 = 45 और 3 × 9 = 27 हैं।

प्रश्न 6.
तीन क्रमागत पूर्णांकों का योग 51 होता है। ये पूर्णांक क्या हैं?
हल:
मान लीजिए कि तीन क्रमागत पूर्णांक x, x + 1 और x + 2 हैं।
शर्त के अनुसार, हम पाते हैं
कि x + (x + 1) + (x + 2) = 51
⇒ x + x + 1 + x + 2 = 51
⇒ 3x + 3 = 51
⇒ 3x = 51 – 3 [3 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर]
⇒ 3x = 48
⇒ x = 48 ÷ 3 [3 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर]
⇒ x = 16
इस प्रकार, अभीष्ट पूर्णांक 16, 16 + 1 = 17 और 16 + 2 = 18, अर्थात् 16, 17 और 18 हैं।

प्रश्न 7.
8 के तीन क्रमागत गुणजों का योग 888 है। गुणज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 8 के तीन क्रमागत गुणज 8x, 8x + 8 और 8x + 16 हैं।
शर्तों के अनुसार, हम पाते हैं
8x + (8x + 8) + (8x + 16) = 888
⇒ 8x + 8x + 8 + 8x + 16 = 888
⇒ 24x + 24 = 888
⇒ 24x = 888 – 24 (24 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 24x = 864
⇒ x = 864 ÷ 24 (24 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)

⇒ x = 36
इस प्रकार, आवश्यक गुणज
36 × 8 = 288, 36 × 8 + 8 = 296 और 36 × 8 + 16 = 304 हैं,
अर्थात, 288, 296 और 304.

प्रश्न 8.
तीन क्रमागत पूर्णांक इस प्रकार हैं कि जब उन्हें बढ़ते क्रम में लिया जाता है और क्रमशः 2, 3 और 4 से गुणा किया जाता है, तो उनका योग 74 होता है। इन संख्याओं को ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि तीन क्रमागत पूर्णांक x, x + 1 और x + 2 हैं।
शर्त के अनुसार, हमारे पास है
2x + 3(x + 1) + 4(x + 2) = 74
⇒ 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
⇒ 9x + 11 = 74
⇒ 9x = 74 – 11 (11 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 9x = 63
⇒ x = 63 ÷ 9
⇒ x = 7 (7 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
इस प्रकार, आवश्यक संख्याएँ 7, 7 + 1 = 8 और 7 + 2 = 9, यानी, 7, 8 और 9 हैं।

प्रश्न 9.
राहुल और हारून की आयु का अनुपात 5:7 है। चार वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष होगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
माना राहुल और हारून की वर्तमान आयु क्रमशः 5x वर्ष और 7x वर्ष है।
4 वर्ष बाद, राहुल की आयु (5x + 4) वर्ष होगी।
4 वर्ष बाद, हारून की आयु (7x + 4) वर्ष होगी।
शर्तों के अनुसार, हम पाते हैं
(5x + 4) + (7x + 4) = 56
⇒ 5x + 4 + 7x + 4 = 56
⇒ 12x + 8 = 56
⇒ 12x = 56 – 8 (8 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 12x = 48
⇒ x = 48 ÷ 12 = 4 (12 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
अतः, राहुल की आवश्यक आयु = 5 × 4 = 20 वर्ष
और हारून की आवश्यक आयु = 7 × 4 = 28 वर्ष।

प्रश्न 10.
एक कक्षा में लड़के और लड़कियों की संख्या 7 : 5 के अनुपात में है। लड़कों की संख्या लड़कियों की संख्या से 8 अधिक है। कक्षा में कुल छात्र संख्या कितनी है?
हल:
माना लड़कों की संख्या 7x
और लड़कियों की संख्या 5x है।
शर्तों के अनुसार, हम पाते हैं:
7x – 5x = 8
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8 ÷ 2 = 4 (2 को दाएँ पक्ष में रखने पर)
लड़कों की आवश्यक संख्या = 7 × 4 = 28
और लड़कियों की संख्या = 5 × 4 = 20
अतः, कक्षा में कुल छात्र संख्या = 28 + 20 = 48

