NCERT Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 रेखाएँ और कोण
Ex 6.1
आकृति में, रेखाएँ AB और CD 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° और ∠BOD = 40°, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, ∠AOC और ∠BOD ऊर्ध्वाधरतः विपरीत कोण हैं।
∴ ∠AOC = ∠BOD
⇒ ∠AOC = 40° [∵ ∠BOD = 40°(दिया है)] …(i)
हमें मिलता है, ∠AOC + ∠BOE = 70° (दिया है)
40°+ ∠BOE = 70° [समीकरण से। (i)]
⇒ ∠BOE = 30°
साथ ही, ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180°
⇒ ∠COE = 110°
अब, ∠COE + प्रतिवर्ती ∠COE = 360° (एक बिंदु पर कोण)
110°+प्रतिवर्ती ∠COE = 360°
⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 250°
आकृति में, रेखाएँ XY और MN 0 पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90°, और a : b = 2 : 3. तो c ज्ञात कीजिए।
हल:
हमारे पास है, ∠POY = 90°
⇒ ∠POY + ∠POX = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
⇒ ∠POX = 90°
⇒ a+b = 90°
साथ ही, a : b = 2 : 3 (दिया है)
⇒ मान लीजिए a = 2k, b = 3k
अब, समीकरण से। (j), हम पाते हैं
2k + 3k = 90°
⇒ 5k = 90°
⇒ k = 18°
∴ a = 2 x 18°=36°
और b=3 x 18°=54°
अब, ∠MOX + ∠XON = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
b+ c = 180°
⇒ 540 + c= 180°
⇒ c = 126°
प्रश्न 3.
आकृति में, ∠PQR = ∠PRQ, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT.
हल:
∵ ∠PQS + ∠PQR = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत),..(i)
और ∠PRT + ∠PRQ = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत).. .(ii)
समीकरणों (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं
∠PQS + ∠PQR =∠PRT + ∠PRQ
∠PQS + ∠PRQ =∠PRT + ∠PRQ
[दिया है, ∠PQR = ∠PRQ]
⇒ ∠PQS = ∠PRT
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि x + y = w + z, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
हल:
∵ x+ y+w+ z = 360° (किसी बिंदु पर कोण)
x + y = w + z (दिया है)…(i)
∴ x+ y+ x+ y = 360° [समीकरण (i) से]
2(x + y) = 360°
⇒ x + y = 180° (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
अतः, AOB एक सरल रेखा है।
प्रश्न 5.
आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR, रेखा PQ पर लंबवत है। OS, किरणों OP और OR के बीच स्थित एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए कि
हल:
हमारे पास है,
∠POR = ∠ROQ = 90° (∵ दिया गया है कि, OR, PQ के लंबवत है)
∴ ∠POS + ∠ROS = 90°
⇒ ∠ROS = 90° – ∠POS
दोनों तरफ ∠ROS जोड़ने पर, हम पाते हैं
2 ∠ROS = 90° – ∠POS + ∠ROS
⇒ 2 ∠ROS = (90° + ∠ROS) – ∠POS
⇒ 2∠ROS = ∠QOS – ∠POS (∵ ∠QOS = ∠ROQ + ∠ROS = 90° + ∠ROS)
⇒ ∠ROS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (∠QOS – ∠POS) अतः सिद्ध हुआ।
प्रश्न 6.
यह दिया गया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। दी गई जानकारी से एक आकृति बनाइए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP ज्ञात कीजिए।
हल:
XYP एक सरल रेखा है।
∴ ∠XYZ + ∠ZYQ + ∠QYP = 180°
⇒ 64° + ∠ZYQ + ∠QYP = 180°
[∵ ∠XYZ = 64° (दिया गया है)]
⇒ 64° + 2∠QYP = 180°
[YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करता है, इसलिए, ∠QYP = ∠ZYQ]
⇒ 2∠QYP = 180° – 64° = 116°
⇒ ∠QYP = \(\frac { { 116 }^{ \circ } }{ 2 }\) = 58°
∴ प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – 58° = 302°
चूँकि ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
⇒ ∠XYQ = 64° + ∠QYP [∵∠XYZ = 64° (दिया गया है) और ∠ZYQ = ∠QYP]
⇒ ∠XYQ = 64° + 58° = 122° [∠QYP = 58°]
इस प्रकार, ∠XYQ = 122° और प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°।
Ex 6.2
प्रश्न 1.
आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल:
आकृति में, CD और PQ बिंदु F पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∴ y = 130° …(1)
[शीर्षाभिमुख कोण]
पुनः, PQ एक सरल रेखा है और EA उस पर खड़ा है।
∠AEP + ∠AEQ = 180° [रैखिक युग्म]
या 50° + x = 180°
⇒ x = 180° – 50° = 130° …(2)
(1) और (2) से, x = y
क्योंकि ये एकांतर अंतः कोणों के युग्म हैं।
∴ AB || CD
प्रश्न 2.
आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
AB || CD, और CD || EF [दिया है]
∴ AB || EF
∴ x = z [एकांतर अंतः कोण] ….(1)
पुनः, AB || CD
⇒ x + y = 180° [सह-अंतः कोण]
⇒ z + y = 180° … (2) [(1) से]
लेकिन y : z = 3 : 7
z =
⇒ 10z = 7 x 180°
⇒ z = 7 x 180° /10 = 126°
(1) और (3) से, हमें
x = 126° प्राप्त होता है।
प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।
हल:
AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠AGE = ∠GED [एकांतर अंतः कोण]
लेकिन ∠GED = 126° [दिया है]
∴∠AGE = 126°
साथ ही, ∠GEF + ∠FED = ∠GED
या ∠GEF + 90° = 126° [∵ EF ⊥ CD (दिया है)]
x = z [एकांतर अंतः कोण]… (1) पुनः, AB || CD
⇒ x + y = 180° [सह-आंतरिक कोण]
∠GEF = 126° -90° = 36°
अब, AB || CD और GE एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠FGE + ∠GED = 180° [सह-आंतरिक कोण]
या ∠FGE + 126° = 180°
या ∠FGE = 180° – 126° = 54°
इस प्रकार, ∠AGE = 126°, ∠GEF=36° और ∠FGE = 54°।
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि PQ || ST, ∠ PQR = 110° और ∠ RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।
हल:
R से होकर ST के समान्तर एक रेखा EF खींचिए।
चूँकि PQ || ST [दिया है]
और EF || ST [रचना]
∴ PQ || EF और QR एक तिर्यक रेखा है
⇒ ∠PQR = ∠QRF [एकांतर अंतः कोण] लेकिन ∠PQR = 110° [दिया है]
∴∠QRF = ∠QRS + ∠SRF = 110° …(1)
पुनः ST || EF और RS एक तिर्यक रेखा है
∴ ∠RST + ∠SRF = 180° [सह-आंतरिक कोण] या 130° + ∠SRF = 180°
⇒ ∠SRF = 180° – 130° = 50°
अब, (1) से, हमारे पास है ∠QRS + 50° = 110°
⇒ ∠QRS = 110° – 50° = 60°
इस प्रकार, ∠QRS = 60°।
प्रश्न 5.
आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
AB || CD और PQ एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠APQ = ∠PQR
[एकांतर अंतः कोण]
⇒ 50° = x [ ∵ ∠APQ = 50° (दिया है)]
पुनः, AB || CD और PR एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠APR = ∠PRD [वैकल्पिक आंतरिक कोण]
⇒ ∠APR = 127° [ ∵ ∠PRD = 127° (दिया गया है)]
⇒ ∠APQ + ∠QPR = 127°
⇒ 50° + y = 127° [ ∵ ∠APQ = 50° (दिया गया है)]
⇒ y = 127°- 50° = 77°
इस प्रकार, x = 50° और y = 77°।
प्रश्न 6.
आकृति में, PQ और RS एक दूसरे के समांतर रखे दो दर्पण हैं। एक आपतित किरण AB, दर्पण PQ से बिंदु B पर टकराती है, परावर्तित किरण पथ BC के अनुदिश गति करती है और दर्पण RS से बिंदु C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित होती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।
हल:
किरण BL ⊥PQ और CM ⊥ RS
∵ PQ || RS ⇒ BL || CM
[∵ BL || PQ और CM || RS] खींचिए
। अब, BL || CM और BC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠LBC = ∠MCB …(1) [वैकल्पिक आंतरिक कोण]
चूंकि, आपतन कोण = परावर्तन कोण
∠ABL = ∠LBC और ∠MCB = ∠MCD
⇒ ∠ABL = ∠MCD …(2) [(1) से]
(1) और (2) को जोड़ने पर, हम पाते हैं
∠LBC + ∠ABL = ∠MCB + ∠MCD
⇒ ∠ABC = ∠BCD
यानी, वैकल्पिक आंतरिक कोणों की एक जोड़ी बराबर है।
∴ AB || CD.
Ex 6.3
प्रश्न 1.