प्रश्न 11.
बाइचुंग के पिता, बाइचुंग के दादा से 26 वर्ष छोटे और बाइचुंग से 29 वर्ष बड़े हैं। तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है। उनमें से प्रत्येक की आयु क्या है?
हल:
मान लीजिए बाइचुंग की आयु x वर्ष है।
उसके पिता की आयु = x + 29 वर्ष,
और उसके दादा की आयु = x + 29 + 26 = (x + 55) वर्ष।
शर्तों के अनुसार, हम पाते हैं
x + x + 29 + x + 55 = 135
⇒ 3x + 84 = 135
⇒ 3x = 135 – 84 (84 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 3x = 51
⇒ x = 51 ÷ 3 (3 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ x = 17
अतः बाइचुंग की आयु = 17 वर्ष
बाइचुंग के पिता की आयु = 17 + 29 = 46 वर्ष,
और दादा की आयु = 46 + 26 = 72 वर्ष।

प्रश्न 12.
अब से पंद्रह वर्ष बाद रवि की आयु उसकी वर्तमान आयु की चार गुनी हो जाएगी। रवि की वर्तमान आयु क्या है?
हल:
माना रवि की वर्तमान आयु x वर्ष है।
15 वर्ष बाद, उसकी आयु = (x + 15) वर्ष होगी।
शर्तों के अनुसार, हम पाते हैं
: ⇒ x + 15 = 4x
⇒ 15 = 4x – x (x को RHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 15 = 3x
⇒ 15 ÷ 3 = x (3 को LHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ x = 5
अतः, रवि की वर्तमान आयु = 5 वर्ष।

प्रश्न 13.
एक परिमेय संख्या ऐसी है कि जब आप इसे 52 से गुणा करते हैं और गुणनफल में 23 जोड़ते हैं, तो आपको −712 प्राप्त होता है। वह संख्या क्या है?
हल।

प्रश्न 14.
लक्ष्मी एक बैंक में कैशियर है। उसके पास क्रमशः ₹ 100, ₹ 50 और ₹ 10 मूल्यवर्ग के नोट हैं। इन नोटों का अनुपात 2 : 3 : 5 है। लक्ष्मी के पास कुल नकद ₹ 4,00,000 है। उसके पास प्रत्येक मूल्यवर्ग के कितने नोट हैं?
हल:
मान लीजिए ₹ 100, ₹ 50 और ₹ 10 के नोटों की संख्या क्रमशः 2x, 3x और 5x है।
सभी मूल्यवर्गों को रुपये में बदलने पर, हमारे पास
2x × 100, 3x × 50 और 5x × 10 यानी 200x, 150x और 50x हैं।
शर्तों के अनुसार, हमारे पास
200x + 150x + 50x = 4,00,000
⇒ 400x = 4,00,000
⇒ x = 4,00,000 ÷ 400 (400 को RHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ x = 1,000
इसलिए, ₹ 100 के नोटों की आवश्यक संख्या
= 2 × 1000 = 2000
₹ 50 के नोट = 3 × 1000 = 3000
और ₹ 10 के नोट = 5 × 1000 = 5000

प्रश्न 15.
मेरे पास ₹ 1, ₹ 2 और ₹ 5 मूल्यवर्ग के कुल ₹ 300 मूल्य के सिक्के हैं। ₹ 2 के सिक्कों की संख्या ₹ 5 के सिक्कों की संख्या की तीन गुनी है। कुल सिक्कों की संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक मूल्यवर्ग के कितने सिक्के हैं?
हल:
मान लीजिए ₹ 5 के सिक्कों की संख्या x है।
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 3x
कुल सिक्कों की संख्या = 160
₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 160 – (x + 3x) = 160 – 4x
सिक्कों की संख्या को रुपये में बदलने पर, हमारे पास
₹ 5 के x सिक्के हैं जिनकी राशि ₹ 5x है
₹ 2 के 3x सिक्के हैं जिनकी राशि ₹ 3x × 2 = ₹ 6x है
और ₹ 1 के (160 – 4x) सिक्के हैं जिनकी राशि ₹ 1 × (160 – 4x) = ₹ (160 – 4x) है
शर्तों के अनुसार, हमारे पास
5x + 6x + 160 – 4x = 300
⇒ 7x + 160 = 300
⇒ 7x = 300 – 160 (160 को RHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 7x = 140
⇒ x = 140 ÷ 7 (7 को दाएँ पक्ष में रखने पर)
⇒ x = 20
इस प्रकार, ₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 3 × 20 = 60
और ₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 160 – 4 × 20 = 160 – 80 = 80

प्रश्न 16.
एक निबंध प्रतियोगिता के आयोजकों ने निर्णय लिया कि प्रतियोगिता में विजेता को ₹ 100 का पुरस्कार मिलेगा और जो प्रतिभागी नहीं जीतता है उसे ₹ 25 का पुरस्कार मिलेगा। वितरित कुल पुरस्कार राशि ₹ 3,000 है। यदि प्रतिभागियों की कुल संख्या 63 है, तो विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना विजेताओं की संख्या = x
पुरस्कार नहीं जीतने वाले प्रतिभागियों की संख्या = (63 – x)
विजेताओं को मिली राशि = ₹ 100 × x = ₹ 100x
हारने वालों को मिली राशि = ₹ (63 – x) × 25 = ₹ (1575 – 25x)
शर्तों के अनुसार, हम पाते हैं
100x + 1575 – 25x = 3000
⇒ 75x + 1575 = 3000
⇒ 75x = 3000 – 1575 (1575 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 75x = 1425
⇒ x = 1425 ÷ 75 (75 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)

⇒ x = 19
इस प्रकार, विजेताओं की संख्या = 19

Ex 2.3

प्रश्न 1.
3x = 2x + 18
हल:
हमारे पास है 3x = 2x + 18
⇒ 3x – 2x = 18 (2x को बाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ x = 18
अतः, x = 18 अभीष्ट हल है।
जाँच करें: 3x = 2x + 18
x = 18 रखने पर, हमारे पास है
बाएँ पक्ष = 3 × 18 = 54
दाएँ पक्ष = 2 × 18 + 18 = 36 + 18 = 54 बाएँ
पक्ष = दाएँ पक्ष
अतः सत्यापित।

प्रश्न 2.
5t – 3 = 3t – 5
हल:
हमारे पास है 5t – 3 = 3t – 5
⇒ 5t – 3t – 3 = -5 (3t को बाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 2t = -5 + 3 (-3 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 2t = -2
⇒ t = -2 ÷ 2
⇒ t = -1
अतः t = -1 अभीष्ट हल है।
जाँच करें: 5t – 3 = 3t – 5
t = -1 रखने पर, हमारे पास है
बाएँ पक्ष = 5t – 3 = 5 × (-1)-3 = -5 – 3 = -8
दाएँ पक्ष = 3t – 5 = 3 × (-1) – 5 = -3 – 5 = -8
बाएँ पक्ष = दाएँ पक्ष
अतः सत्यापित।

प्रश्न 3.
5x + 9 = 5 + 3x
हल:
हमारे पास है 5x + 9 = 5 + 3x
⇒ 5x – 3x + 9 = 5 (3x को बाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर) => 2x + 9 = 5
⇒ 2x = 5 – 9 (9 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 2x = -4
⇒ x = -4 ÷ 2 = -2
अतः x = -2 अभीष्ट हल है।
जाँच करें: 5x + 9 = 5 + 3x
x = -2 रखने पर, हमारे पास है
बाएँ पक्ष = 5 × (-2) + 9 = -10 + 9 = -1
दाएँ पक्ष = 5 + 3 × (-2) = 5 – 6 = -1
बाएँ पक्ष = दाएँ पक्ष
अतः सत्यापित।

प्रश्न 4.
2x – 1 = 14 – x
हल:
हमारे पास है 2x – 1 = 14 – x
⇒ 2x + x = 14 + 1 (x को बाएँ पक्ष में और 1 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 3x = 15
⇒ x = 15 ÷ 3 = 5
अतः x = 5 अभीष्ट हल है।
जाँच करें: 2x – 1 = 14 – x
x = 5 बाएँ पक्ष में रखने पर
हमारे पास है 2x – 1 = 2 × 5 – 1 = 10 – 1 = 9
दाएँ पक्ष = 14 – x = 14 – 5 = 9 बाएँ
पक्ष = दाएँ पक्ष
अतः सत्यापित।

प्रश्न 5.
8x + 4 = 3(x – 1) + 7
हल:
हमारे पास है 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
⇒ 8x + 4 = 3x – 3 + 7 (कोष्ठक को हल करने पर)
⇒ 8x + 4 = 3x + 4
⇒ 8x – 3x = 4 – 4 [3x को बाएँ पक्ष में और 4 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर]
⇒ 5x = 0
⇒ x = 0 ÷ 5 [5 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर]
या x = 0
इस प्रकार x = 0 आवश्यक समाधान है।
जाँच करें: 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
x = 0 रखने पर, हमारे पास है
8 × 0 + 4 = 3(0 – 1) + 7
⇒ 0 + 4 = -3 + 7
⇒ 4 = 4 बायाँ
पक्ष = दायाँ पक्ष
अतः सत्यापित।