आकृति में, ∆PQR की भुजाएँ QP और RQ क्रमशः बिंदुओं S और T तक बढ़ाई गई हैं। यदि ∠SPR = 135° और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
हल:
हमारे पास है, ∠TQP + ∠PQR = 180°
[रैखिक युग्म]
⇒ 110° + ∠PQR = 180°
⇒ ∠PQR = 180° – 110° = 70°
चूँकि, ∆PQR की भुजा QP को S तक बढ़ाया गया है।
⇒ ∠PQR + ∠PRQ = 135°
[त्रिभुज का बाह्य कोण गुण]
⇒ 70° + ∠PRQ = 135° [∠PQR = 70°]
⇒ ∠PRQ = 135° – 70° ⇒ ∠PRQ = 65°
प्रश्न 2.
आकृति में, ∠X = 62°, ∠XYZ = 54°, यदि YO और ZO क्रमशः ∆XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
हल:
∆XYZ में, हमारे पास है ∠XYZ + ∠YZX + ∠ZXY = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
लेकिन ∠XYZ = 54° और ∠ZXY = 62°
∴ 54° + ∠YZX + 62° = 180°
⇒ ∠YZX = 180° – 54° – 62° = 64°
YO और ZO क्रमशः ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं।
∴ ∠OYZ =
और ∠OZY =
अब, ∆OYZ में, हमारे पास है
∠YOZ + ∠OYZ + ∠OZY = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
⇒ ∠YOZ + 27° + 32° = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° -27° – 32° = 121°
इस प्रकार, ∠OZY = 32° और ∠YOZ = 121°
प्रश्न 3.
आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
हल:
AB || DE और AE एक तिर्यक रेखा है।
तो, ∠BAC = ∠AED
[वैकल्पिक आंतरिक कोण]
और ∠BAC = 35° [दिया गया है]
∴ ∠AED = 35°
अब, ∆CDE में, हमारे पास है ∠CDE + ∠DEC + ∠DCE = 180°
{त्रिभुज का कोण योग गुण]
∴ 53° + 35° + ∠DCE =180°
[∵ ∠DEC = ∠AED = 35° और ∠CDE = 53° (दिया गया है)]
⇒ ∠DCE = 180° – 53° – 35° = 92°
इस प्रकार, ∠DCE = 92°
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे ∠ PRT = 40°, ∠ RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠ SQT ज्ञात कीजिए।
हल:
∆PRT में, हमारे पास है ∠P + ∠R + ∠PTR = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
⇒ 95° + 40° + ∠PTR =180°
[ ∵ ∠P = 95°, ∠R = 40° (दिया गया है)]
⇒ ∠PTR = 180° – 95° – 40° = 45°
लेकिन PQ और RS T पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∴ ∠PTR = ∠QTS
[ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]
∴ ∠QTS = 45° [ ∵ ∠PTR = 45°]
अब, ∆ TQS में, हमारे पास है ∠TSQ + ∠STQ + ∠SQT = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
∴ 75° + 45° + ∠SQT = 180° [ ∵ ∠TSQ = 75° और ∠STQ = 45°]
⇒ ∠SQT = 180° – 75° – 45° = 60°
इस प्रकार, ∠SQT = 60°
प्रश्न 5.
आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ||SR, ∠SQR = 2S° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ QRS में, भुजा SR को T तक बढ़ाया गया है।
∴ ∠QRT = ∠RQS + ∠RSQ
[त्रिभुज का बाह्य कोण गुण]
लेकिन ∠RQS = 28° और ∠QRT = 65°
इसलिए, 28° + ∠RSQ = 65°
⇒ ∠RSQ = 65° – 28° = 37°
क्योंकि, PQ || SR और QS एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠PQS = ∠RSQ = 37°
[एकांतर अंतः कोण]
⇒ x = 37°
पुनः, PQ ⊥ PS ⇒ AP = 90°
अब, ∆PQS में,
हमारे पास है ∠P + ∠PQS + ∠PSQ = 180°
[त्रिभुज का कोण योग गुण]
⇒ 90° + 37° + y = 180°
⇒ y = 180° – 90° – 37° = 53°
इस प्रकार, x = 37° और y = 53°
प्रश्न 6.
आकृति में, ∆ PQR की भुजा QR को एक बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
हल:
∆ PQP में,
∵ ∠QPR + ∠PQR = ∠PRS …(i)
(∵ अंतः सम्मुख कोणों का योग = बाह्य कोण)
अब, ∆ TOR में,
∵ ∠QTR + ∠TQR = ∠TRS …..(ii)