Ex 2.4

प्रश्न 1.
एक धनात्मक संख्या दूसरी संख्या की 5 गुना है। यदि दोनों संख्याओं में 21 जोड़ दिया जाए, तो नई संख्याओं में से एक दूसरी संख्या की दोगुनी हो जाती है। वे संख्याएँ क्या हैं?
हल:
माना धनात्मक संख्या x है।
अन्य संख्या = 5x
शर्त I: x + 21 और 5x + 21
शर्त II: 5x + 21 = 2 (x + 21)
⇒ 5x + 21 = 2x + 42 (कोष्ठक को हल करने पर)
⇒ 5x – 2x = 42 – 21 (2x को बाएँ पक्ष में और 21 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 3x = 21
⇒ x = 21 ÷ 3 = 7 (3 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
इस प्रकार, अभीष्ट संख्याएँ 7 और 7 × 5 = 35 हैं।

प्रश्न 2.
एक दो अंकों वाली संख्या के अंकों का योग 9 है। जब हम अंकों को आपस में बदल देते हैं, तो पाते हैं कि परिणामी नई संख्या मूल संख्या से 27 अधिक है। दो अंकों वाली संख्या क्या है?
हल:
मान लीजिए इकाई का अंक x है।
दहाई के स्थान का अंक = 9 – x
मूल संख्या = x + 10(9 – x)
शर्त I: 10x + (9 – x) (अंकों को आपस में बदलना)
शर्त II: नई संख्या = मूल संख्या + 27
⇒ 10x + (9 – x) = x + 10(9 – x) + 27
⇒ 10x + 9 – x = x + 90 – 10x + 27 (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ 9x + 9 = -9x + 117 (9x को बाएँ पक्ष में और 9 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 9x + 9x = 117 – 9
⇒ 18x = 108
⇒ x = 108 ÷ 18 (18 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ x = 6
इकाई के स्थान का अंक = 6
दहाई के स्थान का अंक = 9 – 6 = 3
इस प्रकार, अभीष्ट संख्या = 6 + 3 × 10 = 6 + 30 = 36

प्रश्न 3.
दो अंकों की एक संख्या के दो अंकों में से एक अंक दूसरे अंक का तीन गुना है। यदि आप इस दो अंकों वाली संख्या के अंकों को आपस में बदल दें और परिणामी संख्या को मूल संख्या में जोड़ दें, तो आपको 88 प्राप्त होता है। मूल संख्या क्या है?
हल:
माना इकाई के स्थान का अंक x है।
दहाई का अंक = 3x
मूल संख्या = x + 3x × 10 = x + 30x = 31x
शर्त I: 10x + 3x = 13x (अंकों को बदलने पर)
शर्त II: नई संख्या + मूल संख्या = 88
13x + 31x = 88
⇒ 44x = 88
⇒ x = 88 ÷ 44 (44 को दाएँ पक्ष में रखने पर)
⇒ x = 2
इस प्रकार, मूल संख्या = 31x = 31 × 2 = 62
अतः अभीष्ट संख्या = 62

प्रश्न 4.
शोबो की माँ की वर्तमान आयु शोबो की वर्तमान आयु की छह गुनी है। पाँच वर्ष बाद शोबो की आयु उसकी माँ की वर्तमान आयु की एक तिहाई होगी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
मान लीजिए शोबो की वर्तमान आयु x वर्ष है।
शोबो की माँ की आयु = 6x वर्ष।
5 वर्ष बाद शोबो की आयु (x + 5) वर्ष होगी।
शर्त के अनुसार,
x + 5 =13

प्रश्न 5.
महुली गाँव में एक स्कूल के लिए आरक्षित एक संकरा आयताकार भूखंड है। भूखंड की लंबाई और चौड़ाई 11 : 4 के अनुपात में है। ₹100 प्रति मीटर की दर से, ग्राम पंचायत को भूखंड की बाड़ लगाने में ₹75000 खर्च होंगे। भूखंड की विमाएँ क्या हैं?
हल:
मान लीजिए भूखंड की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 11x मीटर और 4x मीटर है।
चारों ओर बाड़ = आयताकार भूखंड का
परिमाप भूखंड का परिमाप =75000100

प्रश्न 6.
हसन स्कूल यूनिफॉर्म के लिए दो प्रकार के कपड़े खरीदता है, कमीज़ का कपड़ा जिसकी कीमत ₹50 प्रति मीटर है और पतलून का कपड़ा जिसकी कीमत ₹90 प्रति मीटर है। कमीज़ के कपड़े के प्रत्येक 3 मीटर के लिए, वह पतलून के कपड़े के 2 मीटर खरीदता है। वह कपड़े को क्रमशः 12% और 10% लाभ पर बेचता है। उसकी कुल बिक्री ₹36,600 है। उसने पतलून के कपड़े की कितनी मात्रा खरीदी?
समाधान:
खरीदी गई शर्ट की सामग्री का खरीदी गई पतलून की सामग्री से अनुपात = 3: 2
माना खरीदी गई शर्ट की सामग्री = 3x मीटर
और खरीदी गई पतलून की सामग्री = 2x मीटर
शर्ट की सामग्री की लागत = 50 × 3x = ₹ 150x
पतलून की सामग्री की लागत = 90 × 2x = ₹ 180x

शर्तों के अनुसार, हमारे पास है
168x + 198x = 36,600
⇒ 366x = 36,600
⇒ x = 36600 ÷ 366 = 100
खरीदी गई पतलून की सामग्री की लंबाई = 2 × 100 = 200 मीटर।

प्रश्न 7.
हिरणों के एक झुंड के आधे लोग मैदान में चर रहे हैं और शेष के तीन-चौथाई पास में खेल रहे हैं। शेष 9 लोग तालाब से पानी पी रहे हैं। झुंड में हिरणों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए हिरणों की संख्या x है।
शर्त के अनुसार,
x2

प्रश्न 8.
एक दादा अपनी पोती से दस गुना बड़े हैं। वह उससे 54 वर्ष भी बड़े हैं। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पोती की वर्तमान आयु = x वर्ष।
दादा की वर्तमान आयु = 10x वर्ष।
शर्तों के अनुसार, हमारे पास है
10x – x = 54
⇒ 9x = 54
⇒ x = 54 ÷ 9 = 6 [9 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर]
अतः, पोती की वर्तमान आयु = 6 वर्ष
और दादा की वर्तमान आयु = 6 × 10 = 60 वर्ष।

प्रश्न 9.
अमन की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है। दस वर्ष पहले वह अपने पुत्र की आयु का पांच गुना था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पुत्र की वर्तमान आयु x वर्ष है।
अमन की वर्तमान आयु = 3x वर्ष
10 वर्ष पहले, पुत्र की आयु = (x – 10) वर्ष थी
10 वर्ष पहले, पिता की आयु = (3x – 10) वर्ष थी
शर्तों के अनुसार, हमारे पास है
5(x – 10) = 3x – 10
⇒ 5x – 50 = 3x – 10
⇒ 5x – 3x = 50 – 10(3x को LHS में और 50 को RHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 2x = 40
⇒ x = 40 ÷ 2 = 20
अतः, पुत्र की आयु = 20 वर्ष।
तथा अमन की आयु = 20 × 3 = 60 वर्ष।

Ex 2.5

प्रश्न 1.

हल:

⇒ 30x – 12 = 20x + 15
⇒ 30x – 20x = 15 + 12 (20x को बाएँ पक्ष में और 12 को दाएँ पक्ष में रखने पर)
⇒ 10x = 27
⇒ x =2710

प्रश्न 2.

हल:
2, 4 और 6 का LCM = 12

(दोनों पक्षों को 12 से गुणा करने पर)
⇒ 6n – 9n + 10n = 252
⇒ 7n = 252
⇒ n = 252 ÷ 7
⇒ n = 36

प्रश्न 3.

हल:

⇒ -10x + 42 = 17 – 15x
⇒ -10x + 15x = 17 – 42 [15x को बाएँ पक्ष में और 42 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर]
⇒ 5x = -25
⇒ x = -25 ÷ 5 [5 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर]
⇒ x = -5

प्रश्न 4.

हल:

⇒ (x – 5) × 5 = (x – 3) × 3
⇒ 5x – 25 = 3x – 9 (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ 5x – 3x = 25 – 9 (3x को बाएँ पक्ष में और 25 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 2x = 16
⇒ x = 16 ÷ 2 = 8 (2 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ x = 8

प्रश्न 5.

हल:

⇒ (3t – 2) × 3 – (2t + 3) × 4 = 2 × 4 – 12t
⇒ 9t – 6 – 8t – 12 = 8 – 12t (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ t – 18 = 8 – 12t
⇒ t + 12t = 8 + 18 (12t को बाएँ पक्ष में और 18 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 13t = 26
⇒ t = 2 (13 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
अतः t = 2 अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.

हल।

⇒ 6m – (m – 1) × 3 = 6 – (m – 2) × 2
⇒ 6m – 3m + 3 = 6 – 2m + 4 (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ 3m + 3 = 10 – 2m
⇒ 3m + 2m = 10 – 3 (2m को LHS में और 3 को RHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 5m = 7
⇒ m =75

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को सरल कीजिए और हल कीजिए।
प्रश्न 7.
3(t – 3) = 5(21 + 1)
हल:
हमारे पास है
3(t – 3) = 5(2t + 1)
⇒ 3t – 9 = 10t + 5 (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ 3t – 10t = 9 + 5 (10t को बाएँ पक्ष में और 9 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ -7t = 14
⇒ t = -2 (-7 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
अतः, t = -2 अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.
15(y – 4) – 2(y – 9) + 5(y + 6) = 0
हल:
हमारे पास है 15(y – 4) – 2(y – 9) + 5(y + 6) = 0
⇒ 15y – 60 – 2y + 18 + 5y + 30 = 0 (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ 8y – 12 = 0
⇒ 8y = 12 (12 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ y =23
23

प्रश्न 9.
3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
हल:
हमारे पास है
3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
⇒ 15z – 21 – 18z + 22 = 32z – 52 – 17 (कोष्ठक को हल करने पर)
⇒ -3z + 1 = 32z – 69
⇒ -3z – 32z = – 69 – 1 (322 को बाएँ पक्ष में और 1 को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करने पर)
⇒ -35z = -70
⇒ z = 2
अतः, z = 2 आवश्यक हल है।

प्रश्न 10.
0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)
हल:
हमारे पास है
0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)
⇒ 0.25 × 4f – 3 × 0.25 = 0.05 × 10f – 9 × 0.05 (कोष्ठक हल करने पर)
⇒ 1.00f – 0.75 = 0.5f – 0.45
⇒ f – 0.5f = -0.45 + 0.75 (0.5 को LHS में और 0.75 को RHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ 0.5f = 0.30
⇒ f = 0.6
इसलिए, f = 0.6 आवश्यक समाधान है।

Ex 2.6

प्रश्न 1.
हरि और हैरी की आयु का अनुपात 5 : 7 है। अब से चार वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 3 : 4 होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि हरि की वर्तमान आयु = 5x वर्ष
और हैरी की वर्तमान आयु = 7x वर्ष
चार वर्ष बाद
हरि की आयु = (5x + 4) वर्ष
हैरी की आयु = (7x + 4) वर्ष
प्रश्न के अनुसार
(5x + 4) : (7x + 4) = 3 : 4
4(5x + 4) = 3(7x + 4)
[चरमों का गुणनफल माध्यों के गुणनफल के बराबर है]
20x + 16 = 21x + 12
16 को RHS में और 21x को LHS में स्थानांतरित करने पर, हम पाते हैं
20x – 21x = 12 – 16
-x = -4
∴ x = 4
हरि की वर्तमान आयु = 5 × 4 = 20 वर्ष
हैरी की वर्तमान आयु = 7 × 4 = 28 वर्ष

प्रश्न 2.
एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 8 अधिक है। यदि अंश में 17 की वृद्धि की जाए और हर में 1 की कमी की जाए, तो प्राप्त संख्या \(\frac { 3 }{ 2 }\) है। परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।32। परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
परिमेय संख्या का अंश x मान लें।
हर = (x + 8)
शर्तों के अनुसार, हमारे पास है

⇒ 2(x + 17) = 3(x + 7) (क्रॉस-गुणा)
⇒ 2x + 34 = 3x + 21 (कोष्ठक को हल करने पर)
⇒ 2x – 3x = 21 – 34 (3x को LHS में और 34 को RHS में स्थानांतरित करने पर)
⇒ -x = -13
⇒ x = 13
इस प्रकार, अंश = 13
और हर = 13 + 8 = 21
इसलिए परिमेय संख्या \(\frac { 13 }{ 21 }\) है।1321.